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Potencial eléctrico

Ondas y Electromagnetismo

Tema 3 POTENCIAL ELÉCTRICO 1. Introducción. 2. Energía potencial eléctrica. 3. Potencial eléctrico. 4. Cálculo del potencial eléctrico. 5. Relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico. 6. Superficies equipotenciales.

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Potencial eléctrico

Ondas y Electromagnetismo

Tema 3 POTENCIAL ELÉCTRICO 1. Introducción

En los capítulos anteriores hemos visto el que el efecto que produce una distribución de carga se puede describir en términos de campo eléctrico. En este capítulo vamos a introducir otro concepto, el potencial eléctrico, se establece la relación entre campo y potencial eléctrico, se calcula el potencial eléctrico producido por distribuciones discretas y continuas de carga y se calcula el campo eléctrico en regiones del espacio donde conocemos el potencial. 2. Energía potencial eléctrica

Cuando estudiamos la mecánica, los conceptos de trabajo, energía potencial y conservación de la energía mecánica nos resultaron fundamentales, estos conceptos también serán fundamentales para comprender las interacciones eléctricas. Hemos definido el trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre una partícula desplazándola desde a hasta b: b

Wa b   F  dr a

Si la fuerza es conservativa, el trabajo se puede expresar en términos de una función, energía potencial, U: b

Wa b   F  dr   (U b U a )   U a

El teorema trabajo – energía cinética nos dice: b

Wa b  a F  dr  Ecb  E ca Si todo el trabajo sobre la partícula lo realizan fuerzas conservativas, E ca  U a  E cb  U b

la energía mecánica total se conserva.

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En este tema vamos a utilizar estos conceptos, donde la fuerza conservativa el la fuerza eléctrica. Energía potencial eléctrica en un campo uniforme Consideremos la unidad de carga positiva q0 que se desplaza en una región donde hay un campo eléctrico uniforme, producido por dos placas metálicas paralelas cargadas con igual carga pero de signo contrario. El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre la carga de módulo F = q0 E y hacia abajo, esta fuerza sobre la carga de prueba es constante y no depende de donde este la carga dentro del campo. b

Wa b   F  dr a

La fuerza y el desplazamiento son dos vectores paralelos y la distancia entre a y b es d, Fig.3.1. Carga eléctrica en campo uniforme

Wa b  q 0Ed

La fuerza ejercida sobre q0 por el campo eléctrico uniforme es conservativa, elWa b realizado por el campo es independiente de la trayectoria que sigue q0 para ir desde a hasta b, este trabajo es igual a menos la variación de una función potencial, energía potencial eléctrica, Wa b   U   (U b  U a )  U a  U b  q0 Ed

en este caso, el campo realiza un trabajo positivo y la energía potencial en a, Ua es mayor que la energía potencial en b, Ub. Si la carga fuese negativa, el trabajo del campo para llevar la carga desde a hasta b seria negativo y la energía potencial sería mayor en b que en a. Energía potencial de una partícula de prueba en el campo de una carga puntual Supongamos una carga de prueba q0 que se mueve en el campo creado por otra carga puntual q fija. Consideremos primero el desplazamiento a lo largo de una línea radial desde a hasta b.

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La fuerza sobre q0 está dada por la ley de Coulomb

F  ke

0

r2

ur

El trabajo realizado sobre q0 por esta fuerza, b

Wa b   F  dr   k e a

ra

0

r2

u r  dr

y

dr  drur

fuerza y desplazamiento llevan la misma dirección, Fig.3.2. Carga de prueba desplazándose a lo largo de una línea recta

rb

Wa b   k e ra

 1 1  qq0  1 1  qq0 qq u r  dr   k e 20 dr  k eqq 0        2 r a r r  ra rb  4 0  ra rb 

En este caso particular el trabajo realizado por la fuerza eléctrica depende solo del punto inicial y final. Consideremos ahora una trayectoria general, donde q0 no sigue un desplazamiento radial, b

rb

Wa b   F  dr   F cos  dl   k e a

ra

ra

qq0 cos  dl r2

cos dl  dr rb

Wa b  r k e a

 1 1  qq0  1 1  qq0 dr  k eqq 0        2 r  ra rb  4 0  ra rb 

El resultado obtenido es igual que el anterior, el campo eléctrico solo depende de los puntos inicial y final, la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa. El trabajo es igual a menos la variación de la energía potencial. Wa b   U   (U b  U a )  U a  U b Fig.3.3. El trabajo que el campo eléctrico de q realiza sobre q0 no depende de la trayectoria, solo de los puntos inicial y final

 1 1  qq0  1 1  U a U b  k eqq 0         ra rb  4 0  ra rb  Aunque solo las variaciones de energía potencial tienen un significado físico es conveniente seleccionar una posición donde definamos la energía potencial igual a cero, hablamos así de la energía potencial que posee una partícula cargada cuando se encuentra en una posición, teniendo en cuenta que este valor depende de la posición que hemos tomado como cero. En la ecuación anterior si cuando la partícula esta en ra le 38

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asignamos la energía potencial Ua y cuando está en rb le asignamos Ub, la energía potencial U cuando la carga de prueba q0 está a cualquier distancia r de la carga q es U  ke qq0

1 qq 0 1  r 4 0 r

La energía potencial la definimos siempre relacionándola con un punto donde se toma

U  0 . En la ecuación anterior U es cero cuando q y q0 están separados por una distancia infinita y r   . U representa el trabajo que el campo de q realiza sobre la carga de prueba q0 cuando q0 se desplaza desde una posición inicial, r, hasta el infinito. Cuando las dos cargas tienen el mismo signo, se repelen, el trabajo es positivo, U es positiva; cuando tienen distinto signo, las cargas se atraen, el trabajo es negativo, U es negativa. La energía potencial, U, es una propiedad que depende de las dos cargas q y q0, por eso no debemos hablar de la energía potencial de una sola carga. Energía potencial de una partícula de prueba en el campo de varias cargas puntuales Supongamos que la carga de prueba, q0, se encuentra en el campo eléctrico, E , creado por varias cargas puntuales, q1, q2, …., a distancias r1, r2,…..de q0. El campo eléctrico total en cada punto es la suma de los campos eléctricos debidos a las cargas individuales, y el trabajo total sobre q0 cuando se desplaza es la suma de las contribuciones de las cargas individuales. Fig. 3.4. La energía potencial de la partícula de prueba depende de la distancia a cada una de las demás partículas.

U 

q 0  q1 q2 q 3     4 0  r1 r2 r3

 



q 4 0

qi

r i

i

Si q0 estuviese en un punto distinto de a, la expresión anterior sería igual, pero r1, r2,….. serian las distancias de las cargas q1, q2,…., a este punto.

U 

q0 4 0

qi

r i

i

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Ejemplo 5.1 Dos cargas puntuales están sobre el eje x: q1 = -e en x = 0 y q2 = +e en x = a. Halle el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una tercera carga q3 = +e desde el infinito hasta x = 2a. Solución: W  2 a  U  U  U 2 a  U 2 a

El trabajo para traer q3 desde el infinito hasta 2a

W  2a  

 e  e  e  q3  q1 q2  e2         4 0  r1 r2  4 0  2a a  8 0a

Cuando q3 se trae desde el infinito es atraída por q1 y es repelida por q2 con mayor intensidad por lo que se necesita realizar un trabajo para colocar q3 en la posición dada. Ejemplo 5.2 En la primera etapa de una reacción de fusión controlada, núcleos de deuterio (mD = 2 uma, qD = +e) y de tritio (mT = 3 uma, qT = +e) reaccionan y forman un núcleo de helio y un neutrón. Suponiendo que el centro de masas de las partículas está en reposo con respecto al laboratorio, ¿a qué velocidad debe moverse cada partícula al acercarse entre sí desde una gran distancia, si deben alcanzar una distancia mínima de 2·10-15 m? Solución: Se conserva el momento lineal antes y después del acercamiento de las partículas, antes las partículas, deuterio y tritio, llevan velocidad, después las partículas están en reposo, antes de reaccionar y formar el núcleo de helio y el neutrón. Se conserva la energía, cinética más potencial. Antes, las partículas solo tienen energía cinética; están muy alejadas, no tienen energía potencial electrostática. Después, quedan en reposo, pero sí tienen energía potencial electrostática. mD vD  mT vT  0

q q 1 1 mDv D2  mT vT2  D T 2 2 4 0r

Resolviendo se obtiene: vT  4,3 106 m / s vD  6,5 10 6 m/ s

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3. Potencial eléctrico La energía potencial la hemos asociado con una carga de prueba, q0. Pero, al igual que la fuerza eléctrica también estaba asociada a una carga de prueba y definimos el campo eléctrico como fuerza por unidad de carga, haremos lo mismo con la energía eléctrica, definiremos el potencial eléctrico o potencial como la energía potencial por unidad de carga. b

Wa b   F  dr  q0E  dr   (U b U a )  U a

a

bF Wa b  dr   E dr   a a q0 q0

V  Vb Va 

 Ua ) U    V q0 q0

b U    E  dr a q0

Diferencia de potencial entre dos puntos. La diferencia de potencial,Vb  Va , es el valor negativo del trabajo por unidad de carga realizado por el campo eléctrico sobre una carga de prueba, q0, cuando está se desplaza desde el punto a al punto b. Va  U a q0 es la energía potencial por unidad de carga en el punto a y Vb  U b q0 es la

energía potencial por unidad de carga en el punto b. Llamamos a Va potencial en a y a Vb potencial en b. Definimos el potencial V en cualquier punto del campo eléctrico como la energía potencial U por unidad de carga V 

U q0

El potencial es un escalar. Su unidad en el SI es el voltio, V, 1 V = 1 J/C

El potencial debido a una sola carga puntual, V 

U 1 q  q0 40 r

El potencial debido a un conjunto de cargas puntuales, V 

1 U  q0 4 0

El potencial debido a una distribución continúa de carga, V 

qi

r i

U 1  q0 40

i



dq r

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En un punto puede existir potencial sin que en ese punto este presente una carga eléctrica. Si situamos una carga de prueba q0 en un campo eléctrico E y la dejamos en libertad, se acelerará en la dirección de E a lo largo de la línea de campo. La energía cinética de la carga aumentará y la energía potencial disminuirá.

Fig.3.5. Las líneas de campo eléctrico apuntan en la dirección en la que el potencial decrece más rápidamente.

Una carga positiva experimenta una fuerza eléctrica en la dirección de E hacia valores más pequeños de V; una carga negativa experimenta una fuerza en la dirección opuesta de E hacia valores más altos de V. Ejemplo 5.2 Las placas cargadas del cañón de electrones de un tubo de rayos catódicos (fig. 9.9) se llaman ánodo y cátodo. Los electrones son emitidos por el cátodo prácticamente en reposo, y se aceleran al viajar hacia el ánodo, que tiene un potencial positivo respecto al cátodo. Algunos de los electrones saldrán del cañón por el pequeño agujero que hay en medio del ánodo y formarán el haz de electrones. Suponiendo que la diferencia de potencial existente entre cátodo y ánodo sea V = 2500 V, y que los electrones parten del reposo, encontrar, (a) la energía cinética y (b) la velocidad de los electrones que atraviesan el agujero del ánodo. Solución: La energía mecánica total de los electrones se conserva durante su aceleración desde el cátodo hasta el ánodo. Ecc  U c  Eca  U a

Los electrones en el cátodo parten del reposo, Ecc  0 , la energía potencial del electrón es U  qV  eV , en el cátodoUc  eVc y en el ánodo U a  eVa Eca  U c  U a  eVc  ( eVa)  e( V a  V c)  eV  2500 eV Eca  2,5 keV

A menudo se utiliza como unidad de energía el electrón-voltio, eV, 1eV = 1,602·10-19 J 1 Ec  mv 2 2

 v

2eV m 7

v  3 10 m / s

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Ejemplo 5.3 Cuatro partículas de carga q se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado a. Calcular el potencial en el centro del cuadrado. Solución: Las diagonales del cuadrado miden a 2 , la distancia de cada carga a P es r  a 2 2

V 

U 1  q 0 4 0

qi

r i

i

V

1

4q 2q  4 0 a 2 2  0a

Ejemplo 5.4 Dos

cargas

puntuales

de

15 nC

y

8 nC están separadas entre si 5 cm en el vacío. a) Hallar el potencial en a, b y c. b) Hallar el trabajo necesario para trasladar una carga puntual de 3 nC desde c hasta a y desde a hasta b. Solución: V 

1 4 0

qi

r

Va  900 V

i

Vb  5721 V

V c  1260 V

Wa  b  q (V a V b )  1, 44 10 5 J

Wc a  q (V c V a )  1,08 10 6 J

El trabajo para llevar la carga puntual de a hasta b, es negativo porque hay que realizar un trabajo contra las fuerzas del campo. Las cargas positivas se mueven espontáneamente hacia potenciales más bajos. 43

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4. Cálculo del potencial eléctrico Potencial en el eje de un anillo cargado Consideremos un anillo uniformemente cargado de radio a y carga Q. dq es un elemento de carga del anillo.

r  a 2  b2

es

la

distancia

desde

cualquier elemento de carga hasta el punto donde calculamos el potencial. 1

V 

4 0

dq

Fig.3.6. Anillo de carga

r

1

V 

4 0 V



1 dq  r 4 0r



Q 0

dq 

1 Q 1    4 0 r 4 0

1 Q 4 0 r

Q a b 2

2

Cuando b es mucho mayor que a el potencial se aproxima a

Q que es el potencial 4 0 b 1

creado por una carga puntual en el origen. Potencial en el eje de un disco uniformemente cargado Consideremos

un

disco

uniformemente

cargado, con carga Q y radio R. Suponemos el disco formado por anillos, un anillo cualquiera posee una carga dq y un radio a.  es la densidad

de

carga.



dq Q  dS  R 2

,

dq  dS  2 a da V 

Fig.3.7. Disco de carga

1 R  2 a da dq  4 0  r 4 0 0 (a 2  b 2 ) 1 2 1

R

V

 4 0

R



0

(a 2  b2 ) 1 2 2a da 

2  (a 2  b 2 )1 2   (R 2  b2 )1 2  b  1 4 0 4 0 2

V

0

 (R 2  b 2 )1 2  b   2 0 44

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5. Relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico Si conocemos el potencial podemos utilizarlo para calcular el campo eléctrico. b

Vb Va   E  dr a

 dV  E  dr  E dr cos 

 es el ángulo entre el campo eléctrico y el desplazamiento, E cos es la componente paralela del campo eléctrico al desplazamiento, si E y dr son perpendiculares dV  0 , el potencial no varía. Si el potencial depende solo de x, no se producen cambios en V para los desplazamientos en las direcciones y o z, y por lo tanto, Ey y Ez son nulos.

dV ( x)  E  dr  E dxi  Ex dx Ex  

dV (x ) dx

Igualmente, para una distribución de carga con simetría esférica, el potencial depende de la distancia radial r. Cuando el desplazamiento es perpendicular a la dirección radial, el potencial no varía. Si el desplazamiento es radial, dr  drur

dV (r)  E  dr  E drur  Er dr Er  

dV (r ) dr

Si conocemos el potencial en una región del espacio, podemos utilizarlo para calcular el campo eléctrico, y viceversa, si conocemos el campo eléctrico podemos utilizarlo para calcular el potencial. En general la relación entre E y V es más compleja. Potencial debido a un plano infinito de carga En los temas 9 y 10 hemos encontrado el valor de E producido por un plano infinito de carga. Supongamos la carga colocada en el plano xy; en puntos próximos al plano, Ez 

 2 0

dV   E  dr   Ez dz   V 

 dz 2 0

 2 0

z C

Fig.3.8. Plano de carga

z0

V en puntos cercanos a un plano de carga 45

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C es una constante de integración, el potencial disminuye linealmente con la distancia al plano, no podemos escoger V  0 cuando x   , pero podemos tomar V  0 cuando

z  0 , con esta condición C  0 . Potencial en el interior y en el exterior de una corteza esférica de carga Q. Consideremos una corteza esférica de radio R y densidad de carga uniforme, calculamos el potencial en puntos externos e internos a la corteza. En los temas anteriores calculamos E , E

Q 2 4 0 r 1

r R

E es el mismo que si toda la carga estuviese en el origen. Fig.3.9. Corteza esférica de carga

1 Q dV   Er dr   2 dr 4 0 r V 

1 Q  C , tomamos V  0 cuando r   así C  0 4 0 r

V

1 Q 4 0 r

rR

V en puntos externos de una corteza esférica de carga En el interior de la corteza E  0 r  R dV  Er dr  0

 V  cte Para obtenerlo, lo calculamos cuando r  R

V

1 Q 4 0 R

rR

V en puntos internos de una corteza esférica de carga Un error común consiste en pensar que el potencial debe ser cero en el interior de una corteza esférica debido a que el campo eléctrico allí es nulo. Un campo eléctrico nulo significa que el potencial eléctrico no varía. Fig.3.10. Potencial eléctrico de una corteza esférica uniformemente cargada

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Potencial en el interior y en el exterior de una esfera sólida de carga Q En el tema anterior hemos calculado el campo eléctrico en puntos externos e internos de una esfera sólida de carga Q y radio R. El campo eléctrico en puntos externos a la esfera es E  la esfera vale E 

1 Q y en puntos internos a 2 4 0 r

Q r 4 0 R 3 1

El campo eléctrico en puntos externos es igual que en el ejemplo anterior, por tanto el potencial eléctrico también vale lo mismo que en el ejemplo anterior y también lo mismo que si se tratase de una carga puntual, V

1 Q 4 0 r

rR

V en puntos externos de una e...