Aep19 Tarea 2 - Nota: 8.0 PDF

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Instrucciones: Esta tarea debe ser entrega en la semana 3. Para dar respuesta a la tarea se recomienda leer las páginas 36 a la 56 del capítulo 2 de [] y el capítulo 1 de [Spiegel, 1976]. La tarea será puntuada sobre 100 puntos.Análisis Estadístico y ProbabilísticoEstudiante de la materia: Juan I. R...

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Análisis Estadístico y Probabilístico Estudiante de la materia: Juan I. Romero S., e-mail: [email protected].

Tarea 2: Teoría de probabilidades (Parte 2) Instrucciones: Esta tarea debe ser entrega en la semana 3. Para dar respuesta a la tarea se recomienda leer las páginas 36 a la 56 del capítulo 2 de [] y el capítulo 1 de [Spiegel, 1976]. La tarea será puntuada sobre 100 puntos.

1.

Teoría

1. (20 Puntos) Defina los siguientes conceptos y de un ejemplo de cada uno de ellos: (a) Probabilidad condicional Dado dos eventos A y B, con P (A)>0, se llama probabilidad condicional de B dado A y se escribe P (B|A) a la expresión.

(b) Teorema de probabilidad total Un conjunto de eventos { B i }, i=1,…, m constituye una partición del espacio de muestras Ω cuando:

(c) Regla de Bayes Considere una partición de { B j }, j=1,…, m del espacio de muestras con P ( B j )>0 para todo j. sea aun A, un evento con P (A)>0.

2. (5 Puntos) ¿Cuándo dos eventos son estadísticamente independientes? Cuando cumple la regla, P (A⋂ B)=P (a) P (B), cuando P (A)>0 y P (B)>0 entonces: 1

Y si P(A) y P(B) son positivas entonces A y B son independientes por lo tanto:

2. Problemas 3. (10 Puntos) Una caja contiene 2 bolas rojas y 3 azules. Hallar la probabilidad de que si dos bolas se extraen aleatoriamente (sin remplazamiento) (a) ambas sean azules, P (A1) = 3/5 = 60%

P (A2) = 1/2 = 50%

P (A1∩A2) = 3/5 × 1/2 = 3/10 = 30%

(b) ambas sean rojas, P (R1) = 2/5 = 40%

P (R2) = 1/4 = 25%

P (R1∩R2) = 2/5 × 1/4 = 1/10 = 10%

(c) una sea roja y la otra azul. P (R∩A) = 3/5 × 2/5 = 6/25 = 0.24 = 24% 4. (10 Puntos) Demostrar que si P (A) > P (B) entonces P (A|B) > P (B|A).

5. (10 Puntos) Sea A1 = suceso “numero IMPAr en el primer DADO”, A2 = suceso “número IMPAR en el segundo DADO”, A3 = suceso “TOTAL IMPAR en AMBOS DADOS”. Demostrar que A1, A2; A2, A3; A1, A3 son independientes pero que A1, A2, A3 no son independientes. A1 = {1, 3, 5}

A2 = {1, 3, 5}

A3 = {11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55}

P (A1) = 3/6

P (A2) = 3/6

P (A1) · P (A2) = 1/4

P (A2) = 3/6

P (A3) = 9/18

P (A2) · P (A3) = 1/4

P (A1) = 3/6

P (A3) = 9/18

P (A1) · P (A3) = 1/4

Son independientes porque la multiplicación entra sus respectivas probabilidades es de 1/4 para todas ellas … 6. (10 Puntos) Una caja contiene 3 bolas azules y 2 rojas mientras que otra caja contiene 2 bolas azules y 5 rojas. Una bola extraída aleatoriamente de una de las cajas resulta azul. ¿Cuál es la probabilidad de haberla extraído de la primera caja? 2

P (A1) = 1/2 -> 3Azul (A) P(A/A1) = 3/5 2Rojo (R)

P (A2) = 1/2 -> 2Azul 5Rojo

P(A/A2) = 2/7

P (A1/A) = (P (A1) P (a/A1)) / (P (A1) P (B/A1)+P (A2) P (A/A2)) P (A1/A) = (1/2 * 3/5) / (1/2 * 3/5 + 1/2 * 2/7) P (A1/A) = (3/10) / (31/70) P (A1/A) = 21/31 Tiene una probabilidad del 21/31 de que la bola azul salga en la primera caja. 7. (15 Puntos) A y B juegan 12 partidas de ajedrez de las cuales A gana 6, B gana 4 y 2 terminan en tablas (empatadas). Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que Un posible espacio muestral es: Ω = {w = (w1, w2, w3): w i ∈ {A, B, X}, i = 1, 2, 3} Donde cada w i (i = 1, 2, 3) representa el resultado de la i - partida del torneo, siendo este resultado A o B si la partida la gana el jugador A o B, respectivamente, o bien X si quedan en tablas. Además, los resultados de las partidas son independientes. Por otra instancia de parte, a la vista de los resultados obtenidos es 12 partidas, se asume que las respectivas probabilidades de obtener cada uno de los resultados anteriores 1/2, 1/3 y 1/6. Así, el espacio muestral dado no es equiprobable, puesto que, por ejemplo, P ({(A, B, A)}) = 1/12, pero P ({(A, B, B)}) = 1/18. (a) A gane las tres partidas, Sea M el suceso “A gana las tres partidas”. Luego, M = {(A, A, A)} y la correspondiente probabilidad es P (M) = (1/2) 3 = 1/8. (b) dos partidas terminen en tablas, Definimos el suceso N = "En dos partidas del torneo A y B quedan en tablas". Se tiene entonces que N = N 1 ∪ N 2 ∪ N 3 , siendo N i = {w = ( w 1 , w 2 , w 3 ): w i ∈ {A, B}; w j = X, para todo j = 1, 2, 3, j ≠ i}, i = 1, 2, 3. Nótese los sucesos elementales que son las permutaciones de un mismo conjunto de resultados individuales, tienen la misma probabilidad de sucesos. Por lo tanto: P (N) = 3 · P ({(A, X, X)})+ 3 · P ({(B, X, X)}) = 3 · (1/2) · (1/6 ¿¶ 2 = (5/72)

+ 3 · (1/3) · (1/6 ¿¶ 2

(c) A y B ganen alternativamente, Sea el suceso S = “A y B ganan alternativamente”. Así, como cada torneo constante de 3 partidas, se obtiene que: P (S) = P ({(A, B, A)}) + P ({(B, A, B)}) = (1/3) · (1/2 ¿¶ 2 = (5/36)

+ (1/2) · (1/3 ¿¶ 2

(d) B gane al menos una partida. 3

La probabilidad deseada es: P (T) = 1-P ( t c ) = 1-P ({(A, A, A)})- C 3, 1 X, X)})

· P ({(A, X, X)})- C3, 1

· P ({(A, A, X)})-P ({(X,

= 1-(1/8) + 3 · (1/72) + 3 · (1/24) + (1/216 ¿¶ = (19/27) 8. (20 Puntos) El panel de control de un equipo posee dos lámparas A y B. El equipo está compuesto por dos módulos 1 y 2 sujetos a fallas. Cuando ocurre una falla en el equipo, la probabilidad de que ella sea proveniente del módulo 1 es 0.3, y la probabilidad de que ella sea proveniente del módulo 2 es 0.7. Si ocurre una falla en el equipo una de las dos lámparas del panel se encienden. Además, se sabe que si la falla proviene del módulo 1, A se enciende con probabilidad 0.6 y B se enciende con probabilidad 0.4. Por otro lado, si la falla proviene del módulo 2, A se enciende con probabilidad 0.3 y B se enciende con probabilidad 0.7. Determine: A P (0.6) B P (0.4)

A P(0.3) B P(0.7)

M1 P (0.3)

M2 P (0.7)

(a) la probabilidad de que el módulo 1 haya fallado cuando A se enciende; y (b) la probabilidad de que B se encienda cuando ocurre una falla.

Referencias [Albuquerque et al., 2008] Albuquerque, J. P. d. A., Fortes, J. M. P., and Finamore, W. A. (2008). PROBABILIDADE, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e processos estocásticos. [Spiegel, 1976] Spiegel, M. (1976). PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA: T EORÍA y 760 PROBLEMAS resueltos.

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