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Ejercicios Ampliación de física Ingeniería mecánica...

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Grado en Ingeniería Mecánica 1ER CURSO (2º SEMESTRE)-2018/19

AMPLIACIÓN DE FÍSICA P2. POTENCIAL ELÉCTRICO 1. Hallar el gradiente de los campos escalares siguientes: 𝑓1 = 𝑥𝑦𝑧 , 𝑓2 = (𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 𝑥). 2. Dos partículas puntuales cargadas con la misma carga Q se encuentran situadas en el eje x a una distancia a y –a del origen. Calcular el trabajo que hay que realizar para traer una carga Q’ desde el infinito hasta el origen del sistema de referencia. Si una vez situada en el origen dejamos libre la partícula ¿qué trayectoria seguirá, y cuál será su velocidad en el infinito si su masa es m? 3.

Obtener el potencial eléctrico que crea un dipolo en el plano xy (considerar la carga -Q en el eje x, a una distancia -a del origen, y la carga +Q también situada en el eje x, a una distancia a ). Obtener también el campo eléctrico a partir del potencial.

4. ¿Cuál es el potencial creado por un anillo uniformemente cargado con una carga Q en el eje perpendicular al plano del anillo que pasa por su centro (suponer que éste es el eje z y el origen del sistema de referencia coincide con el centro del anillo)? A partir de este resultado obtener el potencial y el campo eléctrico que crea un disco de radio R y densidad de carga uniforme σ, en el eje perpendicular que pasa por su centro (z). 5. Se colocan dos anillos con sus planos paralelos y con el mismo eje perpendicular que pasa por sus centros. Están cargados de forma uniforme con cargas iguales y de signo contrario +Q y –Q. La distancia de separación entre los anillos es d. Si una carga puntual positiva q se deja libre en el centro del anillo positivo, ¿cuál será su velocidad cuando pase por el centro del anillo negativo? 6. Obtener y representar el potencial creado por una distribución plana e infinita de carga, con densidad de carga por unidad de superficie  constante, sabiendo que el potencial en la distribución vale Vo. 7. Obtener, a partir de los resultados del problema 1.9, el potencial eléctrico que crea un cilindro de radio R y longitud L (L>>R), cargado con una densidad de carga por unidad de volumen constante Q. Obtener lo mismo si el cilindro es conductor y la carga total introducida es Q. (En ambos casos el potencial en la superficie del cilindro es V0). 8. Una esfera aislante sólida de radio R1 se carga de forma homogénea en todo su volumen con una carga total Q. Se rodea con una corteza esférica conductora descargada de radio exterior R2. Obtener el potencial eléctrico creado por esta configuración en todos los puntos del espacio. 9. En el exterior de una esfera conductora cargada de radio R se coloca, concéntrica con ella, una corteza esférica conductora de radio interior 2R y exterior 3R. El valor de la carga de la corteza esférica es Q. ¿Cuál será el valor de la carga de la esfera interna si su potencial es Vo? 10. Obtener el potencial eléctrico de la distribución del ejercicio 1.11 (una esfera de radio R, cargada con una densidad de carga dada por   0 r ) para todos los puntos del espacio y la energía total de la distribución . 11. Disponemos de dos cortezas esféricas de espesor despreciable, concéntricas y metálicas de radios a y b. La corteza interior de radio a tiene carga Q y la corteza exterior de radio b está descargada. Mediante un hilo conductor se unen ambas cortezas. Determinar cómo se distribuyen las cargas, cuánto vale el campo eléctrico en cada región y cuanto varía la energía potencial almacenada por el hecho de poner el hilo conductor. ¿Se conserva la energía potencial? Explicar. Suponer V(∞)=0. 12. Una línea infinita de carga con densidad lineal de carga λ uniforme se encuentra en el eje de un conductor cilíndrico hueco descargado de radio interior R 1 y radio exterior R 2, también de longitud infinita. a) Calcular el campo eléctrico en todas las regiones del espacio. Representar gráficamente el módulo del campo eléctrico en función de la coordenada radial r. b) Calcular las densidades superficiales de carga σ 1 y σ 2 sobre las superficies interior y exterior del conductor. c) Calcular y representar gráficamente en función de r el potencial eléctrico en todas las regiones del espacio si el potencial en la superficie exterior del conductor es V(R2) = 0.

Soluciones (2): 1.

grad( f1 )  yzi  xzj  xyk ,

grad( f2 )   2 xy  y2  i   x2  2xy  j

 QQ '  v   0 ma 

QQ ' 2. W  2 0a

12

  1 1   3. V (r )   12 12   2 2 2 40  x  a  y 2  (x a)  y         x  a   x  a    E (r )  i 40  x  a 2  y 2 3 2  (x  a) 2  y2 3 2       







40  R 2  z 2 

 qQ 5. v     m0  6.



Q

4. V 

1

V  2



 2 2 12 R z  z  2 0

  1  1   R  R 2  d 2 1 2    

V (x )  V0 

8.



 x 20

    V0 si 

V (r ) 





12

q 7. a) V     V 0   R 2   2  si   R 40 b) V

   j 32 2 2 2 32  2 (x a)   y    x a y         z  1 k E 12 2 2 2 0   R  z   

Q 4 0r

si

q R 2

  ln   si   R 20  R  Q   ln  si   R V     V0  2 0L  R 

V     V0 

R

1 Q  1 r2  Q    ( ) V r si R1  r  R2 V (r )    si r  R1 4 0r  R2 2R1 2R13  40 R2

r  R2

1 24 0 RV0 2 Q  5 R 4 0  si r  R V (r )  0 4R3  r 3 si r  R 10. V (r )  4 0r 120 9. Q' 



11. 𝑄𝑎 = 0, 12. a) 𝐸𝑟 =

𝐸𝑟 = 0 (0 < 𝑟 < 𝑏),

𝑄𝑏 = 𝑄 𝜆

1

2𝜋𝜀0 𝑟 𝜆

𝜎1 = − 𝑉=−

(𝑟 < 𝑅1 ),

2𝜋𝑅1 𝜆

2𝜋𝜀0

,

𝑙𝑛

𝑟

𝑅1

𝜎2 =

𝜆

𝐸𝑟 = 0 (𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 ),

2𝜋𝑅2

(𝑟 ≤ 𝑅1 ),

20 7 U R 7 0



𝐸𝑟 =

𝑄

4𝜋𝜀0 𝑟 2

𝐸𝑟 =

𝑉 = 0 (𝑅1 𝑟 ≤ 𝑅2 ),

1

𝜆

1

2𝜋𝜀0 𝑟

𝑄2

1

0

(𝑟 > 𝑅2 )

𝑉=−

𝜆

2𝜋𝜀0

𝑙𝑛

1

Δ𝑈 = 8𝜋𝜀 ( 𝑏 − 𝑎 )

(𝑟 > 𝑏 ),

𝑟

𝑅2

(𝑟 ≥ 𝑅2 )...