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Lösungen für Übungen...

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Arbeitsgruppe Finanzierung, Finanzdienstleistungen und Electronic Finance Prof. Dr. Thomas Burkhardt Dipl.-Inf. Heiko Neuhaus

Einf¨ uhrung Investition und Finanzierung Introductory Finance Wintersemester 2020/21

¨ Ubungsblatt 7 Musterl¨ osung

Kleine Formelsammlung Vorsch¨ ussige Verzinsung: Z0,1 = K1 · ivor (t1 − t0 ) K1 = K0 + Z0,1 K0 = K1 − Z0,1 = K1 − K1 · ivor (t1 − t0 ) = K1 [1 − ivor (t1 − t0 )] K1 =

K0 1 − ivor (t1 − t0 )

Nachsch¨ ussige Verzinsung: Z0,1 = K0 · inach (t1 − t0 ) K1 = K0 + Z0,1 = K0 · [1 + inach (t1 − t0 )] Zusammenhang zwischen vor- und nachsch¨ ussigem Zinssatz: inach =

ivor 1 − ivor (t1 − t0 )

Gemischte Zinsrechnung: K1 = K0 · (1 + i · τb ) · (1 + i)n · (1 + i · τe )

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Ausgew¨ ahlte Rechenregeln Logarithmus: ln(xy ) = y · ln(x) ln(x · y) = ln(x) + ln(y) ln(ex) = x

Rentenrechnung Nachsch¨ussiger Rentenbarwertfaktor (f¨ur i > 0): a(n, i) =

1 − (1 + i)−n i

Nachsch¨ussiger Rentenendwertfaktor (f¨ur i > 0): s(n, i) =

(1 + i)n − 1 i

Annuit¨ atenrechnung P0 =

n X j=1

Aj · (1 + i)−j

Ist An konstant, dann gilt: P0 = An

n X

(1 + i)−j

j=1

= An · a(n, i) An =

P0 a(n, i)

Aufgabe 1 von 6 (Mathematische Grundlagen) Bitte durch Umformen zeigen, ob die Funktionen u1 und u2 f¨ur x, y > 0 gleich oder ungleich sind, bzw. die beiden aussagenlogischen Formeln auf der Menge M ¨aquivalent sind. Alle verwendeten Variablen seien positiv. Tipp: Bei Problemen schaut noch einmal in die Tutoriumsunterlagen und in eine Formelsammlung f¨ ur Aussagenlogik1 .

1 https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Logik oder Knauer (2015): Diskrete und algebraische Strukturenkurz gefasst, Springer

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a.) s

 313  ln(1 + x)  √ d · log2 (x) · ex+17 · logy ln(10) 37 dx !1 r √ 2  37  ex+17 x · ln(x) + 2 (lim n→∞ 1n ) u2 (x, y) = −e · · · logy x · ln(4) 313 (log10 (x + 1))−1

u1 (x, y) =

Zur Erinnerung: F¨ur f (x) = g(x) · h(x) gilt die Produktregel: f ′ (x) = g ′ (x) · h(x) + g(x) · h′ (x) Und f¨ur f (x) = g(h(x)) die Kettenregel: f ′ (x) = g ′ (h(x)) · h′ (x) Ferner gilt:

u1 (x, y) =

s s

 313  ln(1 + x)  √ d  · log2 (x) · ex+17 · logy ln(10) 37 dx

 313  d  ln(x) √ x+17  · log y · e · log10 (1 + x) dx ln(2) 37 v ! u √ √  313  u x+17 x+17 ln(x) · e e + · logy =t · log10 (1 + x) ln(2) · 2 x · ln(2) 37 v ! u  37  u√ ln(x) 1 t x+17 + e · · −1 · logy = · log10 (1 + x) x · ln(2) 2 · ln(2) 313 v ! u  37  u√ 2 x · ln( x ) t ex+17 · · −1 · logy = · log10 (1 + x) + 313 x · 2 · ln(2) x · 2 · ln(2) s  37  √ x · ln(x) + 2 · −1 · logy ex+17 · = · log10 (1 + x) x · ln(4) 313 ! 12 r √  37  x+17 e x · ln(x) + 2 1 = −e(limn→∞ n ) · logy · · x · ln(4) 313 (log10 (x + 1))−1 =

= u2 (x, y)

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b.) ¬(∀x, y, z ∈ M : xRy ∧ yRz =⇒ ¬(¬xRz ∧ ¬(xRz ∧ yRz))) ⇔ ∃x, y, z ∈ M : ¬(xRz ∨ (¬xRy ∨ ¬yRz)) Die genannten Umformungsregeln finden sich mit Beispiel auf dem Wikipedia-Link zur Aussagenlogik auf der ersten Seite (Abschnitte “Verkn¨upfungen zweier Aussagen” sowie ”Logische Grundgesetze”). Diese Aufgabe dient dazu, zu zeigen, dass sich Aussagen (z.B. die derart formalisierunsche eines Anlegers) mittels aussagenlogischen ¨Aquivalenzumformungen auf Rationalit¨at te W¨ pr¨ufen lassen. Man k¨onnte das zum Beispiel durch Herleiten der Intransivit¨at tun (siehe Money Pump). Auch k¨onnte man mit derartigen Methoden formal beweisen, dass die W¨ unsche zweiter Anleger a¨quivalent sind, auch wenn diese unterschiedlich formuliert wurden. Auch ist ein Nachvollziehen dieser Aufgabe wichtig, um sp¨ater auch die Von-Neumann-Morgenstern-Axiome verstehen zu k¨onnen, die wiederum essentiell f¨ ur das Verstehen von Nutzenfunktionen sind. Es gilt: ¬(∀x, y, z ∈ M : xRy ∧ yRz =⇒ ¬(¬xRz ∧ ¬(xRz ∧ yRz)))

| De Morgan’sche Gesetze

⇔ ¬(∀x, y, z ∈ M : xRy ∧ yRz =⇒ ¬(¬xRz ∧ (¬xRz ∨ ¬yRz))) | Ergibt ⇔ ¬(∀x, y, z ∈ M : xRy ∧ yRz =⇒ ¬(¬xRz ∧ (¬xRz ∨ ¬yRz))) | De Morgan’sche Gesetze ⇔ ¬(∀x, y, z ∈ M : xRy ∧ yRz =⇒ (xRz ∨ ¬(¬xRz ∨ ¬yRz)))

| De Morgan’sche Gesetze

⇔ ¬(∀x, y, z ∈ M : xRy ∧ yRz =⇒ xRz ∨ (xRz ∧ yRz))

| Absorptionsgesetze

⇔ ¬(∀x, y, z ∈ M : xRy ∧ yRz =⇒ xRz)

| Pr¨adikatenlogik: Quantoren2

⇔ ∃x, y, z ∈ M : ¬(xRy ∧ yRz =⇒ xRz)

| Konditional3

⇔ ∃x, y, z ∈ M : ¬(xRz ∨ ¬(xRy ∧ yRz))

| Ergibt

⇔ ∃x, y, z ∈ M : ¬(xRz ∨ ¬(xRy ∧ yRz))

| De Morgan’sche Gesetze

⇔ ∃x, y, z ∈ M : ¬(xRz ∨ (¬xRy ∨ ¬yRz))

1 Wenn etwas nicht f ur alle Elemente gilt, gibt es folglich mindestens ein Element, f¨ur das diese Aussage nicht gilt. So ¨ wird aus dem Allquantor (∀) ein Existenzquantor (∃). Siehe “Pr¨adikatenlogik:Quantoren” auf dem Wikipedia-Link. 2 Hier wird der Implikationspfeil (A =⇒ B) aufgel ost zu ¬A ∨ B, siehe “Verkn¨ upfung zweier Aussagen:Konditional”. ¨

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Aufgabe 2 von 6 (Pr¨ aferenzrelationen) Im Anlageuniversum eines Finanzberaters befinden sich die voneinander verschiedenen Wertpapiere 1 bis 6. Er hat die vom Kunden definierten Pr¨aferenzen in folgendem gerichteten Graph festgehalten. Sind zwei Knoten (Kreise) ax (Ziel) und ay (Ursprung) in diesem Graph durch eine gerichtete Kante (Pfeil) verbunden, bedeutet dies, dass gilt ax < ay , der Kunde findet also Wertpapier ax genauso gut oder besser als ay .

6

3

1

4

2

5

a.) Ist die hier gezeigte Pr¨aferenzrelation < antisymmetrisch? Bitte genau begr¨unden anhand der formalen Definition der Antisymmetrie. Nein, hier liegt keine Antisymmetrie vor. Daf¨ur m¨ usste gelten: ∀x, y ∈ M : xRy ∧ yRx =⇒ x = y Das bedeutet: F¨ur alle Elemente, die zueinander in Relation stehen, muss zwingend Gleichheit folgen. Das ist hier nicht der Fall, da die Wertpapiere 2 und 3 sowie 5 und 6 diese Voraussetzungen nicht erf¨ullen. Laut Aufgabenstellung sind die Wertpapiere voneinander verschieden, trotzdem stehen zwei Paare zueinander in Relation, die laut Aufgabenstellung nicht gleich sind. b.) K¨onnte es sich hier auch um eine Ordnungsrelation oder eine Totalordnung handeln? Bitte ebenfalls genau begr¨ unden. Nein, beides ist auszuschließen. Eine Ordnungsrelation (Eigenschaften: Reflexiv, Antisymmetrisch, Transitiv), die dazu dient, Elemente einer Grundmenge in eine Reihenfolge zu bringen, muss notwendigerweise antisymmetrisch sein, was hier nicht gegeben ist (ansonsten k¨onnte es den Fall geben, dass zwei Elemente als gleich gut bewertet werden, was keine Bildung einer eindeutige Reihenfolge erm¨oglicht). Eine Totalordnung ist eine totale Ordnungsrelation, da jedoch keine Ordnungsrelation vorliegt, kann dieser Fall ebenfalls ausgeschlossen werden.

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Aufgabe 3 von 6 (Roter Faden & Abgrenzung: Anlageauswahlprobleme) ¨ bersicht ¨uber verschiedene Arten von InvestmentauswahlSeite 132 des Vorlesungsskriptes zeigt eine U problemen (“Types of investment decision problems”): Are potential investments true alternatives? No Program decision Yes Single choice decision If yes: Is economic life known? No Decision on optimal economic life Yes Simple single choice decision We start with the latter! a.) Was ist hier mit “true alternatives”, also “echten” Alternativen, gemeint? Bitte in der Erl¨auterung ein Beispiel f¨ur sowohl “echte” als auch “unechte” Anlagealternativen geben. Echte Alternativen schließen sich gegenseitig vollst¨ andig aus. Konkretes Beispiel: Wir k¨onnen mit 100e Kapital w¨ ahlen zwischen einer “Investition” in eine neue Hose f¨ur 100e und einem paar Schuhe f¨ur 50e. Diese realen “Investitionen” stellen von sich aus keine echten Alternativen dar, dies hat mit dem fehlenden Investmentkontext jedoch nichts zu tun, es geht darum, dass diese sich laut Aufgabenstellung ausschließen m¨ussen. Weiterhin ist nicht immer klar, ob im Laufe eines Investitionsprojektes ein Investitions- oder Finanzierungsbedarf entsteht. Kommt es z.B. zu einer Kapitalunterdeckung w¨ahrend der Nutzungsdauer, das kann passieren wenn eine Investition sp¨ater weitere Zahlungen nach sich zieht (z.B. weil die Hose zwangsl¨aufig nach einem Jahr Nutzungsdauer kostenpflichtig geflickt werden muss), ben¨otigen wir also hierf¨ur einen Kredit, so sind die hierf¨ur zu zahlenden Zinsen (genau wie die Kosten f¨ ur das Flicken) in die Entscheidung einzukalkulieren. Ben¨otigen wir keinen Kredit (und haben ggfs. Kapital u ¨brig), muss ber¨ ucksichtigt werden, wie dieses angelegt werden kann (Opportunit¨atskostenprinzip, siehe Folienseite 137 ff.). Im vorliegenden Beispiel haben wir bei der Wahl der Schuhe noch 50e ungenutzt u ¨ brig. Da auch Mehrfachinvestitionen in das gleiche Investitionsvorhaben nicht erlaubt sind (sonst w¨ are es definitionsgem¨aß eine “program decision”, also eine Programmentscheidung), ist der Erwerb von zwei Schuhpaaren nicht m¨ oglich. Wir m¨ussen aber bei der Gegen¨uberstellung der Projekte die Zinsen einkalkulieren, die wir erhalten, wenn wir bei Erwerb der Schuhe die verbleibenden 50e fest verzinslich anlegen w¨ urden. Hinweis: “Reale Investitionen stellen von sich aus in der Regel keine echten Alternativen dar.”.

4

Eine Methode, die Investitionsprojekte zu echten Investitionsalternativen zu vervollst¨andigen (bei denen s¨amtlicher Investitions- und Finanzierungsbedarf w¨ ahrend der Nutzungsdauer bzw. allgemeiner: “s¨amtliche finanziellen Konsequenzen aus einer Investition” ber¨ucksichtigt werden) ist beispielsweise der vollst¨andige Finanzplan. b.) Was ist mit einer “Program decision” gemeint und wo liegt der Unterschied zur “Single choice decision”? (Sehr grobe Abgrenzung reicht). 4 Vgl.

Kruschwitz: Investitionsrechnung, 14. Aufl., Seite 320

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Einzelentscheidungen (single choide decision): ¨ Okonomisch sinnvolle Auswahl zwischen zwei sich gegenseitig ausschließenden Investitionsalternativen. Programmentscheidungen (program decision): Im Kontrast zu den Einzelentscheidungen geht es bei dieser Problemklasse darum, mehrere Investitionen m¨oglicherweise auch gemeinsam auszuf¨uhren. Es liegt hier also kein gegenseitiger Ausschluss vor.

5

c.) Wie ist die genannte “Simple single choice decision” abzugrenzen von Nutzungsdauerproblemen (“Decision on optimal economic life”)? Bitte beide Problemklassen differenzieren (Sehr grobe Abgrenzung reicht). Nutzungsdauerprobleme (decision on optimal economic life): Hier wird sich gefragt, wie viele Jahre eine bereits vorhandene Investition noch durchgef¨uhrt werden soll, bzw. ob diese u ¨ berhaupt ¨okonomisch sinnvoll ist.6 . Im Kontrast dazu ist bei den Einzelentscheidungen (siehe oben) die Nutzungsdauer und die damit verbundenden Zahlungen gegeben.

Aufgabe 4 von 6 (Abgrenzung: Dynamische & statische Verfahren der Investitionsrechnung) Was ist der wesentliche Unterschied zwischen statischen und dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung und was sind typische Szenarien, in denen man sich in der Praxis f¨ur die eine oder andere Klasse von Verfahren entscheidet? Bei der dynamischen Investitionsrechnung macht die Dimension Zeit beim Anfall von Geldbetr¨agen einen Unterschied. Der Zeitwert des Geldes wird ber¨ucksichtigt, daher sind diese Verfahren zwar aufwendiger, aber den statischen Verfahren ¨uberlegen.

Quelle: Grundlagen der Finanzmathematik, -statistik

Das beantwortet auch grunds¨atzlich die Anwendung in der Praxis: Die dynamischen Verfahren sind den statischen ¨uberlegen, ben¨ otigen aber in der Praxis (m¨oglicherweise schwer zu beschaffendes / sch¨atzendes) Zahlenmaterial um ein genaues Ergebnis zu liefern. Traut sich der Anwender in einer gegebenen Situation diese Sch¨ atzung evtl. nicht zu, w¨are das typischerweise eine Begr¨undung, um auf ein statisches Verfahren 5 Vgl. 6 Vgl.

Kruschwitz: Investitionsrechnung, 14. Aufl., Seite 5 Kruschwitz: Investitionsrechnung, 14. Aufl., Seite 184

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zu setzen, insbesondere dann, wenn es sich um kein besonders wichtiges Projekt handelt, sondern lediglich eine grobe Einsch¨ atzung gew¨unscht ist. Hinweis: “Es gibt keine Methode der Investitionsrechnmung, die in allen Situationen die beste ist.”7 Aufgabe 5 von 6 (Dynamische Verfahren: Kapitalwert- und Annuit¨ atenmethode) Wie sind die folgenden Verfahren anhand von dem unten angegebenem Beispiel voneinander abzugrenzen? Bitte die Anlage mit den unten aufgelisteten Verfahren bewerten und anschließend notieren, wo die Unterschiede zwischen den Verfahren liegen. Ein Baufahrzeug kostet 55.000e und soll ¨uber 5 Jahre bei einem Zinssatz von 3% genutzt werden. Das Unternehmen ist sich sicher, dass folgende Zahlungen in den Folgejahren aufgrund dieser Investition realisiert werden k¨ onnen: j

0

1

2

3

4

5

Baufahrzeug

−55.000e

28.000e

12.000e

14.000e

21.000e

19.000e

a.) Kapitalwertmethode (“Present value method”) Kapitalwertmethode (“Present value method”) Beim Kapitalwertverfahren werden zuk¨ unftige Kapitalfl¨ usse, die sich aus der Investition ergeben, auf den aktuellen Zeitpunkt diskontiert. Das nennt man auch einen sog. Discounted Cashflow. Nach diesem Verfahren kann eine Investition als lohnend betrachtet werden, wenn der aufaddierte Barwert der erwarteten Kapitalfl¨ usse gr¨oßer oder zumindest genauso groß wie der Anschaffungswert des Investitionsobjektes ist. Die Differenz der Summe der Barwerte und des Anschaffungswertes bezeichnet man auch als Kapitalwert oder Nettobarwert (engl. Net Present Value (NPV)). Im vorliegenden Beispiel betr¨agt der Kapitalwert: K0 = − 55.000e + 28.000e · 1,03−1 + 12.000e · 1,03−2 + 14.000e · 1,03−3 + 21.000e · 1,03−4 + 19.000e · 1,03−5 = − 55.000e + 86.355,40e =31.355,40e Das bedeutet, dass diese Investition nach der Kapitalwertmethode lohnend ist, da sie zu einem positiven Kapitalwert von 31.355,40e f¨ uhrt. Hinweis: Wir gehen bei den aktuell vorgestellten Verfahren mit absoluter Sicherheit von den zuk¨ unftigen Zahlungen in der angegebenen H¨ohe und zu diesen Zeitpunkten aus. Der auf diese Art errechnete Wert ist in der Praxis in den meisten Anwendungsf¨allen somit bestenfalls als Richtwert anzusehen.

7 Vgl.

Kruschwitz: Investitionsrechnung, 14. Aufl., Seite 7

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b.) Annuit¨atenmethode (“Annuity method”) Annuit¨ atenmethode (“Annuity method”) Bei der Annuit¨atenmethode zur Bewertung eines Investitionsvorhabens wird ¨uber die Anfangsinvestition (K0 ) und eines kalkulatorischen Zinssatzes dessen j¨ahrliche Annuit¨ at (An ) berechnet. W¨urden wir uns den Betrag der Anfangsinvestition ¨uber den angegebenen Zeitraum bei einem Zinssatz von i = 3% und nachsch¨ ussiger Zinszahlung ausleihen und per Annuit¨atenkredit tilgen, m¨ ussten wir den berechneten Betrag am Jahresende zahlen. Die Annuit¨at hat hier die Funktion eines sog. SollCashflows. Eine Investition kann als lohnend betrachtet werden, wenn die diskontierten Cashflows, also die eingehenden Kapitalfl¨ usse, im Mittel mindestens genauso groß sind wie die Annuit¨at.

Im vorliegenden Beispiel w¨ urde man die Investition wie folgt bewerten: P0 a(n, i) 55.000e = a(5, 0.03) 55.000e = 4,579707

An =

= 12.009,50e Das Mittel der diskontierten Cashflows (siehe Kapitalwertmethode) betr¨agt: 1 x = · (28.000e · 1,03−1 + 12.000e · 1,03−2 + 14.000e · 1,03−3 + 21.000e · 1,03−4 + 19.000e · 1,03−5 ) 5 =17.271,08e > An =17.271,08e > 12.009,50e Die Investition lohnt sich also nach der Annuit¨atenmethode, da die errechnete Annuit¨ at kleiner ist als die durchschnittlichen j¨ahrlichen Eink¨unfte, die sich aus der Investition ergeben. D.h. wir k¨ onnten die Investition mit einem hypothetischen Kredit mit einer Annuit¨at von 12.009,50e p.A. abbezahlen, der uns aber im Mittel 17.271,08e p.A. einbringt.

Aufgabe 6 von 6 (Amortisationsmethode) Bei der Amortisationsmethode handelt es sich um ein statisches Verfahren (Durchschnittsmethode), es gibt jedoch auch eine dynamische, kumulative Variante. Bitte die folgende Anlage mit beiden Verfahren bewerten und dabei erkl¨aren, was das letztgenannte Verfahren “dynamisch” macht. Eine Spezialcomputer kostet 23.000e und soll u ¨ber 3 Jahre bei einem Zinssatz von 5% genutzt werden. Das Unternehmen ist sich sicher, dass folgende Zahlungen in den Folgejahren aufgrund dieser Investition realisiert werden k¨ onnen: j

0

1

2

3

Computer

−23.000e

20.000e

20.000e

20.000e

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Durchschnittsmethode (statische Amortisationsrechnung) Ist der Betrag jedes Jahr gleich, dann verwendet man die folgende Formel um die Amortisationsdauer besonders einfach zu berechnen8 : R=

Anschaffungswert Durchschnittlicher Zahlungsfluss

Der Zeitwert des Geldes bleibt bei dieser Herangehensweise v¨ollig unber¨ucksichtigt. Der Wert dient nur als grobe Orientierung und darf daher nicht ausschließlich herangezogen werden. Es gilt nun f¨ur das gegebene Beispiel: R=

23.000e 20.000e

≈ 1,15 Nach 1,15 Jahren ist das investierte Kapital nach dieser Methode also wieder eingenommen. Kumulative Methode (dynamische Amortisationsrechnung) Hier werden die Barwerte der Kapitalfl¨usse aufaddiert, bis deren Summe die Anfangsinvestition ¨ubersteigt. Es gilt nun f¨ur das gegebene Beispiel: 20.000e · 1,05−1 = 19.047,62e < 23.000e 19.047,62e + 20.000e · 1,05−2 = 37.188,21e ≥ 23.000e Nach dem zweiten Jahr wird nach dieser Methode also der Anfangsinvestitionsbetrag ¨uberschritten.

8 Vgl.

Kruschwitz: Investitionsrechnung, 14. Aufl., Seite 320

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