7. Dinámica DEL Sólido Rígido 1 PDF

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DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGID IDO O Un sólido rígido es un cuerpo indeformable y contínuo en el que las distancias entre los puntos del sólido permanecen constantes sean cuales sean las fuerzas sobre el sólido. MOMENTO DE INERCIA DE UN SÓLIDO RÍGIDO 𝐼 =  𝑚 ∙ 𝑟 

Donde mi es la masa de una partícula cualquiera del sólido Y ri es la distancia desde un punto del sólido al punto donde se calcula el momento de inercia TEOREMA DE STEINER (O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS) Sirve para calcular el momento de inercia con respecto a un eje, cuando conocemos el momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior por el que pasa el C.M.

𝐼 = 𝐼 + 𝑀 ∙ 𝑑  Donde d es la distancia entre los dos ejes paralelos El momento de inercia es un factor geométrico igual para todos los cuerpos con la misma forma y tamaño:

MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO RÍGIDO Dado un sólido rígido con momento de inercia I, que gira con velocidad angular 𝜔 󰇍󰇍 alrededor de un eje, calculamos el momento angular como: 󰇍𝐿 = 𝐼 ∙ 𝜔 󰇍

MOMENTO, PAR DE ROTACIÓN O TORQUE Derivando la ecuación del momento angular en función del tiempo: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍  

=𝐼 ∙

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍  

= 𝐼 ∙ 𝛼

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍  

Por otro lado, se cumple que

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍  

= 𝑟󰇍 × 𝐹 = ∑ 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑀

De modo que: 󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝐼 ∙ 𝛼 ∑𝑀

Esta es una ecuación de movimiento adicional en los problemas de sólido rígido. Para que la ecuación anterior sea válida, es necesario que el punto con respecto al que se calculan el 󰇍  y el momento de inercia I, sea punto fijo o C.M. Si esto no es así, el momento se momento 𝑀 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 × 𝑚𝑎  + 𝑃𝐺 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 calcularía de la siguiente forma: ∑ 𝑀 , siendo P un punto móvil.  = 𝐼 ∙ 𝛼

EQUILIBRIO EN UN SÓLIDO RÍGIDO Para que un sólido rígido se encuentre en equilibrio, deben cumplirse la siguientes condiciones:  ∑ 𝐹 = 0 󰇍 = 0  ∑𝑀

(si se cumple esto, el sólido rígido no gira)

ENERGÍA CINÉTICA DE UN SÓLIDO RÍGIDO La energía cinética de un sólido rígido se puede calcular como la suma de dos términos: 1. La energía cinética de traslación de un punto 

𝐸ó =  m∙ v2 2. La energía cinética de rotación del sólido respecto a dicho punto 

𝐸ó =  I∙ 𝜔2 Por tanto, la energía cinética total de un sólido rígido es: 𝐸ó = 𝐸ó + 𝐸ó =

1 1 m ∙ 𝑣  + I ∙ 𝜔 2 2

ENERGÍA POTENCIAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO La energía potencial en un sólido rígido se calcula siempre teniendo en cuenta la altura del C.M. 𝐸 = 𝑀 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

REACCIONES Las reacciones son fuerzas que aparecen en soportes (apoyos, vínculos y conexiones)....