6. Líneas y puntos fundamentales del triángulo PDF

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CLASE N°6

LÍNEAS Y PUNTOS FUNDAMENTALES DE TRIÁNGULOS 1. Objetivo Conocer las propiedades de líneas y puntos fundamentales de un triángulo. 2. Logros de aprendizaje De conocimientos • • •

Conocer líneas y puntos fundamentales de un triángulo. Comprender de las propiedades y teoremas de líneas y puntos fundamentales de un triángulo. Conocer la demostración de las propiedades y teoremas de líneas y puntos fundamentales de un triángulo.

De destreza •

Identificar y aplicar conceptos de líneas fundamentales y concurrencias de mediatrices, alturas, bisectrices y medianas.

De Valores • El estudiante de la materia debe manifestar sentido de responsabilidad, honestidad, respeto y predisposición al trabajo 3. Desarrollo de la clase

LÍNEAS Y PUNTOS FUNDAMENTALES DE TRIÁNGULOS 1. Base del triángulo La base de un triángulo es cualquiera de sus tres lados.

1

2. Círculo Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (O). La distancia desde el centro a cualquier punto elemento del círculo se lo define como radio R

Tangente: es la recta que interseca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia o punto de contacto. * El radio es perpendicular a la tangente en el punto de contacto o tangencia.

Tangente  AT Punto de tangencia: T

3. Mediana- Baricentro Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro (G): punto de intersección de las medianas, es el centro de gravedad del triángulo. Siempre está en el interior del triángulo.

Propiedad del baricentro: divide a la mediana en dos segmentos, el segmento formado desde el vértice al baricentro es el doble del otro. 𝐵𝐺 = 2𝐵𝑃

𝐴𝐺 = 2𝐺𝑄 𝐶𝐺 = 2𝐺𝑇

2

4. Bisectriz – Incentro/Excentro Bisectriz: segmento que divide al ángulo interno o externo en dos ángulos de igual medida. Incentro (I): punto de intersección de las bisectrices internas. Centro del círculo inscrito. Siempre está en el interior del triángulo.

Círculo Inscrito: es tangente a los tres lados del triángulo.

Excentro (𝑶𝒂 , 𝑶𝒃 , 𝑶𝒄): punto de intersección de las bisectrices externas y una interna. Es centro del círculo ex-inscrito. Siempre está fuera del triángulo.

Oa : 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎. Ob : 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏.

Oc: 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 c.

Círculo Ex-inscrito: es tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos lados del triángulo.

5. Mediatriz – Circuncentro Mediatriz: recta perpendicular que divide al lado del triángulo en dos partes iguales. Circuncentro (O): punto de intersección de las mediatrices. Es centro del círculo circunscrito.

Círculo Circunscrito: pasa por los tres vértices del triángulo.

3

OBSERVACIONES Triángulo acutángulo: el circuncentro se encuentra en el interior del triángulo. Triángulo rectángulo: el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Triángulo obtusángulo: el circuncentro se encuentra en el exterior del triángulo.

Triángulo rectángulo

Triángulo obtusángulo

6. Altura – Ortocentro

Altura: segmento perpendicular trazado desde un vértice hacia el lado opuesto o su prolongación. Ortocentro (H): punto de intersección de las alturas.

OBSERVACIONES Triángulo acutángulo: el ortocentro se ubica en la parte interna del triángulo. Triángulo rectángulo: el ortocentro es el vértice del ángulo recto. Triángulo obtusángulo: el ortocentro se ubica en la parte externa del triángulo.

Triángulo rectángulo Triángulo Obtusángulo

4

ÁNGULOS ENTRE LÍNEAS FUNDAMENTALES TEOREMA 5: ÁNGULO ENTRE DOS BISECTRICES INTERNAS El ángulo formado por dos bisectrices internas de un triángulo es igual a 90º más la mitad del ángulo interno no bisecado. H) I Incentro ∆ABC  =90o+ T) AIB

∢ACB 2

Demostración 1. ∢AIB=180-(∢1+∢2)

∑ á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝛥𝐴𝐼𝐵

3. ∢ABC=2∢2

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

2. ∢BAC=2∢1

4. ∢ABC+∢BAC+∢ACB=180° 5. 2∢2+2∢1+∢ACB=180°

180-∢ACB 2 180-∢ACB 7. ∢AIB=180- ( ) 2 6. ∢2+∢1=

8. ∢AIB=90+

∢ACB 2

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

∑ á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝛥𝐴𝐵𝐶 2 𝑦 3 𝑒𝑛 4 𝐷𝑒 5

6 𝑒𝑛 1 𝐷𝑒 7

TEOREMA 6: ÁNGULO ENTRE DOS BISECTRICES EXTERNAS El ángulo formado por dos bisectrices externas es igual a 90° menos el ángulo no adyacente dividido para 2.

𝑯) 𝐷 𝑒𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑻) ∢𝐵𝐷𝐶 = 90° −

∢BAC 2

5

Demostración 1. ∢BAC+∢ABC=2∢2

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝛥𝐴𝐵𝐶

3. ∢2+∢1+∢BDC=180°

∑ Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝛥𝐵𝐷𝐶

2. ∢BAC+∢ACB=2∢1

4.

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜. 𝛥𝐴𝐵𝐶

∢BAC+∢ABC ∢BAC+∢ACB +∢BDC=180° + 2 2

1 𝑦 2 𝑒𝑛 3

5. ∢ABC+2∢BAC+∢ACB+2∢BDC=360°

𝐷𝑒 4

∢BAC 2

𝐷𝑒 5

6. ∢BAC+2∢BDC=180° 7. ∢𝐵𝐷𝐶 = 90° −

2 𝑦 3 𝑒𝑛 4

TEOREMA 7: ÁNGULO ENTRE BISECTRIZ INTERNA Y BISECTRIZ EXTERNA El ángulo que se forma en el cruce de una bisectriz interna y una bisectriz externa es igual a la mitad del tercer ángulo.

 bisectriz interna del ∆ABC H) BD

 𝐴𝐷 bisectriz interna del ∆ABC ∢BCA T) ∢BDA= 2

Demostración 1. ∢1=∢2+∢BDA 2. ∢BDA=∢1-∢2

Ángulo externo en ΔBAD De 1

3. 2∢2+∢BCA=2∢1

Ángulo externo ΔABC

4. ∢2+

De 3

∢BCA =∢1 2 ∢BCA -∢2 5. ∢BDA=∢2+ 2 ∢BCA 6. ∢BDA= 2

4 en 2 De 5

6

TEOREMA 8: ÁNGULO FORMADO ENTRE UNA BISECTRIZ INTERNA Y LA ALTURA RELATIVA AL MISMO VÉRTICE. El ángulo entre una bisectriz interna y la altura relativa al mismo vértice es igual a la mitad de la diferencia entre los otros dos ángulos internos del triángulo.  altura ∆ABC 𝐇)  𝐵𝐷 bisectriz, 𝐵𝐻 = T) DBH

1. ∢BAD+∢1+∢DBH=90° 2. ∢BCH+∢1-∢DBH=90° 3. ∢1=90°-∢BAD-∢DBH

 -DBH  BCH 2

∑ Ángulos internos ΔABH ∑ Ángulos internos ΔHBC De 1

4. ∢BCH+90°-∢BAD-∢DBH-∢DBH=90

3 en 2

5.

2∢DBH=∢BCH-∢DBH

De 4

6.

∢DBH=

De 6

∢BCH-∢DBH 2

4. Bibliografía • • •

CALVACHE, Gonzalo. y LEÓN, Carlos. (2019). Geometría Plana, Trigonometría, Geometría del Espacio, Geometría Analítica. ISBN-978-9942-20-363-2. HEMMERLING, Edwin M. (2005). Geometría Elemental. México. 1975. Limusa. MOISE, Edwin E. FLOYD, L. DOWNS, Jr. Serie Matemática Moderna . Bogotá. 1972. Norma. Tomo4.

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