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4.

POTENCIAL ELÉCTRICO

PROBLEMA 29. Encontrar una expresión para la diferencia de potencial entre los puntos A y B de la figura, producida por la presencia de dos cargas de magnitudes q1 y q 2 .

SOLUCIÓN El potencial producido por una carga puntual a una distancia a de ella es :

q

V

4

0

a

Puesto que tenemos dos cargas puntuales, necesitamos usar el principio de superposición para decir que el potencial en A es :

q1

VA

4

q2 0 a

4

0a

d

.

Análogamente, en B el potencial será:

VB

4

q1 0 a

q2 4

d

a

.

0

Luego, la diferencia V A V B es:

VB A

VA

VB

q1 4

1 a

0

1 a

d

q2 1 4 0 a d

1 , a

o bien :

VB A

q1 q 2 4 0

1 a

1 a

.

d

¿Qué trabajo debe efectuar un agente externo para llevar una carga puntual q 0 desde A hasta B ? Dicho trabajo es : WA B

q 0 gVA B

q0 gVB A .

51

52

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 30. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 ubicados a las distancias x 1 y x 2 de un alambre infinito cargado uniformemente con densidad lineal

.

SOLUCIÓN 1

V

V1 V2

r r E gd l

2

Si los puntos 1 y 2 , y la trayectoria C

están en el plano del dibujo, resulta adecuado

escoger el sistema de coordenadas xy mostrado en la figura. Entonces :

r E

Ex ˆi

r dl

d x ˆi

Ey ˆj dy ˆj

El campo eléctrico producido por una línea infinita es radial y tiene simetría cilíndrica. De acuerdo a resultados anteriores:

Ex

2

0

Ey

;

x

0

luego :

r r E gd l

Ex dx

dx 2 0x

Ey dy

y x1

V1 V 2

2 x2

V1 V 2 Observe que si x 2

2

dx 0x ln x 1 0

2

2

ln x 1

ln x 2

0

ln x 2 0

, entonces ln x2

y

V1 V 2

, lo cual hace imposi-

ble escoger como referencia para el potencial, a un punto ubicado a distancia infinita del hilo. Puesto que realmente sólo interesa saber las diferencias de potencial, entonces es posible escoger un punto y asignarle un potencial, para luego medir los potenciales de los restantes puntos del espacio, de acuerdo a la referencia escogida.

4. Potencial Eléctrico

53

Si asignamos arbitrariamente el potencial V 0 a un punto ubicado a una distancia d de la línea, entonces el potencial V en un punto ubicado a distancia r de la línea será :

V

V0

lnr

2

V

ln d

0

2

,

ln r

C

C

V0

0

donde C es una contante de valor :

2

ln d . 0

Note que las superficies equipotenciales son cilindros cuyo eje es la línea cargada.

Otra manera de calcular potenciales es mediante la relación :

dq

V

4 v

0

r

,

donde la integral debe efectuarse sobre toda la región que contiene cargas. Dicho método es

dq

aplicable sólo para configuraciones finitas de carga. En la expresión V v

4

0

r

, se ha

supuesto que el potencial es cero en puntos muy alejados de la configuración de cargas, lo cual en este caso no se cumple. Por ende, el potencial obtenido anteriormente no puede calcularse usando dicha expresión.

PROBLEMA 31. Determinar el potencial producido por un cascarón esférico conductor, cargado con una carga total q .

SOLUCIÓN

54

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

A partir de la definición, el potencial en un punto es : P

r r E gdl .

VP

Puesto que la integral tiene un resultado independiente de la trayectoria, se hará el desarrollo siguiendo una trayectoria radial. Para puntos exteriores, es decir: r

r E

R , el campo eléctrico es :

q 4

0

r2

ˆr .

Luego, r

q

VP puesto que dl

4

r 0

r

r r d ˆ g l 2

q 4

0

dl

r2

dr . r

qdr 4 0r 2

VP

Es decir, que para r

q 4

1 r

0

r

q 4

.

r

0

R , la esfera produce el mismo potencial que una carga puntual

q ubicada en el punto 0 . Para puntos interiores, r

R , el campo eléctrico es nulo. Usando la trayectoria radial para

determinar el potencial en un punto interior, se tendrá: r

R

r r E gd l

VP

r r E gd l

r

r r E gdl

R

r r E gd l ,

R

r

puesto que E

0 para r

R.

Luego, en un punto interior de la esfera hueca, el potencial tiene un valor constante igual a: R

VP

r r E gd l

q 4

R

0

.

4. Potencial Eléctrico

55

Es necesario que este resultado sea bien entendido en términos del trabajo requerido para traer una carga de prueba desde el infinito hasta un punto interior de la esfera. Al hacer lo anterior debe suponer que la carga de prueba no produce redistribución de la carga del conductor. Note además, que si se tratase de una esfera maciza cargada, los resultados anteriores no cambian, siempre que la esfera sea conductora.

PROBLEMA 32. Determinar el potencial en todos los puntos del espacio, producido por una esfera aislante cargada uniformemente con densidad volumétrica

.

SOLUCIÓN r

Puede calcularse E en todo el espacio y luego determinarse el potencial en un punto P a partir de la definición P

VP de manera análoga a lo realizado en el

r r E g dl ,

PROBLEMA

31. Se recomienda que usted lo haga, pues

acá se usará un método distinto, basado en el resultado anterior.

La esfera maciza puede "verse" como un sinnúmero de cascarones esféricos de radio a, espesor da y carga d q

dV

4 a 2 da , que producen enP (punto externo) un potencial

dV , y de acuerdo al resultado anterior está dado por : dV

dq 4

0

r

g 4 a2 da . 4 0r

56

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

Luego, para este tipo de distribución finita, el potencial en P será : qT

dq

VP

4

0

0

,

r

donde r es una constante para efectos de la integración. Posteriormente :

VP

VP

qT

1 4

0

dq

r

4

0

R3 3 0r

g

qT 0

r

4 r

;

4 3

R 0

3

r

R .

Nótese que para puntos externos, la esfera produce el mismo potencial que produciría una carga puntual qT ubicada en 0 . En la superficie de la esfera, el potencial es :

R2 3 Para puntos interiores, r

0

.

R , la situación puede estudiarse como sigue.

1° En un punto ubicado a una distancia r

R del centro, el potencial es debido a la carga

contenida dentro de la esfera de radio r, y a la carga contenida en el resto de la esfera de radio

R (esfera hueca de radio interior r y radio exterior R ).

Entonces,

VP

V1 P

V2 P .

4. Potencial Eléctrico

57

2° V1P es el potencial en la superficie de una esfera cargada con

constante y de radio r .

De acuerdo con el resultado obtenido anteriormente, para puntos externos, V 1P es :

V1P

r2 3

0

3° El valor de V 2 P corresponde al potencial en un punto interior de una esfera hueca de radio interior r y radio exterior R , cargada uniformemente con

. Esto no ha sido calculado ante-

riormente, pero hay un resultado que puede utilizarse para V 2 P . El potencial en un punto interior de un cascarón esférico de radio a, espesor da y carga

dq , es constante y tiene magnitud de : dV

dq 4

0

,

a

puesto que la esfera hueca puede "verse" como un sinnúmero de cascarones como los descritos anteriormente; entonces : V2

V2 P

qr

P

dV 0

donde dq

2 g 4 a da , qT

0

g4 3 R

Luego,

r

2

R3

0

a

r3

R2

,

y a es la variable de integración. R

g 4 a 2 da 4 0a

V2 P

V2 P

dq

4

ada 0

r

2

R2 r 2 0

r2 .

0

Este es el potencial en un punto interior de una esfera hueca de radio interior r y radio exterior R , cargada uniformemente con

.

Evidentemente el punto P que nos interesa está en el interior de la esfera hueca y obedece a esta relación; luego :

VP VP

r2 3

0

6

0

2

R2

r2

0

3R 2 r 2

0

.

r2 3

R2 2

r2 2

58

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 33. (a)

Determinar el potencial en cada punto del eje de un anillo de radio R que tiene una carga neta q distribuida uniformemente con densidad lineal

(b)

.

Obtener el potencial producido por un disco de densidad de carga uniforme

y radio

R , en un punto de su eje.

SOLUCIÓN (a) En P el potencial producido por un elemento de carga dq es :

dq x 2 R2

dV 4 donde

x2

R2

12

0

12

,

es la distancia entre el ele-

mento dq y el punto P . Puesto que todos los puntos del anillo son equidistantes de P ; entonces : q

V

dV anillo

4

0

0

q

V 4

x

2

0

R2

12

dq x2 R2

q

1 12

4

0

x2

R2

dq

12 0

.

(b) A partir del resultado anterior, la contribución al potencial, debido a un anillo diferencial de radio r que forma parte del disco es:

dV 4 Haciendo dq

0

dq x2 r 2

12

.

g 2 r d r e integrando en la variable R , se obtiene el potencial producido por

el disco, en un punto de su eje ubicado a distancia x .

4. Potencial Eléctrico

59

Luego; R

0

Sustituyendo x 2

r2

V

V

4

x

0

2

r

u y du

2

2

0

g1 2

u2

u1

x2

R

rdr

g2

V

12

2

2

0

0

rdr x

2

r2

12

.

2r d r , se obtiene: R

du 12 u R2

2 12

g 1 g 2 x2 2

0

r2

12 0

x .

0

PROBLEMA 34. A partir del potencial producido por un anillo en un punto de su eje, determinar el potencial en un punto del eje de simetría de un hemisferio de radio R y carga Q distribuida uniformemente sobre su superficie.

SOLUCIÓN

El anillo de carga dq indicado en la figura tiene un radio igual a R cos

dq es igual a

dA

g2 R cos g Rd . Luego, la contribución de ese anillo al potencial en

P será : dV

y, por lo tanto,

dq 4 0r l

2 R 2 cos d 4

2

0

R cos

2

a Rsen

2

12

.

60

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

Luego :

R 2 0

V

V

2

u

R2 g 0

R2

cos d R2 co s2

0

2

R2 2 0

V

Sustituyendo :

2

2

a2

R

2

a

2 a R se n

uS

1 2a R ui

du u12

R2 se n2

cos d 2

0

a2

R g u1 2 2 0a

2 aRsen ; du

12

2 a R se n

.

2a R cos d

uS

R R2 2 0a

ui

12

. Entonces,

a2

2a R se n

2

12

. 0

Finalmente:

R

V

2

1

0

¿ Qué sucede si a

R a

1

R a

2

.

0 ?

PROBLEMA 36. Tres placas paralelas están dispues-

K

L

M

tas como se indica en la figura. La superficie de las placas tiene área A

300[cm2 ] . En la placa L se P

deposita una carga de 20[nC]. Calcular el potencial en

P, si d 1 2[ cm] , d 2

1[cm ] y x

0,5[cm ] .

x

d2

d1

SOLUCIÓN Ø El símbolo

indica que un conductor está "conectado a tierra". Consideraremos como

"la tierra" a una región muy especial del espacio, que cumple con dos condiciones: (1) Siempre está a un potencial constante, no importa que haya cargas cerca ni flujo de cargas hacia o desde ella. Cualquier conductor conectado a tierra, por lo tanto, tiene siempre el mismo potencial que ella. Normalmente definiremos al potencial de la tierra como cero.

4. Potencial Eléctrico

61

(2) Es una fuente infinita de carga, ya sea positiva o negativa. Esto es, siempre proveerá la cantidad de carga necesaria para hacer que el potencial de un conductor sea el mismo que el de ella. En resumen, todo conductor conectado a tierra tiene potencial cero. (¿Implica esto, que la carga neta del conductor sea cero? Analice distintos casos).

Ø Al depositar carga positiva en la placa L, el potencial eléctrico en las placas laterales tiende a aumentar (¿porqué?). Sin embargo, como están conectadas a tierra, el potencial debe mantenerse en cero. Para que esto sea posible debe fluir carga negativa desde tierra a las placas laterales (analice). En consecuencia, las placas laterales se cargan debido a la presencia de carga en la placa L, con cargas del signo opuesto a la de L. ¿Cuánta carga fluye a cada placa lateral y cómo se distribuye la carga de 20[nC] en la placa L? Para responder a esta pregunta usaremos la ley de Gauss y consideraremos el campo entre las placas, uniforme, dado que d 1 y d2 son pequeñas comparadas con las dimensiones de las placas.

Ø Sean

1

y

2

las densidades superficia-

2

les de carga en cada cara de la placa L. Como la carga total en L es Q

1

L

K

M

20[nC ] , K

M

se cumple que TAPA

1

2

A

Q

CILINDRO

TAPA

(1) MANTO

Aplicando la ley de Gauss a un cilindro recto cuyas bases están dentro del material de d2

las placas K y L , tenemos que :

d1

r

El flujo del campo eléctrico a través del cilindro es cero, ya que E es cero dentro de los conductores y tangente a la superficie en el manto cilíndrico. En consecuencia la carga neta encerrada es cero y K

2

.

62

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

De manera análoga se puede demostrar que : M

1

Por lo tanto, las cargas inducidas en las placas K y M son de igual valor absoluto y signo opuesto a las de las respectivas caras de la placa L. (Demuestre que fuera de las placas K y M no hay carga).

Ø Por otra parte, sabemos que las placas K y M están al mismo potencial que la tierra :

VK

VM

0

y toda la placa L está a un potencial dado V L ; por lo tanto, las diferencias de potencial entre las placas K y L , y entre las placas M y L son las mismas :

VK L

VM L

VL VK

VL VM

V en función del campo eléctrico :

Expresando los

L

VK L

VL

r uur E 2 g dl

VK

E 2d 2

K

L

VML

VL

r uur E1 g d l

VM

E1d1

M

r

r

siendo E1 y E2 las magnitudes de E 1 y E 2 respectivamente.

E1 d1

Luego ,

E2 d2 .

El campo eléctrico entre las placas puede calcularse por superposición, a partir del campo eléctrico producido por una placa ( vea PROBLEMAS 5 Y 12 ) : 2

E2

,

entre las placas K y L

,

entre las placas L y M

,

fuera de las placas.

0

E1

1 0

E

0

4. Potencial Eléctrico

63

2

En consecuencia,

d2

0

1

d1

y

0

1 2

d2 , d1

(2)

es decir, la carga en la placa L se distribuye en razón inversa a las distancias a las placas K y

M . Esto justifica que hayamos dibujado más líneas de campo eléctrico entre las placas K y L que entre las placas L y M . De (1) y (2) :

Q 1

A 1

1

d1 d2

2 0 g 1 0 9 [C ] 2 g10 2 [ m] 3 0 0 g 10...