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En el siguiente ensayo se presenta al determinante de la matriz jacobiana, o jacobiano, sus propiedades y aplicación en la determinación de áreas en el cálculo integral mediante el teorema del cambio de variables; Se demuestra con fines ilustrativos la forma del jacobiano en otros sistemas de coorde...

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Acerca del jacobiano y sus propiedades.

José M. Arias 23-11-2018

1. i. ii. iii.

Objetivos Conocer la definición del jacobiano. Entender la relación del jacobiano con el cálculo integral. Identificar las propiedades del jacobiano.

2.

Introducción En el siguiente ensayo se presenta al determinante de la matriz jacobiana, o jacobiano, sus propiedades y aplicación en la determinación de áreas en el cálculo integral mediante el teorema del cambio de variables; Se demuestra con fines ilustrativos la forma del jacobiano en otros sistemas de coordenadas, para finalmente presentar su utilidad en dos problemas del cálculo diferencial e integral. Se presenta una brevísima biografía de Carl Gustav Jacobi en honor a quien se ha nombrado al jacobiano. 3.

Marco teórico 3.1. Matriz jacobiana Antes de hablar sobre el jacobiano mismo es necesario presentar la matriz jacobiana, ésta como el nombre lo sugiere es un arreglo rectangular, en particular de derivadas parciales de una función vectorial cuyo dominio es también una colección de vectores. De formalmente se define la matriz jacobiana de la siguiente manera: Definición 1 Matriz jacobiana Sean 𝐴 ⊆ 𝑅  , 𝑎 un punto de 𝐴 y 𝑓: 𝐴 → 𝑅  un campo vectorial que admite todas sus derivadas parciales en 𝑎 . Se llama matriz jacobiana de 𝑓 en el punto 𝑎 , 𝐽 (𝑎), a la de orden 𝑛 × 𝑞 , dada por:

matriz cuya columna i-ésima tiene las coordenadas del vector





𝑓(𝑎) esto es, la matriz

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 (𝑎)⎤ (𝑎) … ⎡  (𝑎) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎢ 𝜕𝑥 ⎥ 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ⎢ 𝜕𝑓 ⎥ (𝑎) (𝑎) … (𝑎)⎥ 𝐽 (𝑎) ≔ ⎢ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎢ ⎥ ⋮ ⋮ ⋮ ⎢ ⎥ ⎢ 𝜕𝑓 (𝑎) 𝜕𝑓 (𝑎) … 𝜕𝑓 (𝑎)⎥ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎣ 𝜕𝑥 ⎦ La expresión en el miembro derecho de la ecuación anterior se lee: la matriz jacobiana de 𝑓 en 𝑎 . Nótese que la matriz jacobiana es local, es decir, se define para un punto y no para un intervalo, por lo que se anticipa que si al menos una derivada parcial en ella no existe en 𝑎 entonces la matriz tampoco existe en 𝑎 . Otras características apreciables de la definición anterior son que un vector renglón cualquiera de la matriz jacobiana es un gradiente de la función 𝑓(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) en el punto 𝑎 , de hecho, el vector gradiente es un caso particular de una matriz jacobiana donde 𝑛 = 1 ; 𝑓 es una función de valores vectoriales con 𝑛 componentes y cada componente a su vez tiene 𝑞 variables, por lo que relaciona un campo vectorial con otro. En el caso particular donde 𝑛 = 𝑞 = 1 se observa que la matriz jacobiana da la pendiente de la curva generada por 𝑓 en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)) : 𝐽 (𝑎) = 𝑓 󰆒 (𝑎) , entonces la matriz jacobiana de una función vectorial no es más que la generalización de la derivada para funciones de múltiples variables. 1

3.2.

Relación entre vector gradiente y matriz jacobiana

Recordemos al gradiente de una función de 𝑛 variables: Definición 2. Gradiente de una función en 𝑛 variables. Sea 𝑓: 𝑅  → 𝑅 una función vectorial de las variables 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 , suponga que las derivadas parciales de 𝑓 respecto a cada variable existen, entonces el gradiente de 𝑓, denotado como ∇𝑓 o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓, está dado por: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ∇𝑓(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) =   … 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Como se sugirió en la sección 3.1 el vector gradiente de una función vectorial es el caso particular de la matriz jacobiana cuando la función relaciona 𝑅  a 𝑅 , lo que se demuestra mediante definición de matriz jacobiana: Para 𝑓: 𝑅  → 𝑅 una función vectorial de las variables 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 , su matriz    …  󰇤: una matriz renglón cuya forma es congruente jacobiana es 𝐽 (𝑥) = 󰇣 





con la del vector gradiente. Existe la matriz de derivadas parciales de segundo orden de una función de campos vectoriales siempre que su jacobiana exista, a tal matriz se le conoce como matriz hessiana y es la matriz jacobiana del gradiente de la función, se define como sigue: Definición 3. Matriz hessiana. Sea 𝑓: 𝐷 → 𝑅 una función definida en un dominio 𝐷 ⊆ 𝑅  . Entonces ∇𝑓: 𝐷 → 𝑅  . La matriz jacobiana de ∇𝑓 se llama matriz hessiana de 𝑓, se denota 𝐻 (𝑥), y está dada por: 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 ⎡ ⎤ … 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎥ ⎢𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎢ 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 ⎥ … ⎥ 𝐻 (𝑥) = 𝐽∇ (𝑥) = ⎢𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎢ ⎥ ⋮ ⋮ ⎢ ⋮ ⎥ 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 ⎥ ⎢ 𝜕 𝑓 … 𝜕𝑥 𝜕𝑥⎦ ⎣𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 3.3. Determinante de la matriz jacobiana La matriz jacobiana se puede hallar aun cuando 𝑛 ≠ 𝑞, empero su determinante sólo puede calcularse cuando 𝑛 = 𝑞(i.e. cuando la matriz jacobiana es cuadrada). A dicho determinante se le llama jacobiano, y se define así: Definición 4. Determinante de la matriz jacobiana Sea 𝑆 ⊆ 𝑅  el dominio contenido en 𝑅  donde existen las derivadas parciales de las funciones 𝑓 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛. El determinante de la matriz jacobiana, el jacobiano, de la función 𝑓 = (𝑓 , … , 𝑓 ) para todo 𝑥 en 𝑆 es: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 … 𝜕𝑥 󰈑 𝜕𝑥 𝜕𝑥 󰈑 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 … 𝐽 (𝑥 ) ≔ 󰈑 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥󰈑 ⋮ ⋮ ⋮ 󰈑 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 󰈑   … 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

lee como el jacobiano de 𝑓 , también se denota como |𝐽(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 )| o . El jacobiano también es local. La importancia del jacobiano radica en dos

Y )se ( , ,…,

( , ,…, )

aplicaciones simples: puede utilizarse para obtener áreas y volúmenes mediante integrales iteradas bajo un cambio de variables, y ayuda a calcular derivadas implícitas. En las siguientes secciones observaremos estas aplicaciones. 3.4. Cambio de variables mediante el jacobiano Durante la evaluación de una integral doble o triple resulta a en ciertos escenarios muy conveniente redefinir el integrando y los diferenciales en términos de variables nuevas de un sistema de coordenadas donde la función sea más simple y por ende más fácil de integrar. Para el caso en que queramos una integral doble como ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, donde S es una región en el plano 𝑥𝑦, en términos de dos variables nuevas 𝑢 y 𝑣 sobre una región T, es decir∬ 𝐹(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣, puede resultar laborioso ya que es necesario definir tanto a 𝑥 como a 𝑦 en términos de las nuevas variables: 𝑥 = 𝑋(𝑢, 𝑣) 𝑦 = 𝑌(𝑢, 𝑣) Estas ecuaciones se interpretan como una aplicación que hace que a un punto en 𝑢𝑣 le corresponda un punto en 𝑥𝑦. Así un conjunto de puntos T en el plano 𝑢𝑣 es aplicado en otro S del plano 𝑥𝑦, esta aplicación se puede representar de forma vectorial de la siguiente manera: 𝑟(𝑢, 𝑣) = 𝑋(𝑢, 𝑣)𝑖 + 𝑌(𝑢, 𝑣)𝑗 𝑠𝑖 (𝑢, 𝑣)𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑇 Así cuando (𝑢, 𝑣) recorra puntos de T, el vértice de r describe puntos de S. En las ocasiones en que 𝑢 y 𝑣 puedan expresarse en términos de 𝑥 y 𝑦 se tendrá una aplicación inversa que transforma los puntos de S en los de T. Son de gran importancia las aplicaciones que implican una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos de puntos, pues estas son las que permiten transformar puntos de S a T, y de T a S mediante una regla. Suponga ahora que las funciones X y Y son continuas y además tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:  𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =  𝑓 (𝑋(𝑢, 𝑣 ), 𝑌(𝑢, 𝑣))|𝐽(𝑢, 𝑣)|𝑑𝑢𝑑𝑣 



El segundo factor de esa integral es el determinante de la matriz jacobiana de 𝑓(𝑋(𝑢, 𝑣), 𝑌(𝑢, 𝑣)) dado por: 𝜕𝑋 𝜕𝑋 |𝐽(𝑢, 𝑣)| = 󰈑𝜕u 𝜕v 󰈑 𝜕𝑌 𝜕𝑌 𝜕u 𝜕v En el caso más simple la integral anterior es:  𝑑𝑥𝑑𝑦 = |𝐽(𝑢, 𝑣)|𝑑𝑢𝑑𝑣 



La demostración de porqué esta transformación es válida se omite, a continuación se esboza una explicación geométrica de dicha transformación: Tómese una región T del plano uv y una región S en el plano xy en los que T es aplicado por la función vectorial 3

r(u, v) definida previamente en esta sección, considere ahora las primeras derivadas parciales de r, denotas coo 𝑉 y 𝑉 :

Una curva u y el correspondiente vector velocidad.

La función vectorial 𝑟 aplica el segmento v sobre una curva en el plano 𝑥𝑦, esta es la curva 𝑢 , el vector 𝑉 es tangente a la dicha curva. De la misma manera cada vector 𝑉 es tangente a cada curva 𝑣 obtenida de hacer 𝑢 constante en el plano 𝑢𝑣. Una curva 𝑢 y una curva 𝑣 pasan por cada punto de S. Tomada de Calculus Tomo 2 de Tom Apostol.

La imagen de una región rectangular del plano uv es un paralelogramo curvilíneo en el plano xy. Tomada de Calculus Tomo 2, 2ed, de Tom Apostol.

Considerando ahora un rectángulo en el plano 𝑢𝑣 y un paralelogramo curvilíneo en el plano 𝑥𝑦 ; si ∆𝑢 y ∆𝑟 son las medidas de la base y altura, respectivamente, del rectángulo en 𝑢𝑣 , entonces 𝑟 transforma esta región en 𝑥𝑦 a una casi como un paralelogramo con ¨lados¨ |𝑉 |∆𝑢 y |𝑉 |∆𝑟 y el área de este paralelogramo curvilíneo está dado por |𝑉 × 𝑉 |∆𝑢∆𝑣; donde |𝑉 × 𝑉 | no es más que el jacobiano de 𝑋 y 𝑌 : 4

𝑖 𝑗 𝑘 𝜕𝑋 𝜕𝑋 𝜕v 𝑉 × 𝑉 = 󰈑 𝜕𝑋 𝜕𝑋 0󰈑 𝜕𝑌 𝜕v 𝜕𝑌 𝜕u 𝜕𝑌 󰈑 𝑘 = 𝐽(𝑢, 𝑣)𝑘 𝜕u 𝜕𝑌 0 = 󰈑 𝜕v 𝜕u Y |𝐽(𝑢, 𝑣)𝑘| = |𝐽(𝑢, 𝑣)| , 𝜕u entonces el área 𝜕vdel paralelogramo curvilíneo es aproximadamente |𝐽(𝑢, 𝑣)|∆𝑢∆𝑣. Si el jacobiano tiene valor 1 para todos los puntos de T, entonces el paralelogramo curvilíneo tiene la misma área que el rectángulo. De caso contrario hay que multiplicar el área por el jacobiano. Se puede interpretar al jacobiano entonces como un factor de ampliación de áreas. Cuando se consideran subregiones de T de área infinitesimal y se evalúa el límite de su suma (que es una suma de Riemann) el valor total del área está dado por una integral doble sobre T, y es aproximadamente igual al valor del área de la región S. Lo que sugiere la validez de la transformación. El análisis no es muy diferente cuando se estudian volúmenes, y puede extenderse a cambios de múltiples variables. Antes de usar el jacobiano para determinar áreas y volúmenes se presentarán sus equivalentes en el sistema de coordenadas cilíndricas y en el sistema de coordenadas esféricas. 3.5. Jacobiano en coordenadas cilíndricas y esféricas Para transformar una función del sistema de coordenadas rectangulares al sistema de coordenadas cilíndricas se utilizan las siguientes parametrizaciones: 𝑋 = rcos(𝜃) 𝑌 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 (𝜃) 𝑍 = 𝑧 Donde 𝜃 es un ángulo acimutal y r es un radio, refiérase a las imágenes abajo:

El jacobiano en coordinadas cilíndricas es entonces: 𝜕𝑋 𝜕𝑋 𝜕𝑋 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 󰈑 󰈑 𝑐𝑜𝑠θ −𝑟𝑠𝑒𝑛θ 0 𝜕𝑌 𝜕𝑌 𝜕𝑌 = senθ rcosθ 0  = 𝑟(cosθ + senθ ) = 𝑟 𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 󰈑 𝜕r 𝜕𝜃 𝜕𝑧 󰈑 0 0 1 𝜕𝑍 𝜕𝑍 𝜕𝑍 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 5

Para las coordenadas polares el jacobiano es el mismo que para las coordenadas cilíndricas, debido a que z no está definida en ese sistema la tercera columna en la representación matricial del jacobiano desaparece, así el resultado es el mismo. Para transformar una función rectangular a coordenadas esféricas se utilizan las siguientes ecuaciones paramétricas: 𝑋 = ρsen(φ)cos(𝜃) 𝑌 = ρsen(φ)𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑍 = ρcos(φ) Donde 𝜃 es un ángulo acimutal, φ es un ángulo címutal y ρ es la longitud de un vector, véase la siguiente ilustración para referencia:

El jacobiano en coordenadas esféricas es: sen(φ)cos(𝜃) cos(φ)cos(𝜃) 𝐽(ρ, 𝜃, φ) = 󰈏sen(φ)sen(𝜃) ρcos(φ)sen(𝜃) cos(φ) −ρsen(φ)

− ρsen(φ)sen(𝜃) ρsen(φ)cos(𝜃) 󰈏 = ρ  sen(φ) 0

Del análisis anterior se tiene ahora que la integral doble ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 queda de la forma 3.6.

Integrales dobles y triples mediante jacobiano

 𝑓rcos(𝜃) , 𝑟𝑠𝑒𝑛 (𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 

Mientras que la integral triple ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 es equivalente a  𝑓(rcos(𝜃) , 𝑟𝑠𝑒𝑛 (𝜃), 𝑧)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 

en coordenadas cilíndricas, y la misma integral triple es equivalente a

 𝑓(ρsen(φ)cos(𝜃) , ρsen(φ)𝑠𝑒𝑛(𝜃), ρcos(φ))ρ sen(φ)𝑑ρ𝑑𝜃𝑑φ 

en coordenadas esféricas por el jacobiano. 3.7. Diferenciación implícita mediante jacobianos Considere dos superficies con funciones implícitas F y G tales que: 6

F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) =una 0 curva, C, cuyas ecuaciones De la intersección de estas superficies se obtiene paramétricas se obtienen resolviendo las dos ecuaciones anteriores simultáneamente respecto a dos de sus variables respecto a la tercera, por ejemplo: x = X(z) 𝑦 = 𝑌(𝑧) para toda 𝑧 en un intervalo abierto (a, b), por lo que las representaciones implícitas de las superficies planteadas son equivalentes a F(X(z), Y(z), z) = 0 ; G(X(z), Y(z), z) = 0. Declarando estas dos funciones como definiciones de dos funciones de z nuevas sean, 𝑓(𝑧) y 𝑔(𝑧) respectivamente, cuyas derivadas por regla de la cadena están dadas por: 𝜕𝐹 󰆒 𝜕𝐹 󰆒 𝜕𝐹 𝜕𝐺 󰆒 𝜕𝐺 󰆒 𝜕𝐺 𝑓 󰆒 (𝑧) = 𝑋 (𝑧) + 𝑌 (𝑧) + , 𝑔󰆒 (𝑧) = 𝑋 (𝑧) + 𝑌 (𝑧) + 𝜕x 𝜕y 𝜕z 𝜕x 𝜕y 𝜕z Puesto que tanto 𝑓′ como g′ son nulas, para determinar 𝑋′ y 𝑌′ se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales: 𝜕𝐹 󰆒 𝜕𝐹 󰆒 𝜕𝐹 𝑋 (𝑧) + 𝑌 (𝑧) = − 𝜕x 𝜕y 𝜕z

𝜕𝐺 󰆒 𝜕𝐺 󰆒 𝜕𝐺 𝑋 (𝑧) + 𝑌 (𝑧) = − 𝜕z 𝜕x 𝜕y Para los puntos donde el determinante del sistema no es cero, el sistema tiene una solución, por regla de Cramer se puede expresar de la siguiente manera: 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕z 𝜕y 𝜕x 𝜕z 󰈑 󰈑 󰈏𝜕𝐺 𝜕𝐺󰈏 𝜕𝐺 𝜕𝐺 𝜕x 𝜕z 𝜕z 𝜕z 𝑋 󰆒 (𝑧) = − 𝑌󰆒 (𝑧) = − 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 , 𝜕x 𝜕y 𝜕x 𝜕y 󰈑 󰈑 󰈑 󰈑 𝜕𝐺 𝜕𝐺 𝜕𝐺 𝜕𝐺 𝜕x 𝜕y 𝜕x 𝜕y Los determinantes en los miembros de estos cocientes tienen una forma conocida ya, y es la del jacobiano. En forma resumida 𝑋′ y 𝐺′ se escriben: 𝜕(𝐹, 𝐺) 𝜕(𝐹, 𝐺) 𝜕(𝑦, z) 𝜕(z, x) , 𝑌󰆒 (𝑧) = − 𝑋 󰆒 (𝑧) = − 𝜕(𝐹, 𝐺) 𝜕(𝐹, 𝐺) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(x, y) Este concepto se puede extender a sistemas de m ecuaciones con n variables sin perder validez. 3.8. Resumen de propiedades del jacobiano y la matriz jacobiana. i. El jacobiano es el determinante de una matriz cuyos componentes son derivadas parciales de una función de campos vectoriales. ii. El jacobiano es local, no existe para un intervalo de valores de la función que transforma sino para un punto de ella. iii. El jacobiano es un factor de ampliación de áreas cuando se aplica a integrales dobles, de volúmenes cuando se aplica a integrales triples. iv. La matriz jacobiana es la generalización de la derivada multivariable.

7

4.

Semblanza histórica de Carl Gustav Jacob Jacobi

Nació en Potsdam, Prussia (ahora Alemania) en 1804 bajo el nombre francés de Jacques Simon a pesar de que su familia más bien era judía. Fue el segundo hijo de una familia próspera, su hermano Mortiz Jacobi fue un físico famoso de la época. Antes de empezar estudios formales su educación corría por responsabilidad de un pariente materno. Debido a su gran talento, consiguió los requisitos para entrar a la universidad a la tempranísima edad de 12 años pero por restricciones de edad impuestas por la universidad de Berlín no pudo ingresar a la academia sino hasta cumplir 16 años. A pesar de haber realizado estudios en matemáticas por su propia cuenta y desarrollar Carl Gustav Jacobi investigación matemática antes de ingresar a la academia, y siendo muy bueno tanto en las Imagen tomada de MacTutor History of humanidades como en las ciencias, cuando Mathematics archive. finalmente entró aún no tenía claro sobre qué tema concentraría su carrera, pasó algún tiempo antes que se decidiera por estudiar matemáticas. Pero como la educación superior en el área fuera aún pobre en su país entonces, la mayor parte de sus conocimientos venían del estudio en solitario. Al ser judío encontró dificultades a la hora de buscar trabajo tras titularse, pero gracias a su talento y el gran número y considerable calidad de sus aportaciones pudo hacerse valer en la comunidad científica y docente. Así, al graduarse en 1824 ya para 1825 se había convertido en maestro en el Joachimsthalsche Gymnasium, una escuela líder en Berlín. Más tarde ese mismo año se convertiría al cristianismo y entonces fue admitido por la Universidad de Berlín como maestro. Siguiendo el consejo de sus colegas, abandonó Berlín al siguiente año para formar parte del cuerpo docente de la Universidad de Königsber, donde conoció a Franz Neumann y Bessel, otras dos mentes brillantes de la época. Para entonces ya sus contribuciones a la teoría de números, sus resultados para los residuos cúbicos y sus ideas innovadoras sobre funciones elípticas habían llamado la atención de otros matemáticos como Gauss, Abel y Legendre. Contrajo matrimonio con Marie Schwinck en 1831, luego en 1832 fue promovido a un puesto más alto en la cátedra de Köningsberg, como maestro fue una figura muy influyente para otros estudiantes que visitaron esa universidad. Más tarde en 1833 su hermano, Moritz, se unió a la misma institución como arquitecto, aunque la abandonaría un par de años después. Los aportes de Jacobi a las teorías matemáticas también consistieron en importantes investigaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales y su aplicación a la dinámica, trabajó en determinantes y estudió el determinante funcional conocido ahora como el jacobiano, el cual es tema de este ensayo. Cabe señalar que originalmente este 8

determinante había sido estudiado por Cauchy, pero fue Jacobi quien lo desarrolló extensamente en su trabajo De determinantibus functionalibus en 1841. En mayo de 1843 la salud de Jacobi decayó gravemente y por recomendaciones de su médico debía mudarse a Italia, ya que según el diagnóstico el clima de la región debería favorecerle. Pero una gran crisis financiera que azotó a Prussia y una gran parte de Europa condujo a Jacobi a la bancarrota, y en esta situación no pudo moverse a Italia sino hasta muy tarde el mismo año gracias a la ayuda de Alexander von Humboldt, quien dio a Jacobi el apoyo económico que tanto necesitaba. Para 1844 su salud había mejorado mucho pero el clima de Köningsberg seguía siendo muy duro para él, así que tuvo que volver a Berlín. Para 1848 la escena política en Alemania era más bien adusta, los conflictos entre clases sociales, revueltas, desempleo, escasez de alimentos y demás hacían del lugar uno difícil para vivir y trabajar. Jacobi lo vio especialmente complicado por su postura política la cual le ganó el desprecio del régimen, por varios años su actividad docente se vio limitada. En 1851 contrajo influenza y murió a penas después de recuperarse, a causa de la viruela el 18 de febrero, en Berlín. 5. i. ii. iii.

6.

Conclusiones El jacobiano es el determinante de la matriz jacobiana, la cual consiste en un arreglo rectangular de todas las derivadas parciales de una función sobre un campo vectorial. El jacobiano se aplica en la determinación de áreas mediante el teorema de cambio de variables del cálculo integral multivariado. El jacobiano se caracteriza por ser un factor de ampliación de áreas en integrales dobles y de volúmenes en integrales triples; la matriz que lo genera es además una generalización de la derivada multivariable, y el jacobiano se puede utilizar para diferenciar implícitamente funciones multivariables. Bibliografía

Apostol, Tom M.; Vélez Cantarell, Francisco (1980-1982): Calculus. 2a ed. Barcelona, México: Reverté. Cabello Píñar, Juan Carlos: Apuntes de cálculo (2). Disponible en línea en https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Calculo_2_Informatica.pdf, Última comprobación el 11/20/2018. Sánchez Díez, Carmen: Sobre las aplicaciones de Rn en Rm utilizando el jacobiano. Disponible en línea en http://casanchi.com/mat/jacobiano01.pdf, Última comprobación el 20/11/2018. Uresti Charre, Eduardo (2009): Elementos de cálculo en varias variables. Disponible en línea en http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma00-130/lecturas/m130-13.pdf, Última comprobación el 11/20/2018. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F: Carl Gustav Jacob Jacobi. Disponible en línea en http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Jacobi.html, Última comprobación el 11/22/2018.

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