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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas

Superficies Cuádricas Índice

Introducción ...................................................................................................................... 1 Ecuación general de las superficies cuádricas .................................................................. 2 Simetría de las superficies cuádricas ................................................................................ 2 Clasificación de las superficies cuádricas ........................................................................ 3 Superficies cuádricas con centro ...................................................................................... 4 Esfera ................................................................................................................................ 4 Esfera que pasa por cuatro puntos .................................................................................... 7 Ecuación del plano tangente a una esfera en un punto 𝑷𝟏 de la misma ........................... 9

Elipsoide ......................................................................................................................... 10

Ecuación estándar de un elipsoide con centro en 𝑪(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) ..................................... 14

Hiperboloide de una hoja................................................................................................ 14

Ecuación estándar de un hiperboloide de una hoja con centro en 𝑪(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) ............ 19 Hiperboloide de dos hojas .............................................................................................. 20

Ecuación estándar de un hiperboloide de dos hojas con centro en 𝑪(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) .......... 24

Superficies cuádricas sin centro ..................................................................................... 25 Paraboloide elíptico ........................................................................................................ 25

Ecuación estándar de un paraboloide elíptico con vértice en 𝑽(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 )................... 30 Paraboloide hiperbólico .................................................................................................. 30

Ecuación estándar de un paraboloide hiperbólico con vértice en 𝑽(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) ............ 35

Superficies cuádricas regladas ........................................................................................ 36 Superficie cónica o cono................................................................................................. 36

Ecuación estándar de un cono elíptico con vértice en 𝑽(𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎) .............................. 41 Superficie cilíndrica o cilindro ....................................................................................... 42

Cilindro elíptico .............................................................................................................. 42 Ecuación estándar de un cilindro elíptico con eje paralelo a algún eje coordenado ...... 47 Cilindro hiperbólico........................................................................................................ 48 Ecuación estándar de un cilindro hiperbólico con eje paralelo a algún eje coordenado 48 Cilindro parabólico ......................................................................................................... 49 Ecuación estándar de un cilindro parabólico con eje paralelo a algún eje coordenado.. 50

Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas Ecuación general de las superficies cuádricas ................................................................ 50 Ejemplos de aplicación de las superficies cuádricas ...................................................... 51

Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas

Superficies Cuádricas Introducción Anteriormente definimos y estudiamos lugares geométricos del plano (ℝ2 ), como son las rectas, las secciones cónicas, y también del espacio (ℝ3 ) como son los planos y rectas. En esta sección abordaremos el estudio de otros lugares geométricos del espacio tridimensional llamados superficies cuádricas o simplemente cuádricas. La ecuación de un lugar geométrico en ℝ3 es una ecuación del tipo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, que representa las condiciones algebraicas que deben cumplir las coordenadas de los puntos de dicho lugar geométrico. Existen numerosas aplicaciones de las superficies cuádricas en diversos ámbitos y variadas disciplinas. Las ciencias aplicadas, la ingeniería y la arquitectura las utilizan para la solución de problemas reales y concretos. Por ejemplo, se utilizan las denominadas láminas delgadas que son estructuras sumamente eficientes para resistir esfuerzos del tipo superficial, generalmente construidas en hormigón armado, acero, aluminio, vidrio laminado o materiales compuestos. Entre sus utilidades, en el ámbito de la arquitectura e ingeniería se encuentra: • Construcción de grandes espacios cubiertos destinados a edificios habitacionales, naves industriales, complejos culturales, complejos deportivos, centros comerciales, entre otros, donde las superficies se combinan delimitando volúmenes que cumplen un fin específico y generan edificaciones de elevado nivel estético y gran valor arquitectónico.

• Construcción de recipientes para almacenamiento de líquidos o sólidos como lo son los silos, tanques y depósitos ubicados en instalaciones industriales, comerciales y productivas; generalmente con forma esférica, cilíndrica o combinadas. • Construcción de torres de enfriamiento para industrias petroquímicas, centrales térmicas de generación de energía eléctrica y en centrales nucleares. Dichas torres presentan

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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas forma de hiperboloide de una hoja construidos con hormigón o acero. • Construcción de recipientes sometidos a presión. Se utilizan en la industria química y petroquímica, cascos submarinos y tuberías sumergidas. • Construcción de pilares de acero de plataformas petroleras, utilizando cilindros circulares rectos.

Toda superficie cuádrica 𝑆 se representa con una ecuación general (incompleta) de segundo grado con tres variables del tipo: 𝑆: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 (𝟏) con al menos uno de los coeficientes 𝐴, 𝐵, 𝐶 no nulo. Ecuación general de las superficies cuádricas

Nota: Si 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 0, la ecuación no sería cuadrática, sería lineal y su representación gráfica es un plano.

El lugar geométrico de todos los de puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 que satisfacen la ecuación (1) es llamado superficie cuádrica o simplemente cuádrica. Estudiaremos once superficies diferentes: esfera, elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cono, cilindro circular, cilindro elíptico, cilindro hiperbólico y cilindro parabólico. Para cada una de estas superficies daremos la forma de su ecuación estándar, las características de su ecuación general, veremos las intersecciones de ellas con los planos y ejes coordenados y la simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen de coordenadas. Para ello, comenzaremos definiendo algunos conceptos.

Simetría de las superficies cuádricas Simetría con respecto a los planos coordenados: • La superficie 𝑆 es simétrica respecto al plano pertenece a 𝑆, también pertenece su simétrico 𝑃′(𝑥, 𝑦, −𝑧). • La superficie 𝑆 es simétrica respecto al plano pertenece a 𝑆, también pertenece su simétrico 𝑃′(𝑥, −𝑦, 𝑧). • La superficie 𝑆 es simétrica respecto al plano pertenece a 𝑆, también pertenece su simétrico 𝑃′(−𝑥, 𝑦, 𝑧).

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𝑋𝑌 si cada vez que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) respecto al plano 𝑋𝑌, es decir el punto 𝑋𝑍 si cada vez que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) respecto al plano 𝑋𝑍, es decir el punto 𝑌𝑍 si cada vez que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) respecto al plano 𝑌𝑍 , es decir el punto

Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑃′(−𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑃′(𝑥, −𝑦, 𝑧)

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∧ 𝑃′(−𝑥, 𝑦, 𝑧) Simétricos al plano 𝑌𝑍

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∧ 𝑃′(𝑥, −𝑦, 𝑧) Simétricos al plano 𝑋𝑍

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑃′ (𝑥, 𝑦, −𝑧)

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∧ 𝑃′(𝑥, 𝑦, −𝑧) Simétricos al plano 𝑋𝑌

Simetría con respecto a los ejes coordenados: • La superficie 𝑆 es simétrica respecto al eje 𝑋 si cada vez que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pertenece a 𝑆, también pertenece su simétrico respecto al eje 𝑋, es decir el punto 𝑃′(𝑥, −𝑦, −𝑧). • La superficie 𝑆 es simétrica respecto al eje 𝑌 si cada vez que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pertenece a 𝑆, también pertenece su simétrico respecto al eje 𝑌, es decir el punto 𝑃′(−𝑥, 𝑦, −𝑧). • La superficie 𝑆 es simétrica respecto al eje 𝑍 si cada vez que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pertenece a 𝑆, también pertenece su simétrico respecto al eje 𝑍, es decir el punto 𝑃′(−𝑥, −𝑦, 𝑧). Simetría con respecto al origen de coordenadas: La superficie 𝑆 es simétrica respecto al origen de coordenadas si cada vez que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pertenece a 𝑆, también pertenece su simétrico respecto al origen, es decir el punto 𝑃′(−𝑥, −𝑦, −𝑧). Clasificación de las superficies cuádricas Podemos clasificar a las once superficies cuádricas que estudiaremos de la siguiente manera: I. Superficies cuádricas con centro: Llamamos superficies cuádricas con centro a aquellas superficies cuádricas que tienen tres planos de simetría, tres ejes de simetría y un centro de simetría, llamado centro de la superficie. Ellas son: a) Esfera b) Elipsoide c) Hiperboloide de una hoja d) Hiperboloide de dos hojas II. Superficies cuádricas sin centro: Llamamos superficies cuádricas sin centro a aquellas superficies cuádricas que tienen dos planos de simetría, un eje de simetría y no posee centro de simetría. Ellas son: a) Paraboloide elíptico b) Paraboloide hiperbólico III.

Superficies cuádricas regladas:

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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas Las superficies cuádricas regladas son aquellas superficies generadas por el movimiento de una recta en el espacio. Ellas son: a) Cono elíptico b) Cilindro elíptico c) Cilindro circular d) Cilindro hiperbólico e) Cilindro parabólico. A continuación estudiaremos cada una de las superficies mencionadas.

Superficies cuádricas con centro Una superficie esférica o esfera es el lugar geométrico de todos los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) del espacio tridimensional que equidistan de un punto fijo 𝐶(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) llamado centro. A la distancia constante entre los puntos de la esfera y su centro se la denomina radio, 𝑟. Esfera

𝐶(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0)

Si planteamos la definición de superficie esférica, sea 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto de dicha superficie, entonces: | = 𝑟; 𝑟 > 0 |𝐶𝑃 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝑃) =  √(𝑥 − 𝑥0 )2 +(𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑟

Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos: (𝑥 − 𝑥0 )2 +(𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑟 2

Por lo que, un punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) de ℝ3 pertenece a la esfera de centro 𝐶(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦0 ) y radio 𝑟, si y sólo si, satisface la ecuación anterior. Entonces: La ecuación estándar de la esfera de centro 𝑪(𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎) y radio 𝒓 es: (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑟 2 (𝟐)

Si el centro de la esfera coincide con el origen de coordenadas, es decir 𝐶(0,0,0), la ecuación de la esfera con centro en el origen de coordenadas y radio 𝑟 es:

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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2 Ecuación estándar de la esfera de centro 𝑪(𝟎, 𝟎, 𝟎) y radio 𝒓

Ejemplo 1: Hallar la ecuación estándar de la esfera de centro 𝐶(2, −3,1) y radio 4.

Teniendo en cuenta la ecuación (2), sabemos que la ecuación estándar de una esfera de centro 𝐶(2, −3,1) y radio 4 es: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − (−3))2 + (𝑧 − 1)2 = 42 Luego, (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 − 1)2 = 16 A continuación se muestra un gráfico de dicha esfera

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la esfera centrada en el punto 𝐶(−1,3,0) y radio igual a 3, luego analizar si los puntos 𝑃(−1,3,3) y 𝑄(2,0,1) pertenecen o no a ella.

De la ecuación (2) se deduce que la ecuación de la esfera de centro 𝐶(−1,3,0) y radio igual a 3 es: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 + 𝑧 2 = 9

Para analizar si los puntos 𝑃 y 𝑄 pertenecen o no a dicha superficie esférica, sólo hace falta analizar si dichos puntos verifican o no su ecuación. Entonces, comenzamos analizando si el punto 𝑃 pertenece a la esfera, para ello reemplazamos, en la ecuación de la superficie, las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) por las coordenadas de 𝑃(−1,3,3): (−1 + 1)2 + (3 − 3)2 + (3)2 = 0 + 0 + 9 = 9 Por lo tanto como 𝑃 verifica la ecuación de la esfera, 𝑃 es un punto de esta superficie.

De manera análoga, analicemos que pasa con el punto 𝑄(2,0,1): (2 + 1)2 + (0 − 3)2 + 12 = 9 + 9 + 1 = 19 ≠ 9 Por lo tanto el punto 𝑄 no pertenece a la esfera de centro 𝐶(−1,3,0) y radio igual a 3, pues no verifica su ecuación. 5

Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas A continuación se muestra un gráfico de lo analizado anteriormente de forma analítica:

Desarrollando los términos de la ecuación (2), (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑟 2 , y reagrupando adecuadamente: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥0 𝑥 − 2𝑦0 𝑦 − 2𝑧0 𝑧 + 𝑥0 2 + 𝑦0 2 + 𝑧0 2 = 𝑟2 Restando 𝑟 2 en ambos miembros: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥0 𝑥 − 2𝑦0 𝑦 − 2𝑧0 𝑧 + (𝑥0 2 + 𝑦0 2 + 𝑧0 2 − 𝑟 2 ) = 0 Si llamamos 𝐺′ = −2𝑥0 , 𝐻′ = −2𝑦0 , 𝐼′ = −2𝑧0 y 𝐽′ = 𝑥0 2 + 𝑦0 2 +𝑧0 2 − 𝑟 2 , obtenemos la siguiente ecuación general de la esfera de centro 𝑪(𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒚𝟎) y radio 𝒓: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝐺′𝑥 + 𝐻′𝑦 + 𝐼′𝑧 + 𝐽′ = 0 (𝟑)

Cuando comenzamos establecimos la ecuación (1), 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧2 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0, como la ecuación general de cualquier superficie cuádrica. Ahora si observamos la ecuación (3), correspondiente a la ecuación general de una esfera, vemos que los coeficientes de las variables cuadráticas son todos unitarios y positivos. Por lo tanto, en la ecuación (1), 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 ; entonces dividiendo todos los términos por 𝐴: 𝐴 2 𝐵 2 𝐶 2 𝐺 𝐻 𝐼 𝐽 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥+ 𝑦+ 𝑧+ =0 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 2 2 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝐺′𝑥 + 𝐻′𝑦 + 𝐼′𝑧 + 𝐽′ = 0 (𝟑)

Así toda superficie esférica tiene una ecuación general de la forma de (𝟑). Ahora, si partimos de una ecuación de una esfera en la forma (𝟏), o su equivalente (𝟑), para llegar a una ecuación en la forma (𝟐) es necesario realizar el procedimiento de completar cuadrados en las variables 𝑥 , 𝑦, 𝑧. Aclaración: Toda esfera tiene asociada una ecuación del tipo (𝟑), sin embargo no toda ecuación del tipo (𝟑) tiene asociada una esfera. Esto se debe a que, sólo existirá una superficie esférica si al completar cuadrados obtenemos una ecuación del tipo (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑑 , con 𝑑 > 0. Ejemplo 3: Hallar el centro y el radio de la esfera de ecuación:

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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas 2𝑥 2 + 8𝑥 + 2𝑦 2 − 8𝑦 + 2𝑧 2 + 6𝑧 − 4 = 0

Para poder hallar el centro y radio de la esfera, debemos completar cuadrados a partir de la ecuación general dada y obtener la ecuación estándar correspondiente a dicha esfera 2(𝑥 2 + 4𝑥) + 2(𝑦 2 − 4𝑦) + 2(𝑧 2 + 3𝑧) − 4 = 0 9 2(𝑥 2 + 4𝑥 + 4 − 4) + 2(𝑦 2 − 4𝑦 + 4 − 4) + 2 (𝑧 2 + 3𝑧 + − )−4 = 0 4 4 99 2(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) − 4 ∙ 2 + 2(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) − 4 ∙ 2 + 2 (𝑧 2 + 3𝑧 ) +− ∙ 2 − 4 = 0 4 4 2 3 9 2(𝑥 + 2)2 − 8 + 2(𝑦 − 2)2 − 8 + 2 (𝑧 ) + − −4 = 0 2 2 2 3 49 2(𝑥 + 2)2 + 2(𝑦 − 2)2 + 2 (𝑧 ) + − =0 2 2 2 49 3 2(𝑥 + 2)2 + 2(𝑦 − 2)2 + 2 (𝑧 ) + = 2 2 Luego dividimos todo por 2: 2 3 49 2 2 ) (𝑥 + 2) + (𝑦 − 2) + (𝑧 + = 2 4

Entonces, la esfera dada tiene centro 𝐶 (−2,2, − ) y radio 2. 3 2

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Esfera que pasa por cuatro puntos Dada la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝐺′𝑥 + 𝐻′𝑦 + 𝐼′𝑧 + 𝐽′ = 0 (𝟑) y cuatro puntos 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), 𝑄(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝑅(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) y 𝑇(𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ) de una esfera, es posible hallar la ecuación asociada a ésta resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales (SEL): 𝑥0 2 + 𝑦0 2 + 𝑧0 2 + 𝐺′𝑥0 + 𝐻′𝑦0 + 𝐼′𝑧0 + 𝐽′ = 0 𝑥1 2 + 𝑦1 2 + 𝑧1 2 + 𝐺′𝑥1 + 𝐻′𝑦1 + 𝐼′𝑧1 + 𝐽′ = 0 𝑥2 2 + 𝑦2 2 + 𝑧2 2 + 𝐺′𝑥2 + 𝐻′𝑦2 + 𝐼′𝑧2 + 𝐽′ = 0 2 2 2 {𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 + 𝐺′𝑥3 + 𝐻′𝑦3 + 𝐼′𝑧3 + 𝐽′ = 0 Ejemplo 4: Hallar la ecuación de la esfera que pasa por lo puntos 𝑃(−1,3,0), 𝑄(2,0,1), 𝑅(0,0,2) y 𝑇(0,1,4). Teniendo en cuenta lo detallado anteriormente, cada punto verifica la ecuación de la esfera buscada ya que pertenece a ella; entonces podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas (−1)2 + 32 + 02 − 𝐺 ′ + 3𝐻′ + 0𝐼′ + 𝐽′ = 0 22 + 02 + 12 + 2𝐺′ + 0𝐻′ + 𝐼′ + 𝐽′ = 0 02 + 02 + 22 + 0𝐺′ + 0𝐻′ + 2𝐼′ + 𝐽′ = 0 2 2 2 { 0 + 1 + 4 + 0𝐺′ + 𝐻′ + 4𝐼′ + 𝐽′ = 0

(−1)2 + 32 − 𝐺 ′ + 3𝐻′ + 𝐽′ = 0 ′ 22 + 12 + 2𝐺′ + 𝐼′ + 𝐽′ = 0 2𝐺 + 𝐼′′ + 𝐽′′ = −5 ′ −𝐺 + 3𝐻 + 𝐽 = −10 2𝐼′ + 𝐽′ = −4 22 + 2𝐼′ + 𝐽′ = 0 ~ { 𝐻 ′ + 4𝐼′ + 𝐽′ = −17 {

12 + 42 + 𝐻′ + 4𝐼′ + 𝐽′ = 0 La matriz ampliada asociada al SEL es: −1 3 0 1 −10 ( 2 0 1 1 −5 ) 0 0 2 1 −4 0 1 4 1 −17

Escalonando por filas la matriz ampliada obtenemos la siguiente matriz equivalente: 1 −3 0 −1 10 25 1 1 − 0 1 6 2 0 (0

0 0

1 0 1 1 2

6

−2 62 17

)

Por lo tanto 𝑟𝑔(𝑀𝐶) = 𝑟𝑔(𝑀𝐴) = 4 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠, y por el teorema de RochéFrobenius el SEL resulta compatible determinado. Luego, reconstruyendo y sustituyendo hacia atrás: 𝐽′ =

62 , 17

𝐼′ = − 17, 𝐻′ = − 17 y 𝐺′ = − 65

91

41

17

Por lo tanto la ecuación de la esfera buscada es: 41 91 65 62 =0 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥 − 𝑦− 𝑧+ 17 17 17 17

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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas Ecuación del plano tangente a una esfera en un punto 𝑷𝟏 de la misma Sea la esfera de centro 𝐶(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )y radio 𝑟 cuya ecuación estándar es: (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑟 2 y sea 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) un punto de la esfera. Se busca hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la esfera en el punto 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ). La ecuación cartesiana de un plano tiene la forma: 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, por lo que para hallarla debemos conocer las componentes del vector normal y un punto, que en este caso será 𝑃1 . El vector que une el centro de la esfera con el punto 𝑃1 es perpendicular al plano tangente a la esfera en dicho punto y sus componentes son: 1 = (𝑥1 − 𝑥0 , 𝑦1 −𝑦0 , 𝑧1 − 𝑧0 ) 𝐶𝑃  Por lo tanto, como el vector 𝐶𝑃1 es perpendicular al plano tangente, puede ser considerado como el vector normal de dicho plano y entonces la ecuación cartesiana será: 𝜋: (𝑥1 − 𝑥0 )𝑥 + (𝑦1 −𝑦0 )𝑦 + (𝑧1 − 𝑧0 )𝑧 + 𝑑 = 0 El valor del término independiente, 𝑑 , podemos hallarlo reemplazando las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) por las coordenadas del punto 𝑃1 ya que sabemos que 𝑃1 ∈ 𝜋: (𝑥1 − 𝑥0 )𝑥1 + (𝑦1 −𝑦0 )𝑦1 + (𝑧1 − 𝑧0 )𝑧1 + 𝑑 = 0 Luego: 𝑑 = −[(𝑥1 − 𝑥0 )𝑥1 + (𝑦1 −𝑦0 )𝑦1 + (𝑧1 − 𝑧0 )𝑧1 ] Por lo tanto, La ecuación cartesiana del plano tangente a la esfera de centro 𝐶(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )y radio 𝑟 en el punto 𝑃1 es:

𝜋: (𝑥1 − 𝑥0 )𝑥 + (𝑦1 −𝑦0 )𝑦 + (𝑧1 − 𝑧0 )𝑧 − [(𝑥1 − 𝑥0 )𝑥1 + (𝑦1 −𝑦0 )𝑦1 + (𝑧1 − 𝑧0 )𝑧1 ] = 0

Ejemplo 5: Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie esférica de ecuación (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + (𝑧 − 3)2 = 4 en el punto 𝑃1 (2,2,3).

La ecuación del plano tangente a la esfera es de la forma: 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 De la ecuación de la esfera sabemos que su centro es 𝐶(2,0,3), por lo que el vector normal del plano será:   𝑛 𝜋 = 𝐶𝑃1 = (2 − 2,2 − 0,3 − 3) = (0,2,0)

Reemplazando las componentes del vector normal en la ecuación del plano, obtenemos: 𝜋: 0𝑥 + 2𝑦 + 0𝑧 + 𝑑 = 0 𝜋: 2𝑦 + 𝑑 = 0 Como 𝑃1 ∈ 𝜋 podemos hallar el valor de 𝑑 : 2 ∙ 2 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = −4

Luego, el plano tangente a la esfera (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + (𝑧 − 3)2 = 4 en el punto 𝑃1 (2,2,3) es: 𝜋: 2𝑦 − 4 = 0

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Álgebra y Geometría Analítica Superficies Cuádricas

La ecuación estándar de un elipsoide de centro 𝑪(𝟎, 𝟎, 𝟎) y semiejes 𝒂, 𝒃 y 𝒄 positivos es: 𝑥 2 𝑦2 𝑧2 + =1 + 𝑎2 𝑏2 𝑐 2 Elipsoide

• Intersección con los planos coordenados ✓ Intersección con el ...