8 Teoremi sulle funzioni derivabili PDF

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Appunti Professor Bellini ...

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Calcolo di derivate Ricapitoliamo le regole di derivazione viste finora: • Derivate delle funzioni elementari:

Dx k

kx k-1

De x

ex

1 x D sin x cos x D cos x sin x D ln (x)

© Fabio Bellini 2017

Calcolo di derivate /2 • Derivazione di somme, prodotti e quozienti:

(f

g )' ( x0 ) f ' ( x0 ) g' ( x0 ) ( fg )' ( x0 ) f ' ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ' ( x0 ) '

f   ( x0 ) g

f ' ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ' ( x0 ) g 2 ( x0 )

• derivazione delle funzioni composte:

D( g( f ( x0 )))

g' ( f ( x0 )) f ' ( x0 )

© Fabio Bellini 2017

Derivazione della funzione composta Perché vale la regola di derivazione delle funzioni composte?

D (g ( f (x0 ))) g ' ( f ( x0 )) f ' ( x0 ) Per calcolare la derivata di una funzione composta, dobbiamo innanzitutto considerare il rapporto incrementale della funzione composta:

g( f ( x0 h)) g( f ( x0 )) h

g( f ( x0 h)) g( f (x0 )) f ( x0 h) f (x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) h

Con il cambio di variabile y=f(x) e ricordando che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti otteniamo:

g ( f (x0 h)) g( f (x0 )) g ( f ( x0 h)) g ( f (x0 )) f (x0 h) f (x0 ) lim h 0 h 0 h f (x0 h) f (x0 ) h g( y) g( y0 ) f ( x h) f (x0 ) lim lim 0 g ' (y0 ) f ' (x0 ) g ' ( f (x0 )) f ' (x0 ) y y0 h 0 y y0 h lim

© Fabio Bellini 2017

Derivazione della funzione inversa La regola di derivazione della funzione inversa è una conseguenza immediata della regola di derivazione della funzione composta. Ricordiamo che per una funzione invertibile (cioè iniettiva e suriettiva) definiamo la funzione inversa come la funzione che a ciascun y fa corrispondere la sua unica controimmagine x=f-1(y); ad esempio la funzione inversa del quadrato è la radice quadrata e la funzione inversa dell’esponenziale è il logaritmo. Si ha evidentemente

f 1 ( f ( x)) x (e analogamente f ( f 1 ( y))

y)

Derivando entrambi i membri della prima relazione, usando il teorema di derivazione delle funzioni composte, e ricordando che Dx=1, otteniamo

D( f 1( f ( x0 )) ( f 1)' ( f ( x0 )) f ' ( x0 ) 1 cioè ( f 1 )' ( y0 )

1 f ' ( x0 )

La derivata della funzione inversa è quindi il reciproco della derivata di f. © Fabio Bellini 2017

Esempi Se f ( x)

x 2 , ovviamente f

Scegliamo ad esempio y0 (f

1

)' ( y 0 )

trovare x0 (f

1

)' ( 4)

1

( y)

y.

4; il teorema ci dice che

1 ; per applicarlo dobbiamo innanzitut to f ' (x 0 ) f

1

1 2 2

( y0 )

4

2; quindi dato che f ' ( x )

2x

1 4

In questo caso il risultato è banale, in quanto sappiamo già che 1 1 1 D y che valutato in y0 4 fa proprio . 2 y 2 4 4 © Fabio Bellini 2017

Esempi Se f ( x ) e x , ovviamente f 1 ( y ) ln y. Scegliamo ad esempio y 0 e; il teorema ci dice che (f

1

)' ( y0 )

trovare x0

1 ; per applicarlo dobbiamo innanzitut to f ' (x0 ) f

1

( y0 )

ln e 1; quindi dato che f ' ( x)

ex

1 e Anche in questo caso il risultato è banale, in quanto sappiamo che

(f

1

)' (e )

D ln y

1 che valutata in y 0 y

1 e fa proprio . e

© Fabio Bellini 2017

Significato geometrico Ricordiamo che il grafico della funzione inversa si ottiene ribaltando il grafico di f attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante:

Le rette tangenti al grafico di f nel punto x0 e al grafico della inversa di f nel punto y0 sono anche loro simmetriche rispetto alla bisettrice: © Fabio Bellini 2017

Significato geometrico /2 Dato che la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente, e dato che rette simmetriche rispetto alla bisettrice hanno coefficienti angolari che sono uno il reciproco dell’altro, possiamo vedere anche in modo puramente geometrico che la derivata della funzione inversa è pari al reciproco della derivata di f:

( f 1 )' ( y0 )

1 f ' ( x0 )

© Fabio Bellini 2017

Il caso della funzione tgx Un caso particolare da ricordare è quello della derivata della funzione inversa della tangente; ricordiamo che tgx=sinx/cosx e il grafico di tgx è di questo tipo:

© Fabio Bellini 2017

L’arcotangente Se ci limitiamo all’intervallo (-pi/2, pi/2), la tangente è una funzione iniettiva e suriettiva; la sua inversa si chiama arcotangente (artgx). Il grafico è il seguente:

La proprietà della arcotangente derivano direttamente da quelle della tangente:

artg (0)

0 (infatti tg (0)

lim artg ( x) x

artg( x) ~ x se x

2

0)

(infatti limm tg ( x) x

)

2

0 (infatti tgx ~ x se x

0) © Fabio Bellini 2017

La derivata della arcotangente Per calcolare la derivata della arcotangente applichiamo il teorema di derivazione della funzione inversa; innanzitutto calcoliamo la derivata della tangente di x:

Dtgx

sin x D cos x

cos 2 x sin 2 x 2 1 tg x 2 cos x

quindi

1 , con y 0 tg ( x0 ) Dtg ( x0 ) da cui 1 1 Dartg ( y 0 ) 1 tg 2 ( x0 ) 1 y02 Dartg ( y0 )

In generale quindi

1

Dartg ( y ) 1

y2 © Fabio Bellini 2017

Massimi e minimi relativi Finora abbiamo incontrato il concetto di massimo e minimo assoluto; ricordiamo che x0 è un punto di minimo assoluto per f definita in D a valori in R

f(x)

f(x0 ), x

D

mentre x0 è un punto di massimo assoluto se

f(x)

f(x0 ), x

D

Oltre agli estremanti assoluti sono ovviamente molto importanti anche gli estremanti relativi:

© Fabio Bellini 2017

Massimi e minimi relativi /2 Si dice che x0 è un punto di minimo relativo per f definita in D a valori in R se

U ( x0 ) tale che x U ( x0 )

D, si ha f(x)

f(x0 )

D, si ha f(x)

f(x0 )

mentre x0 è un punto di massimo relativo se

U ( x0 ) tale che x U ( x0 )

I massimi e i minimi relativi si chiamano anche massimi e minimi locali; sono estremanti della funzione ma limitatamente a un intorno, che può anche essere molto piccolo. Gli estremanti assoluti invece si dicono anche globali. Si parla poi a volte di massimi o minimi forti se le disuguaglianze nella definizione valgono in senso stretto, cioè se

U ( x 0 ) tale che si ha f(x) o invece

x

U (x0 )

D , con x

x0 ,

f(x 0 ) (nel caso dei minimi forti) o f(x)

f(x 0 ) (nel caso dei massimi

forti).

© Fabio Bellini 2017

Il teorema di Fermat Il teorema di Fermat esprime una condizione necessaria affinché un punto sia un estremante (massimo o minimo relativo). Prima di enunciarlo diamo una definizione preliminare: si dice che x0 è un punto interno del dominio D se ha un intorno U tutto contenuto in D, cioè se

U ( x 0 ) tale che U ( x 0 )

D

Il Teorema di Fermat afferma che: "Sia x0 un estremante che sia un punto interno del dominio, e sia f derivabile in x0; allora f'(x0)=0" Un punto x0 in cui la derivata prima si annulla si chiama punto stazionario della funzione. Il teorema di Fermat dice equivalentemente che un estremante interno in cui f è derivabile deve essere un punto stazionario. Per i punti interni in cui f è derivabile, condizione necessaria per essere un estremante è essere un punto stazionario. © Fabio Bellini 2017

Dimostrazione Immaginiamo che x0 sia un punto di minimo relativo; quindi per definizione

U ( x0 ) tale che x U ( x0 )

D, si ha f(x)

f(x0 )

dal fatto che x0 è un punto interno del dominio, sappiamo anche che

V (x 0 ) tale che V ( x 0 )

D

quindi considerando l'intersezione

Z ( x0 )

U (x0 )

V ( x0 )

abbiamo che

x

Z ( x 0 ), si ha f(x)

f(x 0 )

Esiste quindi un intorno Z(x0) in cui la funzione f è definita e in cui i valori di f sono tutti maggiori di f(x0).

© Fabio Bellini 2017

Dimostrazione /2 Consideriamo adesso nell'intorno Z(x0) il rapporto incrementale

f (x) x

f ( x0 ) ,x x0

Z ( x0 )

abbiamo che

f ( x) x

f (x0) x0

 0 se x è  0 se x

x0 , poiché il numeratore è positivo x0

Passando al limite, dal teorema della permanenza del segno, abbiamo che

lim x

x0

f (x) x

f ( x0 ) x0

0 e lim x

x0

f (x) x

f (x0 ) x0

0

© Fabio Bellini 2017

Dimostrazione /3 Dato che per ipotesi f è derivabile in x i due limiti precedenti, che non sono altro che la derivata destra e la derivata sinistra di f in x0, devono coincidere; l'unica possibilità è che siano entrambi uguali a 0:

lim x

x0

f (x ) x

f ( x0 ) x0

lim x

x0

f (x ) x

f (x0 ) x0

0

Ne segue che f'(x0)=0. Osserviamo innanzitutto che il teorema di Fermat esprime una condizione necessaria ma non sufficiente affinché un punto sia un estremante; non è detto in generale che un punto stazionario sia un estremante; come esempio basta considerare y=x3; l'origine è un punto stazionario (la derivata si annulla) ma questa funzione non ha estremanti in quanto è strettamente crescente. Vedremo più avanti che in questo caso l'origine è un punto di flesso. © Fabio Bellini 2017

Controesempi Ricapitolando, le ipotesi del teorema di Fermat sono: • x0 estremante • x0 punto interno del dominio • f derivabile in x0 La tesi invece è che x0 sia un punto stazionario. Proviamo a togliere una ipotesi alla volta cercando di capire perché la tesi non è Più necessariamente verificata. Se togliamo la ipotesi che x0 sia un estremante, chiaramente tutto è possibile, Basta considerare ad esempio f(x)=x. E se togliamo una delle altre due ipotesi? © Fabio Bellini 2017

Controesempi /2 Se togliamo la ipotesi che x0 sia punto interno, possiamo ancora considerare la funzione f(x)=x sull'intervallo [0,1]; abbiamo che x=0 e x=1 sono estremanti (rispettivamente il punto di minimo assoluto e il punto di massimo assoluto) ma nessuno dei due è un punto stazionario in quanto f'(x)=1. Se togliamo la ipotesi che f sia derivabile in x0, chiaramente è impossibile che poi valga f'(x0)=0; un esempio di funzione che ha un estremante in un punto in cui non è derivabile è il modulo di x.

© Fabio Bellini 2017

Il Teorema di Rolle Mettendo insieme il teorema di Weierstrass e il teorema di Fermat, otteniamo il teorema di Rolle, che a sua volta è fondamentale per la dimostrazione del teorema di Lagrange. Il teorema di Rolle afferma che: "Sia f continua nell'intervallo chiuso[a,b] e derivabile in ciascun punto dell'intervallo aperto (a,b); sia inoltre f(a)=f(b). Allora esiste un punto x0 appartenente ad (a,b) tale che f'(x0)=0". L' ipotesi caratteristica del teorema di Rolle è che f(a)=f(b), cioè che la funzione assuma lo stesso valore agli estremi dell'intervallo su cui è definita. La tesi afferma semplicemente che esiste un punto stazionario in (a,b).

© Fabio Bellini 2017

Rappresentazione geometrica Da un punto di vista geometrico, la tesi del teorema di Rolle afferma che esiste (almeno un) punto a tangente orizzontale; come sempre nei teoremi di esistenza possono poi anche essercene più di uno. Vediamo qualche esempio grafico:

© Fabio Bellini 2017

Dimostrazione La dimostrazione del teorema di Rolle è molto semplice. Per ipotesi f è continua sull'intervallo chiuso e limitato [a,b]; quindi dal teorema di Weierstrass f ammette un valore massimo assoluto M e un valore minimo assoluto m; si possono presentare due casi. Se M=m, allora necessariamente la funzione è costante, e pertanto la sua derivata è nulla; ogni punto è quindi un punto stazionario. Se invece M>m, dato che f(a)=f(b) non è possibile che sia il massimo che il minimo assoluto siano assunti agli estremi del dominio a e b; pertanto almeno uno dei due estremanti assoluti deve essere assunto in punto interno. Ma allora abbiamo un estremante interno in cui la funzione è derivabile; dal teorema di Fermat deve essere un punto stazionario; quindi esiste un punto stazionario. © Fabio Bellini 2017

Controesempi Le ipotesi del teorema di Rolle sono: • f continua in [a,b] • f derivabile in (a,b) • f(a)=f(b) Se f non è continua in [a,b], non è detto che valga la tesi; potremmo considerare f ( x)

 x se 0 x 1   0 se x 1

Si tratta di una funzione derivabile in (0,1) con f’(x)=1, che soddisfa f(0)=f(1)=0, ma che non ha punti stazionari. © Fabio Bellini 2010

Controesempi /2 Se consideriamo invece la funzione valore assoluto di x, definita sull’intervallo [-1,1], abbiamo che f è continua, f(-1)=f(1)=1, tuttavia f non è derivabile in ciascun punto dell’intervallo (-1,1), in quanto l’origine è un punto angoloso. La seconda ipotesi (derivabilità in (a,b)) del teorema di Rolle non è soddisfatta; e infatti la tesi non è verificata, in quanto la funzione valore assoluto di x non presenta punti stazionari.

Infine, se rimuoviamo la ipotesi f(a)=f(b), è evidente che non è più detto che ci debba essere un punto stazionario in (a,b); qualsiasi funzione strettamente monotona (ad esempio f(x)=x) è un controesempio. © Fabio Bellini 2010

Il teorema di Lagrange Il teorema di Lagrange può essere visto come una generalizzazione del teorema di Rolle, che si ottiene rimuovendo la ipotesi che f(a)=f(b). Il teorema di Lagrange afferma che: "Sia f continua nell'intervallo chiuso [a,b] e sia f derivabile in ciascun punto dell'intervallo aperto (a,b); allora esiste un punto x0 appartenente ad (a,b) tale che f (b) f (a ) f ' (x 0 ) ." b a Alcune osservazioni immediate: • le ipotesi del teorema di Lagrange sono le stesse di quelle del teorema di Rolle, salvo il fatto che non è più detto che f(a)=f(b); • Se accettiamo come vero il teorema di Lagrange, il teorema di Rolle ne è una semplice conseguenza: se f(b)=f(a) abbiamo che esiste x0 con f ' ( x0 )

f (b) f ( a) b a

0, che è proprio la tesi del teorema di Rolle.

© Fabio Bellini 2010

Significato geometrico Noi però faremo un percorso diverso: utilizzeremo il teorema di Rolle per dimostrare il teorema di Lagrange. Vediamo innanzitutto il significato geometrico del teorema di Lagrange. La tesi, il fatto cioè che esista un punto x0 con f ' ( x0 )

f (b) f ( a ) b a

esprime il fatto che esiste un punto x0 in cui la derivata è pari al rapporto incrementale tra a e b; cioè esiste un punto x0 in cui la tangente è parallela al segmento che unisce i punti (a,f(a)) e (b,f(b)):

© Fabio Bellini 2010

Confronto con il teorema di Rolle Da un punto di vista grafico è immediato capire perché il teorema di Rolle è un caso particolare (quello in cui la tangente è orizzontale) del teorema di Lagrange:

© Fabio Bellini 2010

Dimostrazione Per dimostrare il teorema di Lagrange consideriamo la funzione ausiliaria g (x )

f ( x ) r x dove r ( x ) è la retta che passa

per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)), che quindi soddisfa f ( b) f ( a ) r(a) f(a) e r (b ) f (b ); inoltre r'(x) . b a La funzione g ( x) è continua in quanto somma di funzioni continue ed è derivabile in quanto somma di funzioni derivabili ; inoltre g ( a ) f ( a ) r ( a) 0 e g ( b) f ( b) quindi g (a )

g (b )

Ma allora esiste x 0

r( b)

0,

0 . Pertanto g(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle! (a,b) con g'(x 0 )

g ' (x0 )

f ' (x0 ) r' x0

f ' ( x0 )

f (b ) f ( a ) b a

f '(x0)

0, da cui

f ( b) f ( a ) b a

0, da cui infine

© Fabio Bellini 2010

Conseguenze del teorema di Lagrange Il teorema di Lagrange è importantissimo perché ci consente di stabilire il legame tra il segno della derivata prima di f e la monotonia di f. Valgono infatti i seguenti corollari del teorema di Lagrange: "Sia f continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b); 1) se f'(x)=0 per ogni x appartenente ad (a,b), allora f(x)=costante 2) se f'(x)=k per ogni x appartenente ad (a,b), allora f(x)=kx+costante 3) se f'(x)>=0 per ogni x appartenente ad (a,b), allora f(x) è crescente in [a,b] 4) se f'(x)>0 per ogni x appartenente ad (a,b), allora f(x) è strettamente crescente in [a,b] " © Fabio Bellini 2010

Dimostrazione La dimostrazione di questi risultati è immediata e ci fa capire l’importanza del teorema di Lagrange. Le ipotesi dei corollari sono che f sia continua nell’intervallo chiuso [a,b] e che f sia derivabile nell’intervallo aperto (a,b); quindi garantiscono che si possa applicare il teorema di Lagrange. 1) Comunque scegliamo due punti x1 e x2 appartenenti ad (a,b), esiste un punto x0 appartenente a (x1,x2) tale che f ' ( x0 )

f (x 2 ) f ( x1) x 2 x1

ma f’(x0)=0; quindi comunque scelgo x1 e x2 ho che f(x2)=f(x1); ne segue che la funzione è costante.

© Fabio Bellini 2010

Dimostrazione /2 In tutti gli altri casi il ragionamento è analogo. 2) Applico il teorema di Lagrange all’intervallo [a,x]; ottengo che Esiste x0 tale che f ' ( x0 )

f (x ) f ( a) x a

Ma f’(x0)=k, quindi k

f ( x ) f (a ) da cui f ( x ) x a

f (a ) k ( x a )

Quindi se la derivata di f è una costante, allora f è una funzione affine.

© Fabio Bellini 2010

Dimostrazione /3 3) e 4) Comunque scegliamo due punti x1 e x2 appartenenti ad (a,b), esiste un punto x0 appartenente a (x1,x2) tale che f ' (x 0 )

f (x2 ) x2

f ( x1) x1

ma f’(x0)>=0; quindi comunque scelgo x1 e x2 ho che f(x2)>=f(x1); ne segue che la funzione è crescente. Se invece f’(x0)>0, ottengo che f(x2)>f(x1); la funzione è strettamente crescente. Due osservazioni: • se la derivata fosse negativa o strettamente negativa la funzione darebbe decrescente o strettamente decrescente; la dimostrazione è identica. • la condizione f’(x)>0 è sufficiente ma non necessari affinchè f sia strettamente crescente; è possibile avere funzioni strettamente crescenti con punti stazionari, ad esempio © Fabio Bellini 2010

Ancora sulle funzioni lineari Abbiamo visto nelle prime lezioni sulle funzioni che le funzioni lineari soddisfano f (x y) f (x ) f ( y ) Possiamo dire per le funzioni lineari che l’”effetto” della somma di due “cause“ x e y è pari alla somma degli effetti. Avevamo detto senza dimostrazione che le funzioni lineari devono essere per forza del tipo f(x)=kx; vediamo perché. Ipotizziamo che f sia definita su tutto R e derivabile; allora derivando la uguaglianza sopra rispetto a x otteniamo

f '(x

y)

f ' (x )

Infatti f(y) è una costante e quindi la sua derivata è nulla. Ma allora f’(x)=costante; quindi dal corollario del teorema di Lagrange f(x) è una funzione affine. Se poniamo infine x=y=0 nella definizione di funzione lineare

f (0 f (0)