3 Apendice Potencial generado por el dipolo electrico PDF

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Potencial generado por un dipolo eléctrico

y

 r2

 V r  r1

 r

Vamos a colocar un dipolo eléctrico de tal manera que su momento dipolar eléctrico sea



-q dx

   p  p i  q2 dx i

dx q x

(1)

Tomando la referencia en el infinito y considerando las cargas  q y  q por separado:

   V r   V1 r1   V1 r2  

1  q q     40  r  dxiˆ r  dxiˆ   

(2)

Calculando en el plano xy:   1  V r   4 0  

q

 x  dx 

2

 2

y

q

 x  dx 

2

   y2  

(3)

Desarrollando los binomios:

 V r  

  q q 1    4 0  x 2  y 2  2xdx  dx 2 x 2  y2  2 xdx  dx 2    (4)

En principio, en el límite dx  0 , (4) se anularía. Vamos a considerar la aproximación cuando dx  r 

x2  y2 . De entrada, ya podemos considerar xdx   dx  por lo que: 2

 1 V  r  40

 q   2 2  x  y  2 xdx

  x  y  2 xdx  q

2

2

(5)

El siguiente paso para poder aplicar más aproximaciones es dividir y multiplicar el denominador de la expresión (5) por r  x2  y2 :

    q q 1  V  r     4 0  2 xdx 2 xdx  r 1 2 r 1 2  r r  (6)

Aplicando el desarrollo de Taylor 1  x  1  nx  ..... y tomando sólo el primer n

término del desarrollo, válido para x  0 :  V  r 

q 1  1 2 xdx  1 2 xdx   1   1 2 2   4 0 r  2 r 2 r    (7)

Finalmente:  V r  

q 2 xdx 1 px  3 4 0 r 4 0 r 3 (8)

Teniendo en cuenta que x  r cos    :  Vr  

pr cos    r3 4 0 1

(9)

  Y como  es también el ángulo que forman los vectores p y r llegamos a la expresión  aplicable para cualquier orientación del vector p :  V  r 

  1 p r 40 r3 (10)

 La expresión (10) es una aproximación dipolar a la función potencial eléctrica V  r  en

el caso de dos cargas de igual magnitud pero signo contrario situadas muy próximas   entre si (dipolo). Es similar a lo que ya hicimos con el campo eléctrico E  r  en estos mismos supuestos. Supongamos una distribución cualquiera de carga. Aplicando el principio de superposición, la función potencial se podría calcular como:

 dq 1 V r      4 0 r r dq (11)

1 El término   puede ser desarrollado en series de Taylor cosa que puede resultar r  rdq adecuada cuando la distancia r sea grande pero no tanto como para considerar toda la distribución como una carga puntual. El desarrollo de Taylor de una función de múltiples variables se puede escribir como: n  F  1 n n   2F   F  x1 , x2 ,...., xn   F  0    x xi x j  ....     i 3 i 1 j 1  xi x j  xi 0 i 1  xi x  0 i x j 0

(12)

Aplicando este desarrollo a (11) considerando únicamente hasta los términos cuadráticos en (12):

 V  r 

t   1 Q 1 p r 1  r  Qij  r    ..... r5 4 0 r 4 0 r 3 4 0

(13)

Donde Q   dq   p   r dq dq Qij 

1 2

 3 x

x

dq, i dq, j

 rdq ij  dq 2

(14)

 siendo Q la carga total, p el vector momento dipolar y  Qij  el momento o matriz

cuadripolar. Muy lejos, r   , el sistema de cargas se comporta como una carga puntual de carga la total del sistema Q . Ese es el término principal y el resto se hace cero mucho más rápidamente. Pero cuando Q 0 , el siguiente término del desarrollo cobra importancia. Puede verse las similitudes del término denominado dipolar de (13) con (10). No obstante, ese término podría también ser cero (sería el caso de superposición de dos dipolos de sentidos contrarios) y es entonces cuando la aproximación cuadripolar cobra sentido....