Lineare-Algebra - Zusammenfassung Lineare Algebra PDF

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Summary

Lineares Gleichungssystem LGS Ax b kurz mit A Gleichungen und n LGS ist genau dann wenn: rg(A) des LGS hat dim(ker A) n rg(A) frei kann Spuren von Katzen Humorallergiker Angaben ohne kxk steht R und LGS hat eine Lsg. wenn det A 0 homogene LGS: hat stets die triviale und Vielfache der von sind wieder...

Description

4

2.6 Lineares Gleichungssystem LGS

*

ei

Lineare Algebra

L¨ o sbarkeitskriterium: Ein LGS (A|b) ist genau dann l¨ osbar, wenn: rg(A) = rg(A|b) Die L¨ ahlbare osung des LGS (A|b) hat dim(ker A) = n − rg(A) frei w¨ Parameter.

* kann nicht üf Spur r Humor en von aller gi Kat ker zengeei entg hnet alten alle Angaben ohne Gewehr

1 Allgemeines |x + y| ≤ |x| + |y | |hx, yi| ≤ kxk · ky k

Dreiecksungleichung Cauchy-Schwarz-Ungleichung: K steht f¨ ur R und C

Das LGS hat eine Lsg. wenn det A 6= 0 → ∃A −1 Das homogene LGS: (A|0) hat stets die triviale L¨ osung 0 Summen und Vielfache der L¨osungen von (A|0) sind wieder L¨ osungen. 2.7 Determinante von A ∈ Kn×n : det(A) = |A|

2 Matrizen Die Matrix A = (aij ) ∈ K Spalten mit Index j .

m×n

hat m Zeilen mit Index i und n

2.1 Allgemeine Rechenregeln Merke: Zeile vor Spalte! (Multiplikation, Indexreihenfolge, etc.) 1) A + 0 = A 3) A + B = B + A 5) (A + B) + C = A + (B + C)

2) 1 · A = A 4) A · B 6= B · A (im Allg.) 6) λ(A + B) = λA + λB

Multiplikation von A ∈ Km×r und B ∈ Kr×n : AB ∈ Km×n 2.2 Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt a¨quiv. f¨ur Spalten)

i=1

• |A| =

j=1

• det

 λ1   •    0



A C

n P

.

.

(−1)

i+j

·aij ·|A ij |

Entwicklung n. j-ter Spalte

(−1)i+j · aij · |A ij |

.

• A = B·C

0 D

Entwicklung n. i-ter Zeile

  A B = det(A) · det(D ) = det 0 D    λ1 0  ∗        .  = λ1 · . . . · λn =   .    .     λ  ∗ λ 



n

n

⇒

|A| = |B| · |C|

• Hat A zwei gleiche Zeilen/Spalten ⇒ |A| = 0

• det(λA) = λn det(A )

• Multiplikation einer Zeile mit λ 6= 0

• Addition des λ-fachen der Zeile z i zur Zeile z j

• Ist A invertierbar, so gilt: det(A

−1

) = (det(A ))

A = (aij ) ∈ Km×n gilt: A ⊤ = (aji) ∈ Kn×m Regeln: (A + B)⊤ = A ⊤ + B⊤ ( A · B) ⊤ = B ⊤ · A ⊤ (λA)⊤ = λA ⊤ (A ⊤ )⊤ = A A ∈ Kn×n ist symmetrisch, falls A = A ⊤ (⇒ diagbar) A ∈ Kn×n ist schiefsymmetrisch, falls A = −A ⊤ A ∈ Kn×n ist orthogonal (Spalten-/Zeilenvektoren=ONB), falls: ⊤

−1

AA = En ⇔ A = A ⇔ ⊤ A ∈ Cn×n ist hermitesch, falls A = A 2.4 Inverse Matrix von A ∈ K

det A = ±1 (kmplx. konj. u. transp.)

n×n

• Vertauschen von Zeilen/Spalten ¨andert Vorzeichen von |A|

• Zeile/Spalte mit λ multiplizieren, |A| um Faktor λ gr¨ oßer

• Addition des λ-fachen der Zeile X zur Zeile Y ¨andert |A| nicht a12 a22



> 0 ∧ . . . ∧ det(A) > 0

Vereinfachung ur Spezialfall A ∈ K2×2 f¨  a b ⇒ det(A ) = |A| = ad − bc c d

(Wenn eine der Aussagen gilt, gelten alle anderen)

∨

rg(A ) = n

Berechnen von A −1 nach Gauß: E ZF −→ (En |A −1 ) ⇒   (A|En )  d −b b −1 1 = ad−bc −c a d m×n

(N0-Zeilen = Nicht-Null-Zeilen)

Bringe A auf ZSF Rang (Zeilrang) rg(A): Anzahl N0-Zeilen Zeilenraum ZA : Erzeugnis der Zeilen, Basis(ZA ) = { N0-Zeilen } Kern: ker(A) = {x ∈ Kn | Ax = 0} Dimensionsformel: rg(A) + dim(ker(A)) = n Bringe A auf Spaltenstufenform (transponieren, ZSF) Spaltenrang: Anzahl der N0-Spalten Spaltenraum SA : Erzeugnis der Spalten, Basis(SA ) = { N0-Spalten } Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten

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1) A ist invertierbar 3) Kern(A) = 0 5) det(A) 6= 0

2) rg(A) = n 4) dim(SA ) = dim(ZA ) = n 6) Zeilen/Spalten von A linear unabh¨ angig

• Spalten bilden ONB

Spatprodukt [a, b, c] := ha × b, ci = det(a, b, c) = b Volumen des Spates. [a, b, c] > 0 ⇔ a, b, c bilden Rechtssystem [a, b, c] = 0 ⇔ {a, b, c} linear abh¨ angig

4 Vektorr¨ aume (VR) Eine nichtleere Menge V mit zwei Verkn¨upfungen + und · heißt K Vektorraum uber ¨ dem K¨orper K. Bedingung (u, v, w ∈ V λ, µ ∈ R) λv ∈ V

2. u + (v + w) = (u + v) + w

3 Vektoren

3.1 Skalarprodukt hv, wi : V × V → R

7. (λ + µ)v = λv + µv 8. (λµ)v = λ(µv)

c2 = v2 − hv2 , b1 i · b1

1. Basis von U bestimmen 2. Normiere Basis {b1 , b2 , b3 , . . .} von U

3. vU = hv, b1 i b1 + hv, b2 i b2 + . . . 4. v ⊥ = v − vU U     5. Abstand von v zu U = vU ⊥ 

5 Norm

4.1 Untervektorraum (UVR) U ⊂ V (u, v ∈ U

λ ∈ R)

1. N (v) ≥ 0 und N (v) = 0 ⇔ v = 0 2. N (λv) = |λ| N (v)

(0 ∈ U )

3. N (v + w) ≤ N (v) + N (w)

3. λu ∈ U

Allgemeine l-Norm Nl eines Vektors v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn !1 n l X l |vi | Nl (v) =

4.2 Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!) Eine Teilmenge B ⊂ V heißt Basis von V , wenn gilt: • span(B) = V , B erzeugt V

• N1 (v) =

Pn

i=1

i=1

qP

|vi |

4.3 Dimension

• N2 (v) =

achtigkeit von B n = dim(V ) = |B| = M¨ Mehr als n Vektoren aus V sind stets linear abh¨ angig. F¨ur jeden UVR U ⊂ V gilt: dim(U ) ≤ dim(V )

• N∞ (v) = max{|vi |}

v = λ1 b1 + · · · + λn bn ⇒ Gauß



b1 b2 b3 | v



Linear Unabh¨angig: Vektoren heißen linear unabh¨ angig, wenn aus: λ1 v1 + · · · + λn vn = 0 folgt, dass λ1 = · · · = λn = 0

Lineare Algebra von Lukas Kompatscher ([email protected])

(Dreiecksungleichung)

5.1 Vektornorm

Jeder Vektor v ∈ Kn kann als Linearkombination einer Basis B = {b1 , . . . , bn } ⊂ Kn dargestellt werden

Skalarprodukt bzgl. sym., quadr. und positiv definiter Matrix A ∈ Kn×n hv, wiA = v ⊤ Aw

c

3. b3 = kc3 k mit c3 = v3 − hv3 , b1 i · b1 − hv3 , b2 i · b2 3 Orthogonale Projektion auf UVR Gegeben: Vektorraum V ∈ Rn , v ∈ V , Untervektorraum U ⊂ V

Eine Abbildung N : V → R eines reellen oder komplexen Vektorraums V heißt Norm auf V , falls ∀v, w ∈ V und ∀λ ∈ R gilt:

4.4 Linearkombination

Kanonisches Skalarprodukt hv, wi = v ⊤ w = v1 w1 + · · · + vn wn

(Vektor mit vielen 0en oder 1en)

3. L¨ osungsvektor ose das LGS A ⊤ Ax = A ⊤ v und erhalte den L¨ x = (λ1 , . . . , λr )⊤ 4. vU = λ1 b1 + · · · + λr br

6. λ(v + w) = λv + λw

1. Linear: hu, v + wi = hu, vi + hu, w i ∧ hu, λv i = λhu, vi hv, v i = 0 ⇔ v = 0

v

1. b1 = kv1 k 1 c 2. b2 = kc2 k mit 2

1. Basis {b1 , . . . , br } von U bestimmen   2. Setze A = b1 b2 . . . br ∈ Rn×r

4. v ′ ∈ V : v + v ′ = 0

3. Positiv definit: hv, v i ≥ 0

2. Symmetrisch: hv, wi = hw, vi

• Zeilen bilden ONB • kAvk = kv k

Orthonormalisierungsvefahren einer Basis {v1 , . . . , vn } nach GramSchmidt

Alternative Methode

3. 0 ∈ V : v + 0 = v

• B ist linear unabh¨ angig

Ein Vektor ist ein n-Tupel reeller oder komplexer Zahlen, also ein Element aus dem Kn .

• Orthogonalsystem, wenn ∀v, w ∈ B : v ⊥ w

• Orthogonalbasis, wenn B Orthogonalsystem und Basis von V

• Orthonormalsystem, wenn B Orthogonalssystem u. ∀v ∈ B : kvk = 1

• A −1 = A ⊤ • det A = ±1

a × b ⊥ a, b (falls a × b = 0 ⇔ a, b linear abh¨angig) a × b = −b × a ka × bk = kak · kbk · sin (∡(a, b)) = b Fl¨ache des Parallelogramms Graßmann-Identit¨at: a × (b × c) ≡ b · (a · c) − c · (a · b)

2. u + v ∈ U

B ⊂ V heißt

• Orthonormalbasis(ONB), wenn B Orthonormalsystem u. Basis von V ist

3.2 Kreuzprodukt (Vektorprodukt)   a2 b3 − a3 b2 a × b = a3 b1 − a1 b3  a, b ∈ R3 a1 b2 − a2 b1

1. U 6= ∅

4.5 Orthogonalit¨at

Matrix A heißt orthogonal, wenn A ⊤ A = En

9. 1v = v

¨ 2.8 Aquivalente Aussagen f¨ ur A ∈ Kn×n

(A ⊤ )−1 = (A −1 )⊤ A ∈ Kn×n ist invertierbar, falls: det(A ) 6= 0

hv,ai

v = va + v ⊥ mit va = ha,ai · a und va⊥ = v − va a   ha,bi ha,bi cos φ = kakkbk φ = arccos kakkbk

Winkel

5. v + w = w + v

A=

F¨ur die inverse Matrix A −1 von A gilt: A −1 A = En (A −1 )−1 = A (AB)−1 = B−1 A −1

2.5 Rang einer Matrix A ∈ K

Umformung Determinante

Positiv definite Matrix a11 det(a11 ) > 0 ∧ det a21

1 ´ Skalarprodukt Polynome hp(x), q(x)i = p(x)q(x) dx 0 q p 2 + . . . + a2 Norm von Vektoren kak = ha, ai = a12 + a2 n Orthogonalit¨ at ha, bi = 0 ⇔ a ⊥ b Orthogonale Zerlegung eine Vektors v angs l¨ a:

1. v + w ∈ V −1

• det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A ) = det(BA )

2.3 Transponieren

⊤

n P

• |A| =

• det(A) = det(A ⊤ )

A ∈ Km×n hat m Zeilen z i ∈ Kn • Vertauschen von Zeilen

AA −1 = En  a 2x2-Matrix: c

Das LGS Ax = b kurz (A|b) mit A ∈ Km×n , x ∈ Kn , b ∈ Km hat m Gleichungen und n Unbekannte.

n i=1

vi2

1-Norm (l1 -Norm)

euklidische Norm (l2 -Norm) Maximumsnorm (l∞ -Norm)

ange 1 bzgl. der Normen N1 , N2 und N∞ Vektoren aus Rn mit der L¨ Frobeniusnorm der Matrix V = Rm×n v u m X n uX m×n a2 N :R → R mit N (A) = t i=1 j=1

ij

Stand: 11. Juli 2016

1

5.2 Induzierte Matrixnorm auf Rn×n

6.3 Transformationsmatrix

8 Schurzerlegung

Eigenschaften:

Gegeben: Basen B = (v1 , . . . , vn ) und B ′ = (v1′ , . . . , v′n ) ∈ V Darstellung der Elemente aus B ′ in der Basis B : vj′ = a1j v1 + a2j v2 + · · · + anj vn mit aij als Koeffizienten des

Zu jeder quadratische Matrix A ∈ Rn×n mit einem in Linearfaktoren zerfallendem charakteristischem Polynom pA (λ) gibt es eine orthogonale Matrix Q ∈ Rn×n , Q−1 = Q⊤ , mit

• vertr¨ aglich mit Vektornorm: kAvkV = kA k kvkV • submultiplikativ: kABk ≤ kAk kBk

Vektors vj′ bzgl. der Basis B

• kEn k = 1

⇒ Transformationsmatix

ur jeden Eigenwert λ von A • |λ| ≤ kAk f¨

kvkV =1

Wichtige induzierte Matrixnormen auf A = (aij ) ∈ Rn×n

• T B ′ = B−1 B′ B

• Falls B Standardbasis ⇒ Matrix B = E und   B′ B −1 B′ = BT B′ • TB = TB ′ B

T E′ B

{|a1i | + · · · + |ani |}

• v ∈ V einen Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ R und

ist die betragsm¨aßig maximale Zeilensumme. 2

• Die Spektralnorm induziert durch die l -Norm √ ⊤ kA k2 = max{ λ|λ ist Eigenwert von A A } ist die Wurzel aus dem gr¨ oßten Eigenwert von A ⊤ A .

• λ ∈ R einen Eigenwert von A zum Eigenvektor v ∈ V Ist λ ein Eigenwert von A, so nennt man den Untervektorraum

• EigA (λ) = {v ∈ Rn |Av = λv} den Eigenraum von A zum Eigenwert λ und • dim(EigA (λ)) die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ

• geo(λ) = dim(EigA (λ)) Diagonalisieren von Matrizen A ist diag.bar falls eine invertierbar Matrix B existiert, sodass

6 Lineare Abbildungen Abbildung f : V → W ist linear, wenn

−1

D=B AB ⇔ A = BDB und D eine Diagonalmatrix ist.

1. f (0) = 0 2. f (a + b) = f (a) + f (b) 3. f (λa) = λf (a) ⇒ Abbildung als Matrix darstellbar Injektiv, wenn aus f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Surjektiv: ∀y ∈ W ∃x ∈ V : f (x) = y (Alle Werte aus W werden angenommen.) Bijektiv(Eineindeutig): f ist injektiv und surjektiv ⇒ f umkehrbar.

−1

• Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar wenn alg(λ) = geo(λ) f¨ ur jeden Eigenwert λ von A gilt. • Jede Matrix A ∈ Rn×n mit n verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar. • Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte und ist diagonalisierbar. • Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte: det(A) = λ1 . . . λn

6.1 Koordinatenvektor bez¨ uglich einer Basis B

7.1 Rezept: Diagonalisieren

B = (b1 , . . . , bn ) geordnete Basis des Vektorraums V , so kann jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination bzgl. B dargestellt werden: v = λ1 b1 + · · · + λn bn , wobei λ1 , . . . , λn ∈ R (⇒ Gauß) ⇒ vB = (λ1 , . . . , λn )⊤ ist der Koordinatenvektor bzgl. Basis B

Gegeben: A ∈ Rn×n 1. Bestimme das charakteristische Polynom von A pA (λ) = det(A − λEn ) 2. Charakteristische Polynom pA in Linearfaktoren zerlegen. ν

6.2 Darstellungsmatrix ...

f(en )



Allgemein f : V → W mit V, W Vektorr¨ aume B = (b1 , . . . , bn ) ist eine Basis von V ist eine Basis von W C = (c1 , . . . , cm )   | | | C ⇒ A = M (f )B f (b2 )C ··· f (bn )C  = f (b1 )C | | | ist die Darstellungsmatrix von f bzgl. B und C . ”In der j-ten Spalte der Abbildungsmatrix stehen die Koordinaten des Bildes f (bj ) bzgl. der Basis C = (c1 , . . . , cm )” Eigenschaften von f mit Hilfe von A • f injektiv, wenn ker(A) = {0}

• f surjektiv, wenn Bild(A) = Rm • f bijektiv, wenn A invertierbar

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.

.

Gegeben: A ∈ Rn×n Teil I

ν

pA (λ) = (λ1 − λ) 1 . . . (λr − λ) r Es gilt ν1 + · · · + νr = n λ1 , . . . , λr sind die Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit alg(λi ) = νi Ist pA nicht vollst¨ andig in Linearfaktoren zerlegbar ⇒ A nicht diagonalisierbar! 3. Bestimme zu jeden Eigenwert λi den Eigenraum Vi Vi = ker(A − λi En ) = span(Bi )

2. Bestimme einen Eigenvektor v mit Norm kvk = 1 zum Eigenwert λ1 von A 1 anze v zu einer ONB des Rn ⇒ orthogonale Matrix B1 = 3. Erg¨ v v2 ... vn

4. Berechne

⊤ B 1 A 1 B1 =

 λ1 0

∗ A2



(n−1)×(n−1)

mit A 2 ∈ R

(A − λi En )vi = 0

D=B

−1

AB ⇔ A = BDB

−1

. . . 0

. σm

σ

     S =    0   .  . . 0

... 

.

.

0

    σn   ∈ Rm×n 0   .  .  . 0

.

...

...

m>n

5. Falls r anze u1 , . . . , ur zu einer ONB, bzw. zu  < m erg¨ U = u1 ... um orthogonal.

6. A = U SV ⊤

10 Lineare Differentialgleichungen Gegeben: x ˙ = Ax mit x = x(t) ∈ Rn und A ∈ Rn×n A ist diagonal, diagonalisierbar oder ein Jordanblock. Allgemeine L¨osung

5. Setze Q1 = B1

tA

x(t) = e

Teil II (wiederhole (n − 1) mal)

x0 mit x0 = x(0)

10.1 Exponentialfunktion von Matrizen

1. A 2 ist gegeben 2. Bestimme einen Eigenvektor v zum Eigenwert λ2 von A 2 3. Erg¨ anze v zu einer ONB des Rn−1 ⇒ orthogonale Matrix B2 = v v2 ... vn−1

A

e

=

∞ X Ak

k=0

k!

⊤ B2 A 2 B2

 λ2 = 0

 1 5. Setze Q2 = Q1 0

∗ A3 0 B2



(n−2)(n−2)

mit A 3 ∈ R



Setze Q = Qn−1 . Es gilt Q−1 = Q⊤ und die lautet  λ1 ...  ⊤ . Q AQ = R =  .  . 0

Schurzerlegung von A  ∗ .  .  .  λn

Bei der Singul¨arwertzerlegung wird eine beliebige Matrix A ∈ Rm×n als Produkt dreier Matrizen U , S und V geschrieben A = U SV m×m

m×n

tA

e

mit U ∈ R ,S ∈R und V ∈ R . U und V sind orthogonal, S ist eine Diagonalmatrix.

+

A+B

A3 3!

+ ... A B

=e e

tD

= Ve

V

  λ t λ t −1 = V diag e 1 , . . . , e n V

−1

  a1 1 0 a2 1  A = 0 0 0 a    3  0 1 a1 0 + Aufteilen von A in A = D + N = 0 a2 0 0 ⇒e

n×n

2!

Diagonalisierbare Matrix A ∈ Rn×n mit den Eigenwerten λ1 , . . . , λn und den Eigenvektoren v1 , . . . , vn  mit V = v1 ... vn : A = V DV −1

At

⊤

A2

Diagonalmatrix A ∈ Rn×n   ea1 t ... 0      . .  tA a t a t . e =  . . .  = diag e 1 , . . . , e n .  . .  an t 0 ... e

Jordanblock A =

9 Singul¨ arwertzerlegung

=I+A+

AB = BA ⇒ e

4. Berechne

9.1 Rezept: Singul¨ arwertzerlegung

dim(Vi ) = geo(λi ) geometr. Vielfachheit des Eigenwerts λi . ur ein i, ist A nicht diagonalisierbar! Gilt geo(λi ) 6= alg(λi ) f¨ 4. B = (v1 . . . vn ) setzt sich aus den Eigenvektoren zusammen. D = diag(λ1 , . . . , λn ) ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte.

.

j = 1, . . . , min{m, n}  0 . m×n ∈R m λr+1 = · · · = λn = 0 mit r ≤ n

2. Bestimme eine ONB des Rn aus den Eigenvektoren vj und erhalte   V = v1 ... vn ∈ Rn×n

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Stand: 11. Juli 2016

2...