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2. Semester, Große Klausurvorberitung...

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Wirtschaftsmathematik 2: Große Übung Aufgabe 1: Zwei regionale Reisevermittler (Nemec / Wachtveitl) organisieren zweiwöchige Erkundungsreisen im malerischen Altmühltal. Die Nachfrage ist in erster Linie abhängig vom Preis. Die beiden Unternehmen antizipieren diese auf Grundlage folgender Nachfragefunktionen: (Runden Sie bitte die Ergebnisse auf bis zu drei Stellen hinter dem Komma!)

Nemec:

X ( p)

960.400 500 p

810.000 400 p Wachtveitl: X ( p) a) Welchen Preis müssen Nemec und Wachtveitl nehmen um jeweils 520 Reisen vermitteln zu können? b) Bestimmen Sie bitte die jeweiligen Eigenpreiselastizitäten bei 520 vermittelten Reisen! c) Bestimmen Sie bitte für das Unternehmen Wachtveitl die Eigenpreiselastizität bei einem Preis von 800 €? Aufgabe 2: Berechnen Sie bitte die Eigenpreiselastizitäten für folgende Güter in Bezug auf das Jahr 2003! (Runden Sie die Ergebnisse auf maximal 4 Stellen hinter dem Komma)

1. Bitte berechnen Sie folgende Eigenpreiselastizitäten! a) Preis Steinpilze: Durchschnittlicher Steinpilzkonsum im Jahr:

Jahr 2003: 20 €/kg; Jahr 2003: 800 g;

Jahr 2004: 19 €/kg Jahr 2004 = 844 g

b) Preis Möhren: Durchschnittlicher Möhrenkonsum im Jahr:

Jahr 2003: 2,25 €/kg; Jahr 2004: 2,7 €/kg Jahr 2003: 5,8 kg; Jahr 2004 = 5,75 kg

c) Preis Zwiebeln: Durchschnittlicher Zwiebelkonsum im Jahr:

Jahr 2003: 0,8 €/kg; Jahr 2004: 1 €/kg Jahr 2003: 12,45 kg; Jahr 2004= 12,42 kg

Aufgabe 3: Ein Einproduktunternehmen produziert auf Grundlage folgender Kostenfunktion: K ( x) 346800 100 x 0,03 x 2 Die Nachfrage antizipiert das Unternehmen mit Hilfe folgender Preisabsatzfunktion: P (x ) 480 0,02 x a) Bestimmen Sie bitte die jeweiligen Stückkosten bei einer Produktion von 100 und 6000 Stück! b) Welchen Verkaufspreis muss das Unternehmen wählen um 5000 Stück absetzen zu können? c) Bestimmen Sie bitte das Betriebsoptimum? d) Bestimmen Sie bitte die Gewinnfunktion! e) Bestimmen Sie bitte die gewinnmaximale Preismengenkombination? f) Bestimmen Sie bitte den maximalen Gewinn! g) Wie hoch ist der Gewinn bei einer Produktion von 1000 Stück!

1

Aufgabe 4: Auf dem Weihnachtsmarkt in Kotzenbüll verkauft der Chocolatier Kuno K. mit Weinbrand gefüllte Schokoladenweihnachtmänner. Auf dem Weihnachtsmarkt kostet ein leckerer Weihnachtsmann 5,9 €. Die Produktionskosten lassen sich mit Hilfe folgender Kostenfunktion angeben: K ( x) 608,4 2,3 x 0,004 x 2 (Runden Sie die Ergebnisse auf zwei Stellen hinter dem Komma!)

a) Bestimmen Sie bitte die Stückkosten bei einer Produktion von 90 und 1170 Weihnachtsmännern! b) Bestimmen Sie bitte das Betriebsoptimum! c) Bestimmen Sie bitte die gewinnmaximale Produktionsmenge! d) Wie hoch ist der maximale Gewinn? e) Wie hoch ist der Gewinn bei einer Produktion von 500 Weihnachtsmännern? Aufgabe 5: Ein Einproduktunternehmen kalkuliert seine Produktionskosten auf Grundlage folgender Kostenfunktion: K ( x) 3630 18 x 0,075 x 2 Das Nachfrageverhalten antizipiert das Unternehmen auf Grundlage folgender PreisabsatzP( x) 72 0,0002 x 2 funktion: (Runden Sie bitte die Ergebnisse auf maximal zwei Stellen hinter dem Komma!)

a) Bestimmen und begründen Sie bitte das Betriebsoptimum mathematisch! b) Bestimmen Sie bitte die Gewinnfunktion! c) Bestimmen und begründen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge mathematisch! d) Bestimmen Sie bitte den gewinnmaximalen Verkaufspreis! e) Wie hoch ist der maximale Gewinn? f) Bestimmen Sie bitte die Eigenpreiselastizität bei einem Preis von 54 €! g) Bestimmen Sie bitte die Eigenpreiselastizität bei einem Absatz von 240! Aufgabe 6: Ein Einproduktunternehmen kalkuliert seine Produktionskosten auf Grundlage folgender Kostenfunktion, wobei ein Mindestpreis von 890 € einzuhalten ist: K ( x) 30.000 845 x 4,5 x 2 0,034 x 3 Das Nachfrageverhalten antizipiert das Unternehmen auf Grundlage folgender PreisabsatzP( x) 1250 0,016 x 2 funktion: (Geben Sie bitte das Ergebnis für die Eigenpreiselastizität auf fünf Stellen hinter dem Komma an!)

a) Begründen Sie bitte, warum die Kostenfunktion einem ertragsgesetzlichen Verlauf folgt! b) Bestimmen und begründen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge mathematisch! c) Bestimmen Sie bitte das Krümmungsverhalten der Gewinnfunktion! d) Geben Sie bitte den Definitions- und Wertebereich der Gewinnfunktion an! e) Bestimmen Sie bitte die Eigenpreiselastizität bei einem Preis von 1090 €! 2

Aufgabe 7: Gegeben sind folgende zwei Preisabsatzfunktionen. Es werden keine negativen Preise geschrieben! 1) P ( x) 74 0,01x 2) P ( x ) 44,18 0,0002 x 2 a) Bestimmen Sie für beide Funktionen den Definitions- und Wertebereich! b) Bestimmen Sie die jeweiligen inversen Funktionen! Um welche ökonomischen Funktionen handelt es sich und welche Beziehung bringen sie zum Ausdruck? c) Bestimmen Sie bitte für die Inversen den jeweiligen Definitions- und Wertebereich! Aufgabe 8: Gegeben ist folgende Erlösfunktion: E( x) 27 x 0,2 x 2 a) Bestimmen Sie bitte jeweils die Differenzenquotienten an den Stellen x 0 = 65 und x0 = 100; wobei x = 0,1 ! b) Bestimmen Sie bitte für beide Sekanten das Winkelmaß α ! Aufgabe 9: Ein Einproduktunternehmen kalkuliert seine Produktionskosten auf Grundlage folgender Kostenfunktion: K ( x) 160.000 648 x 1, 2 x 2 0,005 x 3 Das Nachfrageverhalten antizipiert das Unternehmen auf Grundlage folgender PreisabsatzP (x ) 1800 0,005x 2 funktion: a) Bestimmen Sie bitte die Gewinnfunktion! b) Bestimmen und begründen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge mathematisch! c) Bestimmen Sie bitte den gewinnmaximalen Verkaufspreis! d) Bestimmen Sie bitte den Definitions- und Wertebereich der Gewinnfunktion! Gehen Sie davon aus, dass keine negativen Preise geschrieben werden! e) Bestimmen Sie bitte das Krümmungsverhalten der Gewinnfunktion! Aufgabe 10: Bestimmen Sie bitte für die folgenden sieben Funktionen die erste und zweite Ableitung! 1) f (x )

4

x 80.000 x2

2)

f (x )

3)

f ( x)

4

4)

f ( x)

3

5)

f ( x)

6)

f (x )

5

7)

f ( x)

20

3

x2

3

x8

4,5 0,1x

24 0,3 x 40.000 100 x (243x )4 5

x2

3

Aufgabe 11: Die Gewinnfunktion eines Einproduktunternehmens lautet: G( x) 38500 420 x 0,35 x 2 Df = {x ε ℝ| x ε [0;1200)} a) Berechnen Sie bitte die Nullstellen der Gewinnfunktion! b) Bestimmen Sie bitte die gewinnmaximale Produktionsmenge! c) Skizzieren Sie bitte den Graphen der Gewinnfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis aus a) und b) ökonomisch! d) Wie hoch ist der maximale Gewinn! Aufgabe 12: Ein Einproduktunternehmen kalkuliert seine Produktionskosten auf Grundlage folgender Kostenfunktion: K ( x) 500 40 x 1,5 x2 0,02 x3 D f = {x ε ℝ| x ε[0; 50]} a) Bestimmen Sie bitte jeweils die Grenzkosten für Produktionsmengen von 20 und 50! b) Bestimmen Sie die minimalen Grenzkosten! c) Bestimmen Sie bitte die jeweiligen variablen Stückkosten für Produktionsmengen von 20 und 50! d) Bestimmen Sie bitte das Betriebsminimum! e) Bestimmen Sie bitte die jeweiligen totalen Stückkosten für Produktionsmengen von 20 und 50! f) Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten der Kostenfunktion K(x)!

Aufgabe 13: Lösen Sie bitte folgende Gleichungen:

a ) 1800x 50x 2

14400

b ) 0,04x 2 9,6x 527 1296 c) 192 4x x

0

Aufgabe 14: Gegeben ist folgende Gewinnfunktion: G( x) 100 24 x 0,25 x 2 (Hinweis: Runden Sie die Ergebnisse auf bis zu vier Stellen hinter dem Komma!)

a) Bestimmen Sie bitte den Definitions- und Wertebereich der Funktion! Gehen Sie davon aus, dass die Kapazitätsgrenze bei einer Stückzahl von 100 liegt! b) Bestimmen Sie bitte den Differenzenquotienten an der Stellen x 0 = 40; wobei

x = 0,1 !

c) Bestimmen Sie bitte für die Sekante das Winkelmaß α!

4

Aufgabe 15: Die Buchungszahlen für eine Hotelanlage in der Türkei lassen sich durch folgende Preisabsatzfunktion antizipieren, wobei der Mindestpreis bei 1000 € liegt: (Runden Sie bitte die Ergebnisse auf bis zu drei Stellen hinter dem Komma!)

P( x) 1800 0,02 x2 a) Bestimmen Sie bitte den Definitions- und Wertebereich der Preisabsatzfunktion! b) Bestimmen Sie bitte die zugehörige Nachfragefunktion X(p)! c) Wie hoch ist die Eigenpreiselastizität bei 200 Buchungen? d) Wie hoch ist die Eigenpreiselastizität bei einem Preis von 1408 €? e) Wie hoch ist die Eigenpreiselastizität bei einem Preis von 1222 €?

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