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Un libro rápido de algebra...

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ÁLGEBRA

Ximena Carreño Campos Ximena Cruz Schmidt

Introducción En este libro de ejercicios de ÁLGEBRA hemos querido proponer una cantidad de trabajos que va desde los ejercicios más tradicionales para el aprendizaje del álgebra hasta los problemas más modernos y desafiantes que invitan al estudiante y al maestro a conversar y discutir en torno a posibles soluciones. Creemos sinceramente estar haciendo un aporte para colaborar con aquellos estudiantes que se interesen en afianzar sus conocimientos y sentar las bases de una sólida formación matemática. Estimado lector: queremos invitarlo a recorrer estas páginas en el orden que usted estime conveniente y de acuerdo con las necesidades que se le vayan presentando. En estas líneas vamos a tratar de darle una visión global del ámbito de trabajo de la aritmética y del álgebra. Nuestro mundo numérico se fue generando a lo largo de los siglos según los hombres iban necesitando de diversos modos de comunicación y de acuerdo con los requerimientos de otras áreas de acción, como el comercio, la astronomía, la agricultura, el desarrollo de las diversas ciencias, la matemática por sí misma y una infinidad de actividades en que el hombre se ha interesado por crear su expresión en términos numéricos. En la página siguiente encontrará un esquema que contiene los distintos conjuntos de números y la forma como los matemáticos los han ido ordenando de acuerdo con distintos criterios; y más adelante verá un gráfico de los diferentes conjuntos numéricos. El objetivo que nos hemos propuesto al escribir esta introducción y proponerle algunas actividades es que usted se forme una idea global de los distintos ámbitos en que se mueve la aritmética y, como consecuencia, el álgebra, que no es otra cosa que la descripción de modelos matemáticos para representar múltiples situaciones de la naturaleza y/o generaciones abstractas del matemático. Estos modelos son las distintas relaciones entre variables, que al asignarles los valores adecuados y haciendo los análisis pertinentes nos entregan potentes herramientas para resolver problemas tradicionales, como la trayectoria de un proyectil, que se puede describir a través de una ecuación de segundo grado, u otros, como el uso de matrices para organizar y manipular gran cantidad de información. Introducción

3

Le vamos a pedir que observe con mucha detención el esquema titulado Conjuntos Numéricos y analice con sus compañeros estudiantes o con sus profesores toda la información que pueda obtener de él. No sería extraño que la primera vez no logre recoger mucha información, pero con el tiempo, y conforme el avance en sus conocimientos, debería servirle de gran ayuda para tener una visión global de los ámbitos numéricos que el hombre ha ido defi niendo y entender por qué los ha ordenado de esta manera y no de otra. Lo invitamos a observar el esquema propuesto y a reflexionar en torno a la información que contiene.

A continuación le entregamos la misma información pero con otra presentación y lo invitamos a que usted ubique correctamente, en el conjunto correspondiente del “ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS”, los números que listamos más adelante. El profesor podrá inventar una infinidad de actividades para determinar si sus alumnos(as) se ubican bien en los distintos conjuntos numéricos. Por ejemplo: ¿Cuáles fueron los primeros números inventados?; ¿para qué servían?; ¿cómo se expresa la ausencia de valor?; ¿qué operaciones aritméticas están definidas en cada conjunto?; ¿por qué?; ¿qué conjuntos son subconjunto de otros?; ¿cuáles son disjuntos?; ¿qué necesidad del hombre inspiró la ampliación de los Naturales a los Enteros?; ¿y a los Racionales?; ¿qué ejemplo concreto puede dar de un número irracional?; ¿cómo lo puede ubicar en la recta numérica?; ¿qué diferencia hay entre una fracción y una razón?; ¿cómo se generaron los números Complejos?; ¿dónde y para qué se usan?; ¿cómo se grafican?; etc.

4

Introducción

Aquí hay una cantidad de números y usted deberá determinar a qué conjunto numérico pertenece y ubicarlo en el esquema siguiente. 1

8 ; –3; 4 3 32 1 ; 0,5; 12; – 8

a) 3; 2 ; 2,6;

–1; 16; 32; –

b) 5; 3

c)

6 ; –1,32; 7

8;

1 ; 3

6; 5–1;

d) –3,2; 3

27 ;

– f)

36 ;

50%; 22 ; 8

1 ; 0,5; 2 1 2

–(2)5; –1 ;

–5i;

2

3

11

144

3–2;

(( ) )

12 ; 2 – 5i; 4

2;

12 3 ; 25 ; 9

5

1

32; 6–1;

2

;

2 ; 0.02; 3% 100

12,3; 2–3;

e) 12;

15 ; 2i; 0; –3,5; 3

1 22 3 2 ; (4, –1); 3 ; 4 + 2i; – ;

18 ; 3 ; 0; 9 5

1; 9

9;

36; –

1 25 ; (1,3); ; 4 5 ; 12 ; 7 4 10

6 ; –15; 5 ; – 6

8,3; (–1)4;

5; 1 2 ;

0,16;

1 ; 4

;

–(3)12;

6; 3

3 1 ;

5 ; 5

12 ;

(147) ; (( 2 ) )

1 –2i 2 ;

12

100%

( 4)

–1

;

3 ; 6

–1

–1 2

2 4

Esquema de los Conjuntos numéricos

Q

R Z N

C

I

Introducción

5

CAPÍTULO

4

E

cuaciones e inecuaciones de segundo grado Ecuación cuadrática

4.1

La expresión ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales cualesquiera y a π 0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. La solución de esta ecuación puede obtenerse por factorización o aplicando la fórmula general. Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones.

4.1.1. Solución de la ecuación por factorización Aplicamos aquí la siguiente propiedad: a •b = 0 P a = 0 o b = 0 (si el producto de dos números reales es cero, entonces al menos uno de ellos es cero).

1. Resolvamos la ecuación: Factorizando obtenemos:

x2 – 3x

=

0

x2 – 3x = 0 x (x – 3) = 0

Ejercicios resueltos

y aplicando la propiedad indicada, nos queda: x=0 o x–3=0 de donde obtenemos las soluciones

x1 = 0 x2 = 3 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado

227

Ejercicios resueltos

2. Resolvamos 5x2 + 11x = 0 Factoricemos y apliquemos la propiedad: 5x2 + 11x = 0 fi x (5x + 11) = 0 fi x = 0 o 5x + 11 = 0 fi x1 = 0 ; x2 = – 11 5

3. Resolvamos x2 – 64 = 0 La factorización correspondiente es: x2 – 64 = 0 fi (x – 8) (x + 8) = 0 fi x – 8 = 0 o x + 8 = 0 fi x1 = 8 ; x2 = – 8 4. Resolvamos x2 – 5 = 0 Factorizando como suma por diferencia nos queda: x2 – 5 = 0 fi (x –

5) (x + 5 ) = 0

fi x –

5=0 o x+

fi x1 =

5 ; x2 = –

5. Resolvamos

x2

5 =0 5

– x – 30 = 0

Procediendo como antes: x2 – x – 30 = 0 fi (x – 6) (x + 5) = 0 fi x – 6 = 0 o x + 5 = 0 fi x1 = 6 ; x2 = – 5

Ejercicios Resuelva aplicando factorización: 1. x2 – 7x = 0

10. 5x2 + 24x = 0

19. x2 – 121 = 0

28. 9x2 – 16 = 0

2. x2 – 13x = 0

11. –9x2 + x = 0

20. x2 – 4 = 0

29. x2 – 15 = 0

3. x2 + 20x = 0

12. x2 + x = 0

21. x2 – 9 = 0

30. x2 – 3 = 0

4. x2 + 19x = 0

13. –x2 + x = 0

22. x2 – 100 = 0

31. x2 – 11 = 0

5. –x2 + 6x = 0

14. 11x2 – x = 0

23. x2 – 49 = 0

32. 6x2 – 24 = 0

6. –x2 – 9x = 0

15. x2 – 25 = 0

24. 2x2 – 50 = 0

33. 2x2 – 6 = 0

7. 7x2 – 5x = 0

16. x2 – 36 = 0

25. 3x2 – 12 = 0

34. 4x2 – 3 = 0

8. 13x2 + 2x = 0

17. x2 – 1 = 0

26. 5 – 5x2 = 0

35. 49x2 – 1 = 0

9. 20x2 – 4x = 0

18. x2 – 16 = 0

27. 4x2 – 1 = 0

36. x2 – 5x + 6 = 0

228

Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado

CAPÍTULO 4

37.

x2 – 6x + 5 = 0

49.

x2 + 10x + 21 = 0

61.

x2 – 6x + 9 = 0

38.

x2 – x – 12 = 0

50.

x2 + 14x + 45 = 0

62.

x2 – 8x + 16 = 0

39.

x2 + 7x – 18 = 0

51.

x2 + 9x – 36 = 0

63.

x2 + 18x + 81 = 0

40.

x2 – 11x + 30 = 0

52.

x2 – 5x – 36 = 0

64.

x2 – 10x + 25 = 0

41.

x2 – 9x – 22 = 0

53.

x2 + 15x – 16 = 0

65.

4x2 + 4x + 1 = 0

42.

x2 + 5x – 24 = 0

54.

x2 – 9x + 20 = 0

66.

9x2 – 12x + 4 = 0

43.

x2 + 3x – 28 = 0

55.

y2 – y – 2 = 0

67.

9x2 – 6x + 1 = 0

44.

x2 – 9x + 8 = 0

56.

y2 – 13y + 40 = 0

68.

4x2 + 20x + 25 = 0

45.

x2 + 15x + 36 = 0

57.

y2 + 8y + 12 = 0

69.

9x2 + 24x + 16 = 0

46.

x2 + 11x + 30 = 0

58.

y2 + 10y + 24 = 0

70.

16x2 – 24x + 9 = 0

47.

x2 – x – 20 = 0

59.

x2 – 12x + 36 = 0

48.

x2 – 13x + 42 = 0

60.

x2 + 2x + 1 = 0

Soluciones 1. x1 = 0 4. x1 = 0

x2 = 7 x2 = – 19

2. x1 = 0 x2 = 13 5. x1 = 0 x2 = 6

7. x1 = 0

8. x1 = 0

10. x1 = 0

x2 = 5 7 x2 = – 24

11. x1 = 0

x2 =

13. x1 = 0

x2 = 1

14. x1 = 0

16. x1 = 6

x2 = – 6

x2 = – 2

1 9

13

3. x1 = 0 6. x1 = 0

x2 = – 20 x2 = – 9

9. x1 = 0

x2 =

1 5

12. x1 = 0

x2 = – 1

x2 = 1

15. x1 = 5

x2 = – 5

17. x1 = 1

x2 = – 1

18. x1 = 4

x2 = – 4

19. x1 = 11 x2 = – 11

20. x 1 = 2

x2 = – 2

21. x1 = 3

x2 = – 3

22. x1 = 10 x2 = – 10

23. x 1 = 7

x2 = – 7

25. x1 = 2

26. x1 = 1

x2 = – 1

24. x1 = 5 x2 = – 5 1 1 x2 = – 27. x1 = 2 2 3 x2 = – 3 30. x1 =

5

x2 = – 2

4 4 x =– 28. x1 = 3 3 2

11

31. x1 = 34. x1 =

x2 = – 11

3 x2 = – 2

3 2

11

15

29. x1 =

x2 = –

32. x1 = 2

x2 = – 2

35. x1 = 1

x2 = –

38. x1 = 4

x2 = – 3

15

33. x1 = 1 7

3 x2 = –

36. x1 = 2

x2 = 3

39. x1 = 2

x2 = – 9

41. x1 = 11 x2 = – 2

42. x1 = 3

x2 = – 8

43. x1 = – 7 x2 = 4

44. x1 = 8

x2 = 1

45. x1 = –12 x2 = – 3

46. x1 = – 6 x2 = – 5

47. x1 = 5

x2 = – 4

48. x1 = 6

x2 = 7

49. x1 = – 3 x2 = – 7

50. x1 = – 9 x2 = – 5

51. x1 = 3

x2 = – 12

52. x1 = 9

x2 = – 4

53. x1 = 1

x2 = – 16

54. x1 = 4

x2 = 5

55. y1 = 2

y2 = – 1

56. y1 = 8

y2 = 5

57. y1 = – 6 y2 = – 2

37. x1 = 5

x2 = 1

40. x1 = 5

x2 = 6

7

3

Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado

229

Soluciones 58.

y1 = – 6 y2 = – 4

59. x1 = 6

x2 = 6

60. x1 = –1

x2 = –1

61.

x1 = 3

x2 = 3

62. x1 = 4

x2 = 4

63. x1 = –9

x2 = –9

64.

x1 = 5

x2 = 5

65. x1 = –

1 2

x2 = – 1

67.

x1 = 1

x2 = 1

68. x1 = –

5 2

x2 = – 5

70.

3 3 x1 = 4

3 3 x2 = 4

2

2

2 66. x1 = 3

2 3 69. x1 = – 4 x2 = – 4 3 3

x2 =

4.1.2. Solución de la ecuación cuadrática aplicando la fórmula general A partir de la ecuación general de segundo grado ax2 + bx + c = 0 podemos obtener las soluciones x1 y x2 aplicando la fórmula: x=

Ejercicios resueltos

b2 – 4ac 2a

–b±

1. Resolvamos la ecuación x2 + 3x – 10 = 0 aplicando la fórmula. Primero determinamos los coeficientes que son: a = 1 ; b = 3 y c = – 10 y luego reemplazamos estos valores en la fórmula. x = – 3± x=

9 + 40 2

– 3± 7 2

obteniendo x1 = 2 y x2 = – 5 2. Resolvamos la ecuación 4x2 + 4x + 1 = 0 Los coeficientes son a = 4, b = 4 y c = 1 Reemplazando en la fórmula obtenemos: x= x=

– 4±

16 – 16 8

– 4± 0 8

lo cual nos da las soluciones iguales a – x1 = –

230

1 2

Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado

y x2 = – 1 2

1 , es decir, 2

CAPÍTULO 4

3. Resolvamos la ecuación 2x2 + 3x – 1 = 0 Aplicando la fórmula para los valores a = 2 ; b = 3 y c = – 1 obtenemos:

– 3±

x=

– 3± 17 4

x= y obtenemos x1=

9+ 8 4

– 3+ 17 4

y x2 =

– 3– 17 4

Nota: Si la cantidad subradical no es un cuadrado exacto, la dejamos expresada tal cual aparece, así como en el ejemplo anterior. 4. Resolvamos la ecuación x2 + x + 2 = 0 Los coeficientes en este caso son a = 1 ; b = 1 y c = 2, aplicando la fórmula obtenemos: x= x=

– 1±

1– 8 2

– 1±

–7 2

y las soluciones son: x1 =

– 1+ – 7 2

y

x2 =

– 1– – 7 2

Nota: Si la cantidad subradical es un número negativo, entonces las soluciones son números complejos. El capítulo de números complejos está estudiado más adelante, pero aquí podemos definir:

– 1 = i unidad imaginaria

Ej. :

–2=i 2

– 25 =

– 1 25 = 5 i .......etc.

entonces en el ejemplo anterior, las soluciones pueden ser expresadas por: x1 =

– 1+ i 7 2

y x2 =

– 1– i 7 2

5. Resolvamos la ecuación x2 + 2x + 5 = 0 Apliquemos la fórmula directamente: x=

– 2±

– 2± – 16 4 – 20 – 2± 4i = = = – 1 ± 2i 2 2 2

y las soluciones son x1 = – 1 + 2i

y

x2 = – 1 – 2i

Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado

231

Ejercicios Aplique la fórmula para resolver las siguientes ecuaciones: 1. x2 + x = 0

20. x (x + 5) – 3 = 2x (x – 6)

2. 3x2 – 2 = 0

21. 3x (x + 2) = (x + 5) (x – 5)

3. x2 + 2x + 1 = 0

22. (x – 6) (2 – x) = (x + 3)2 – (x – 2)2

4. x2 – x – 30 = 0

23. 5x (x + 2) = 2x (x + 1)

5. 2x2 + 3x – 1 = 0

24. x (x – 6) + 2x (x – 1) – x (x – 3) = 0

6. 3x2 – x – 2 = 0

25. (1 + x)2 + (2 + x)2 = (3 – x)2

7. x2 + 2x + 3 = 0

26. (x – 8)2 + (x – 5)2 = (x – 9)2

8. x2 – 5x – 4 = 0

27. (x + 6) (x – 6) – (x – 5)2 = 0

9. 4x2 + 4x + 1 = 0

28. (3x – 1) (x + 2) – x (x – 4) = 0

10. 2x2 + x – 2 = 0

29. a (x – a) + b (x – b) = x (x – a) + x (x – b)

11. x2 + 6x + 5 = 0

30. (a + x)2 + (b + x)2 = a2 + b2

12. x2 – 6x + 5 = 0

31. x2 + ax + b = 0

13. 3x2 + x – 2 = 0

32. x2 – 3abx = – 3ab (x – 3ab)

14. 2x2 + x – 1 = 0

33.

1 1 = a–b – x–a x–b

16. 3x2 – x – 1 = 0

34.

1 1 =1 + x–2 x–3

17. 9x2 – 2x + 3 = 0

35. 1 + x – 1 – x = 3

15. 6x2 + x + 5 = 0

1+ x

1– x

18. (2x – 3) (x + 1) = (x – 3) (x + 2) 19. (x – 7)2 + 2x = (2x – 1) (x – 2)

36.

3 1 – =2 2x – 1 2x +1

Soluciones x2 = – 1

2. x1 = 3

4. x1 = 6

x2 = – 5

5. x1 =

7. x1 = – 1 + i 2 9. x1 = – 12. x1 = 5

232

6

1. x1 = 0

1 2

x2 = – x2 = 1

– 3+ 17 4

x2 = – 1 – i 2 1 2

10. x1 =

13. x1 = – 1

Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado

x2 =

– 6 3

x2 =

3. x1 = – 1

– 3 – 17 4

8. x1 = 5 + 41 2 – 1+ 17 4

x2 =

2 3

x2 =

x2 = – 1

6. x1 = 1

x2 = –2 3

x2 = 5 – 41 2

– 1– 17 11. x1 = – 5 4

14. x1 = – 1

x2 =

1 2

x2 = – 1

CAPÍTULO 4

–1– i 119 15. x1 = –1+ i 119 x2 = 12 12

17. x1 =

1 + i 26 9

x2 =

1 – i 26 9

–7– 237 x2 = 2 2 21. x1 = –3+ i 41 x2 = –3– i 41 2 2 –8 23. x1 = 0 x2 = 24. x1 = 0 3

61 10

29. x1 =

a+b+i a– b 2

x2 =

31. x1 =

– a + a 2 – 4b 2

x2 =

33. x1 = 35. x1 =

x2 = No hay

a+b+ –2+ 13 3

4.1.3

20. x1 =

x2 =

a –b 2+4 2

x2 =

28. x1 =

x2 =

x2 = –i 3

17 + 277 2

x2 =

–2– 13 3

x2 = –1 – 4i

x2 = 4 – 2 2

26. x1 = 4 + 2 2 – 9 + 97 4

x2 =

–9– 97 4

30. x1 = 0

a 2 – 4b 2 a+b–

17 – 277 2

5 2

a+b– i a–b 2 –a –

6

22. x1 = –1 + 4i

x2 = –6 – 2 10

27. x1 =

x2 = 1 – 13

6

18. x1 = i 3

19. x1 = –7+ 237

25. x1 = –6 – 2 10

16. x1 = 1+ 13

x2 = –(a + b)

32. x1 = 3ab a –b 2+4 2

x2 = –3ab

34. x1 = 7 + 5 2

36. x1 =

1+ 13 4

x2 =

x2 =

7– 5 2

1 – 13 4

Ecuaciones bicuadráticas

Estas ecuaciones tienen la forma ax4 + bx2 + c = 0 y podemos resolverlas haciendo el siguiente cambio de variables y = x2 Con este cambio, la ecuación original se transforma en una ecuación cuadrática en la variable y: ay2 + by + c = 0 y aplicando la fórmula general o factorizando podemos obtener los dos valores de y, que son ...