LÍMITE Y SUS PROPIEDADES INTRODUCCION A LOS LÍMITES PDF

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LÍ MI TE Y SUS PROPI EDADES I NTRODUCCI ON A LOS LÍ MI TES La noción de límite es fundamental para la comprensión del cálculo. Mediante varios ejemplos se busca que los estudiantes tengan claridad del significado de límite. 1. El problema de la recta tangente. f ( x ) y un punto Analizaremos el prob...

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LÍ MI TE Y SUS PROPI EDADES

I NTRODUCCI ON A LOS LÍ MI TES La noción de límite es fundamental para la comprensión del cálculo. Mediante varios ejemplos se busca que los estudiantes tengan claridad del significado de límite.

1. El problema de la recta tangente.

f ( x ) y un punto

Analizaremos el problema clásico del cálculo denominado el problema de la recta tangente que consiste que dada una función

p

de

su gráfica se pide calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P. En efecto, hallar la ecuación de la recta tangente en el punto es equivalente a determinar su pendiente de la recta en el punto

f ( x ) , formando rectas secantes a medida que acerca a P.

Ahora bien, suponemos que un punto

Q,

p.

moviéndose sobre la curva de

1

Recta Tangente

P

p,

Cuando la pendiente de la secante se va aproximando

A P, la figura, de la

posición limite

Q(c + ∆x, f (c + ∆x ))

f (c + ∆x ) − f (c )

p (c, f (c ))

∆x

x

c + ∆x

c

c

La pendiente de la recta secante es:

M sec = f (c + ∆x ) − f (c ) = f (c + ∆x ) − f (c ) c+∆

2. Sea

∆x

f ( x ) = x 2 + 1, con dominio los

ℜ

Su gráfica es:

f (x)

5

4 3 2 1

-2

-1

1

2

Observemos el comportamiento de la función f(X) para valores cercanos a 1, pero no iguales a 1.

Elaboremos dos tablas.

f (x) = x2

T

f (x) = x2

x

0.7

1.49

1.5

2.69

0.8

1.64

1.2

2.44

0.9

1.81

1.1

1.21

0.99

1.9801

1.01

2.0201

0.999

1.998001

1.001

2.002001

0.999

1.99980001

1.0001

2.00020001

que se simboliza x → 1, entonces, f(X)

→ 2,

Al analizar las dos tablas, podemos darnos cuenta que cuando X tiende a 1, utilizando la idea límite

lim f ( x ) = 2 x →1

podemos escribir.

3. Esbozar la gráfica de la función dada por

f ( x ) = x 2 − 4 / x − 2,

x ≠2

Para observar el comportamiento de la gráfica para valores de 2, condensado en la siguiente tabla de datos.

1.8 3.8

1.9 3.9

cercanos a

f ( x ) tiende a 4

f ( x ) tiende a 4

x f (x)

x

1.99 3.99

1.999 3.999

2 ?

2.001 4.001

2.01 4.01

2.1 4.1

2.2 4.2

Al realizar la gráfica de f (x) es una línea recta con una discontinuidad (hueco) en el punto p (2,4)

4 3 2 1 0

Es decir,

1

2

lim f ( x ) = 4 x→2

f ( x ) está definida para valores próximos valores de f ( x ) se acercan a un valor f (x ) = L DEFI NI CI ÓN I NFORMAL DE LÍ MI TE

Si

a C, encontramos que los único L, entonces,

Lim

x→c

PROPI EDADES DE LOS LÍ MI TES Si

b

y

c

n un entero positivo, f y g son funciones x → c , sin validas las siguientes propiedades

son números reales,

que tienen límites cuando

1. Límite de una constante Sea

f ( x ) = k , entonces, Lim f ( x ) = k x→c

2. Límite de una suma de funciones

Lím[ f ( x ) + g ( x )] = Lím f ( x ) + Lim g ( x )

x

c

x

c

x

c

3. Límite de una diferencia de funciones

Lím[ f ( x ) − g ( x )] = Lím f ( x ) − Lim g ( x )

x

c

x

c

x

c

4. Límite de un producto de funciones

Lím[ f ( x ) ⋅ g ( x )] = Lím f ( x ) ⋅ Lim g ( x )

x

c

x

c

x

c

5. Límite de un cociente de funciones

 f ( x ) Lím f ( x ) Lím   = Lím g ( x ) , g ( x ) ≠ 0 ( ) g x  

x c

x c

OBSERVACI ONES

1. Para determinar

()

Lím f ( x ),

sino lo que ocurre a la derecha y a la izquierda de f c no existe. 2.

Lím f ( x ) = Lím f ( x ) El

límite

de

una

x = c,

no nos interesa lo que ocurre en

función

es

c . I ncluso puede que

único.

x

c

Esto

significa

x

c

LI MI TES QUE NO EXI STEN

Analicemos el comportamiento del límite de

x →0

Lím

F (x ) =

x x

x x

Veamos

f (x) =

x x

1 0 -1

Lím f ( x ) = 1 x →0

y,

1

Lím f ( x ) = −1 x →0 −1

f ( x ) no existe.

Como el límite a la derecha y el límite a la izquierda de iguales, esto significa que

f (x)

no son

3. Límite de una potencia

Lim [ f ( x )]

n

x →c

=  Lim f ( x )  x →c 

n

4. Límite de una raíz a) Si

b) Si

L ≥ 0, Lim n f ( x ) = n L x →c

L ≤ 0,

si

Si

n es par, Lim n f ( x ) x →c

n

es impar,

no existe

n Lim n f ( x ) = L x →c

TECNI CAS PARA CALCULAR LÍ MI TES

Cuando se esta calculando el límite de una función racional cuyo denominador es cero, se trata de eliminar esta determinación utilizando 3 métodos que son:

1. Factorización 2. | Racionalización 3. La derivación (regla H’ opital)

EJEMPLOS: CALCULAR EL LI MI TE ( SI EXI STE)

1.

7x + x 2 x(7 + x ) = Lím = Lím . x x X →0 x →0

(7 + x) = 7 + 0 = 7 x →0

2.

Lim x x →1

2

x −1 = + 2x − 3

x −1

Lím (x + 3)(x − 1) x →1

= Lím x →1

=

1 1+ 3

=

3.

1 4

( x + 3)( x − 2) x2 + x − 6 = Lim Lím x→2 x → 2 ( x + 2 )( x − 2 ) x2 − 4 =

x+3

Lím x + 2

=

=

4.

1 x+3

x→2

2+3 2+2

5 4

( x − 1)( x − 2) x 2 + 3x + 2 = Lím Lim 2 x →1 x − 4 x + 3 x →1 ( x − 1)( x − 3) = Lím x →1

=

=

1− 2 1− 3

1 2

x−2 x−3

5.

(

)(

t 2 + a2 t 2 − a2 t 4 − a4 = Lím Lim 2 2 t →a t − a t →a t 2 − a2

(

(

= Lim t 2 + a 2 t →a

)

)

)

= a2 + a2

= 2a 2

6.

( x + 2) ( x − 1) x2 + x − 2 = Lím Lim x →1 ( x − 1)2 x →1 ( x − 1)( x − 1) =

7.

x→2

Lim

Lim x →1

x+2 (No existe) x −1

( x + 2 − 2) x + 2 + 2  x+2−2 = Lím ( x − 2)  x + 2 + 2  x−2 x→2 = Lim x→2

= Lim x→2

= Lim x→2

=

x+2−4 ( x − 2) ( x + 2 + 2)

( x − 2) ( x − 2) ( x + 2 + 2) 1 x+2 +2

1 1 = 4 2+2

8.

x →1

Lim

( x + 3 − 2 ) x + 3 + 2  x+3− 2 = Lím ( x + 1)  x + 3 + 2  x +1 x → −1 x +3−2 x → −1 ( x + 1) ( x + 3 + 2 )

= Lim

= Lim

x → −1

= =

9.

( x + 1) (

( x + 1)

x + 3 + ( 2 ))

1 2 + 2 1 2 2

×

2 2 = 2 4

( x + 4)( x − 4) x 2 − 16 = Lím Lim ( x − 4) x−4 x→4 x→4 = Lim ( x + 4 ) x→4

=4+4 =8

10.

x →0

Lim

1 1 1 1  2 − ( x + 2 ) = − Lím x  x + 2 2  x → 0 x  2( x + 2 )   −1  = Lim   x → 0  2( x + 2 )

=− 11.

 3m 2 − 8m − 16  Lim  2  m → 4  2m − 9m + 4 

1 4

FACTORI CEMOS TANTO EL NUMERADOR Y EL DENOMI NADOR

32 m 2 − 8(3)m − 48 (3m − 12 ) (3m + 4 ) = 3m − 8m − 16 = 3 3 2

= (3 − 4 ) (3m + 4 )

2 2 m 2 − 9m − 8 (2m − 8) (2m − 1) = 2m − 9m − 4 = 2 2 2

= (3 − 4 ) (2m − 1)

VOLVI ENDO AL LÍ MI TE I NI CI AL

(m − 4) (3m + 4) = 3m + 4 Lim m → 4 (m − 4 ) (2m − 1) m → 4 2m − 1 Lim

12 + 4 8 −1 8 = 7

=

12.

(

( x3 − 8 x − 2) x 2 + 2 x + 4 = Lim Lim ( x − 2) x→2 x − 2 x→2

(

= Lim x 2 + 2 x + 4 x−2

)

)

=4+4+4 = 12

13.

3 x →0

Lim

2 2  3 x + 1 − 1   3 ( x + 1) + 3 ( x + 1)(1) + 3 (1) x +1 −1   = Lim  x x x →0    3 ( x + 1)2 + 3 ( x + 1)(1) + 3 (1)2

= Lim x →0

= Lim x →0

= Lim x →0

=

=

14.

( (x + 1)

x −1−1

x

x

x

3

2

( (x + 1) 3

2

( (x + 1) 3

2

)

+ 3 x +1 +1

x

)

+ 3 x +1 +1

1

)

+ 3 x +1 +1

1 1+1+ 1

1 3

x − (x + h) 1 1 − x( x + h ) = Lim x + h x = Lim h h h→0 h→0 x − (x + h) 1 1 − x( x + h ) = Lim x + h x = Lim h h h→0 h→0

= Lim h →0

−h xh( x + h )

 −1  = Lim   h → 0  x ( x + h )

   

= 15. x→a

Lim

−1 x2

 x−b − a −b x−b + a −b x −b − a −b     = Lim x→a  (x + a ) (x − a )   x − b + a − b  x2 − a2

= Lim x →a

x − b − (a − b ) (x + a ) (x − a ) ( x − b + a − b )

= Lim

x−b−a +b (x + a ) (x − a ) ( x − b + a − b )

= Lim

x−a (x + a ) (x − a ) ( x − b + a − b )

x→a

x→a

= Lim x→a

=

(x + a )

(

2a (2 a − b ) 1

1 x − b + a − b)

=

1 4a a − b

LI MI TES ESPECI ALES

Existen cuatro Límites Especiales de gran utilidad para el estudio de la Derivada.

1.

xn + an Lim x→a x − a

Si aplicamos las propiedades de los límites, a la función dada, se obtiene una indeterminación de la forma

0 0

(

( xn − a x − a ) x n −1 + ax n − 2 + ... + a n −1 = Lim Lim (x − a ) x→a x − a x→a

(

= Lim x n −1 + ax n − 2 + ... + a n −1 x→a

= a n −1 + aa n − 2 + ... + a n −1

= x n −1 + a n −1 + ... + a n −11 = na n −1

Ejemplos:

1.

2.

x5− a5 = 5a 4 Lim x→a x − a

x 5 − 32 x 5 − 25 5(2 )4 = 80 = Lim Lim x→2 x − 2 x→2 x − 2

x →3

Lim

x− 3 x112 − 3112 = Lim x−3 x−3 x →3

1(3)−112 1 3 = = × 2 2 3 3

)

)

= 4.

x →0

Lim

sen x x

3 6...