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Summary

funzioni...

Description

Funzioni Maurizio Rinaldi aggiornato: 2020-09-30

Introduzione Consideriamo il dataset di R Cars93 (pacchetto MASS) che riporta alcuni dati caratteristici di auto vendute nel 1993 negli Stati Uniti. library(MASS) Cars93

Manufacturer

Model

Type

MPG.city

MPG.highway

1

Acura

Integra

Small

25

31

2

Acura

Legend

Midsize

18

25

3

Audi

90

Compact

20

26

4

Audi

100

Midsize

19

26

5

BMW

535i

Midsize

22

30

En

Se consideriamo le variabili MPG=MPG.city (miglia per gallone in città) e (cilindrata in litri) e li riportiamo nel piano otteniamo

EngineSize

1 gallone =3.78541 l 1 miglio = 1.60934 km

Legge che lega 2 variabili Cerchiamo una legge che vincola i valori possibili di Siano e loro valori.

gli insiemi dove

e rispettivamente

e

.

possono assumere i

Nel piano cartesiano ( = ascisse, = ordinate) si considera l'insiemeprodotto cartesiano costituito da tutte le coppie ottenute variando in ogni modo possibile in ed in .

A priori, ogni punto

di

potrebbe essere osservato come valore di

. Se però e sono statisticamente dipendenti, i valori saranno confinati solo in una certa parte di .

è la legge che vincola i valori possibili di

e

.

Verso il concetto di funzione Se ritorniamo alla Figura MPG-cilindrata

nella situazione ideale di assenza di ogni errore riassumiamo l'andamento della nuvola di punti attraverso una curva (per esempio quella visualizzata).

Due aspetti della curva tracciata Il valore di MPG.city viene previsto anche per auto con cilindrate che non appaiano nel dataset (e forse neanche in commercio). Per ciascun valore di X=EngineSize troviamo un unico valore di Y=MPG.city, caratteristica non necessariamente presente nel data set originale.

Questa astrazione matematica corrisponde al concetto di funzione. Per ciascun valore di X=EngineSize in un insieme di valori ammissibili viene assegnato un unico valore di Y=MPG.city in un insieme di valori ammissibili. La corrispondenza in questo caso è descritta da una formula ben precisa (per esempio)

(dove Y=MPG.city e X=EngineSize). Si suppone per comodità che esista un legame causale fra

e

nel quale

è la causa (o l'input, o l'ingresso, o la variabile indipendente) è l'effetto (o l'output, o la uscita, o la variabile dipendente) preferiamo infatti pensare che le auto consumino di più perché la loro cilindrata aumenta piuttosto che pensare che la cilindrata aumenti perché le auto consumano di più.

La situazione limite ed ideale di dipendenza di funzione.

da

porta al concetto di

Siano date, intuitivamente, due variabili e , da pensarsi come input, ed come output; siano dati un insieme , costituito da tutti i possibili valori di ed un insieme , costituito da tutti i possibili valori di . Comunemente e sono insiemi di numeri reali, ma nella definizione seguente va bene anche il caso in cui sono insiemi astratti. Definizione di funzione Una relazione si dice una funzione ( ) se per ogni punto in esiste uno ed un solo in tale che il punto stia in . (grafico a destra ma NON quello a sinistra)

Si noti che, dal punto di vista applicativo, la definizione di funzione prevede due punti essenziali: ogni punto di è considerato un valore possibile della variabile ; in corrispondenza ad ogni valore in , la è vincolata ad assumere un valore bene determinato.

Terminologia Se

è una funzione come appena detto, l'insieme è detto il dominio della funzione è detto il codominio della funzione l'insieme stesso, che formalmente è la funzione, è detto spesso il grafico della funzione; ad evitare confusione lo indicheremo con

.

Formalmente quindi, una funzione è individuata dalla tripletta costituita dal dominio, dal codominio e dal grafico. Quando si interpreta la funzione ad ogni valore

oppure

in

uno ed un solo valore

come una legge che associa in

, la indicheremo con

Dato un generico detto il valore di indicare che

s

in in

, l'unico

in

tale che il punto

stia in

, ed è indicato con , che si legge effe di ics. Per , si usa frequentemente la simbologia

è

Tutte queste rappresentazioni rendono bene l'idea di un funzione come un sistema che accetta entrate e fornisce uscite ogni del dominio deve essere un ingresso accettato dal sistema, se il sistema riceve un ingresso fornisce una uscita , che è sempre la stessa se viene rimesso in entrata il medesimo ingresso .

Riassumendo Una funzione è una corrispondenza che associa a ciascun valore in ingresso in un insieme di valori ammissibili (dominio ) un unico valore in uscita (in un insieme detto codominio di valori possibili in uscita).

L'associazione

definisce una funzione Quindi

e se il dominio è

Il dominio

è qui

che associa, ad esempio, al numero 1 il numero 8.

e il codominio

(numeri reali).

Il di

grafico é costituito dai punti del piano della forma nel dominio.

al variare

L'immagine Il sottoinsieme di

si chiama immagine di .

Restrizione di funzioni Se e è un sottoinsieme proprio di possiamo considerare una nuova funzione definita da per ogni

in

; tale funzione si chiama restrizione di

ad

;

Restrizione sul codominio Non è sempre possibile restringere il codominio; se però abbiamo un sottoinsieme proprio che contiene l'immagine di allora possiamo considerare la funzione definita esattamente come su tutto .

Se il codominio reali si dice che

di una funzione è una funzione reale.

è costituito da numeri

Se il dominio di è costituito da numeri reali si dice che funzione di variabile reale. Una funzione con contenuto in reale.

è una

(o più generalmente una funzione ) è quindi detta una funzione reale di variabile

Funzioni iniettive e suriettive Una funzione elementi ed

di

si dice iniettiva se comunque si scelgano due si ha

A volte si usa la proposizione contronominale

Una funzione esiste in tale che

In altre parole l'immagine di

si dice suriettiva se comunque si scelga .

coincide con il codominio

di .

in

Una funzione suriettiva.

si dice biiettiva se risulta sia iniettiva che...