Algebra lineare e Geometria - Tangusso PDF

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Set Domande ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA L'INSEGNAMENTO DELLE MATERIE SCIENTIFICHE NEGLI ISTITUTI SECONDARI DI I E II GRADO: MATEMATICA E FISICA Docente: MASTER

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Set Domande: ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA L'INSEGNAMENTO DELLE MATERIE SCIENTIFICHE NEGLI ISTITUTI SECONDARI DI I E II GRADO: MATEMATICA E FISICA Docente: MASTER

Indice Indice Lezioni .......................................................................................................................... Lezione 004 .............................................................................................................................

p. 2 p. 3

Lezione 009 ............................................................................................................................. Lezione 013 .............................................................................................................................

p. 5 p. 7

Lezione 017 ............................................................................................................................. p. 9 Lezione 025 ............................................................................................................................. p. 11 Lezione 029 ............................................................................................................................. p. 13 Lezione 033 Lezione 038 Lezione 041 Lezione 045

............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................

p. 15 p. 17 p. 19 p. 21

Lezione 052 ............................................................................................................................. p. 23 Lezione 059 ............................................................................................................................. p. 25 Lezione 063 ............................................................................................................................. p. 27 Lezione 066 ............................................................................................................................. p. 29 Lezione 072 ............................................................................................................................. p. 31

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Lezione 004 01. DOMANDA 1 Il simbolo A? B indica che

B è un sottoinsieme di A A e B sono due insiemi congruenti A è un elemento di B 02. DOMANDA 7 L'espressione D 10,3 si sviluppa come somma di tre fattori decrescenti partendo dal 10

prodotto di 3 fattori crescenti partendo dal 10 prodotto di 10 fattori decrescenti partendo dal 10 03. DOMANDA 9 La classe di equivalenza di un sistema lineare S è: nessuna delle precedenti l'insieme di alcuni sistemi lineari equivalenti ad S

Un sistema lineae noni equivalenti ad S 04. DOMANDA 8 Due sistemi lineari di m equazioni in n incognite si dicono equivalenti in quale caso? se non hanno soluzioni se non hanno le stesse soluzioni

se le soluzioni sono il reciproco dell'altro 05. DOMANDA 2 Quale tra i seguenti raggruppamenti di oggetti?

I migliori vini d'Italia I professori più bravi della tua scuola Le città più importanti d'Italia 06. DOMANDA 6 Nelle combinazioni semplici , se k=n i gruppi che si potranno formare saranno uguali a : k n 0

07. DOMANDA 4 Sia A ={1, 2, 3, 4}, definire su A un esempio di relazione di equivalenza, e calcolare le sue classi di equivalenza R = { (1, 2), (3, 4), (1, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{2},{2} R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3}

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, le cui classi di equivalenza sono i singoletti{1},{1},{3},{3}

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08. DOMANDA 3 Il simbolo a ? A indica che a è un sottoinsieme di A

è una scrittura errata a è un insieme minore di A 09. DOMANDA 5 Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza senso) della parola COMPUTER? P6=6!=240

D?8,8=8elevato8 P4=4!=24

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Lezione 009 01. DOMANDA 5 Moltiplicando una matrice n per m per la sua trasposta si ottiene: una matrice quadrata di termini non negativi. una matrice m x n.

una matrice quadrata di ordine m. 02. DOMANDA 8 Definizione di matrice quadrata triangolare inferiore: se Qualunque i = k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi della diagonale principale sono nulli.

se Qualunque i > k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli se Qualunque i = k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono non nulli. 03. DOMANDA 6 Una matrice quadrata A di ordine n è detta nilpotente di ordine k se

la potenza A elevato a k è una matrice identità (I). la potenza A elevato a k è una matrice non nulla. la potenza A elevato a k è una matrice quadrata. 04. DOMANDA 9 Quali delle seguenti operazioni fanno parte del Teorema di Gauss:

moltiplicazione di ambo i membri di un'equazione per una costante nulla. un'equazione è sostituita dalla differenza tra dei termini noto. un'equazione è sostituita dalla divisione di se stessa con un multiplo di un'altra. 05. DOMANDA 4 L'inversa di una matrice diagonale, quando esiste è una matrice

Triangolarer superiore. Diagonale inferiore. Triangolare. 06. DOMANDA 1 Siano A(2, 3), B(3, 4) C(4, 1), esiste la matrice D = A B C? se si di che tipo è? Si, di tipo(4,1)

No Si, di tipo(1,2) 07. DOMANDA 3 Due matrici A e B sono uguali se e solo se: non sono dello stesso tipo e se a ik= b ik qualunque i, k.

sono dello stesso tipo e se a ik diverso da b ik qualunque i, k. non sono dello stesso tipo e se a ik diverso da b ik qualunque i, k.

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08. DOMANDA 7 Una matrice quadrata A di ordine n è detta idempotente di ordine k se la potenza A elevato a k è uguale alla matrice identità(I).

la potenza A elevato a k è uguale ad una matrice quadrata. la potenza A elevato a k è uguale alla matrice nulla(O). 09. DOMANDA 2 Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di che ordine?

Si di ordine 1 Si di ordine 3 No

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Lezione 013 01. DOMANDA 1 Dati i seguenti 4 vettori di R3: ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ u = [3, 4, 2] e ~ v = [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra ~ u e ~ v in modo che i rimanenti 3 formino una base. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore)

~ v = 1 ~ e1 + 4 ~ e2 . . . ~ v = 4 ~ e1 + 1 ~ e2 . . . ~ v = 6 ~ e2 + 5 ~ e1 . . . 02. DOMANDA 2 Dati ~ v = [1 0 -1] ~ w = [1 0 2] ~ u =[ 0 2 1] ~ z =[ 0 0 3] dire se ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti o indipendenti. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~ u, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti ~ v, ~ w e ~ z sono linearmente indipendenti ~ v, ~ u e ~ z sono linearmente dipendenti

03. DOMANDA 3 In R3 sono dati i seguenti insiemi di vettori: i) S1 = [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0];ii) S2 = [2, 1, 0], [0, 1, 0],[1, 0, 1];iii) S3 = [1, 1, 2],[-1, 0,-1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]. Stabilire, per ciascuno di essi, se costituiscono un sistema di generatori e, in particolare, se sono delle basi per R3. (Gli insiemi come S1 è omessa la parentesi graffa di apertura e chiusura per problemi di quiz, ovviamente e come se ci fosse.)

S2 ed S3 sono delle basi, S1 è un sistema di generatori. S1 ed S3 sono delle basi, S2 è un sistema di generatori. S1 è una base, S2 è un sistema di generatori. 04. DOMANDA 5 Trovare le componenti del vettore ~ v = 2 ~ e1 +~ e2 + 7 ~ e3 rispetto alla base B1 = ~ e1 ,~ e1 + ~ e2 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) [-1, 5, 3] [-2, 4, 7]

[5, -1, 7] 05. DOMANDA 6 Per quali valori del parametro t l'insieme B = [2, t], [t, 2] è una base di R 2? t=2. t diversa da zero.

t=-2 06. DOMANDA 7 Trovare una base ~ e1 , ~ e2 di R2 tale che [1, 0]= ~ e1 + ~ e2 [ 0, 1] = ~ e1 ~ e2 . (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore) ~e1 =[1/4 , 1/4], ~e2 =[1/4 , -1/4].

e1 =[1/3 , 1/3], ~e2 =[1/3 , -1/3]. ~e1 =[1/5 , 1/5], ~e2 =[1/5 , -1/5]. 07. DOMANDA 8 Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W1 generato da ~ e1 + 2 ~ e3 , ~ e3 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore)

W1= quindi dimW1= 2. W1= quindi dimW1= 1. W1= quindi dimW1= 4.

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08. DOMANDA 9 Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W2 generato da ~ e1 ,~ e1 -~ e2 ,~ e1 +~ e3

W2= W2= quindi dimW2= 1. W2= quindi dimW2= 2. 09. DOMANDA 4 Delle seguenti terne di vettori di R3, dire quali sono linearmente dipendenti e quali linearmente indipendenti. i) ~ v1 = [2, 1, 0], ~ v2 = [0,-1, 1] e ~ v3 = [1, 1, 0]; ii) ~ v 1 = [1, 1, 1], ~ v 2 =[-2,-2,-2] e ~ v 3 = [0, 1, 1]; iii) ~ v 1 = [0, 1, 0], ~ v 2 = [1,-1, 2] e ~ v 3 = [2, 1, 3] nessuno delle tre. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna iii. Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna i.

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Lezione 017 01. DOMANDA 6 Se in una matrice quadrata agli elementi di una colonna si sommano i corrispondenti elementi di un'altra colonna moltiplicati per uno stesso numero, il determinante raddoppia

cambia segno dimezza 02. DOMANDA 9 Una matrice A è invertibile se e solo se A=I A=0

det(A) uguale zero 03. DOMANDA 8 Se A è invertibile, allora AB = AC implica B=A A=C

B=I 04. DOMANDA 7 Se A è invertibile, allora BA = CA implica A=C A=I

B=A 05. DOMANDA 5 Se in una matrice quadrata si scambiano tra loro due righe, il determinante della matrice: rimane inalterato raddoppia si dimezza

06. DOMANDA 4 Se A è una matrice quadrata con det (A) diverso da 0 si ha:

det (A elevato a -1) = det(A) det (A elevato a -1) = 0 det (A elevato a -1) = (det(A)) elevato al quadrato 07. DOMANDA 3 Il Det(nA)= 2n det(A) Non si può dire nulla (n*n) det(A)

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08. DOMANDA 2 Sia A = A elevato a -1 Che valori può assumere il determinante di A?

det (A) = +3 det(A) = 0 det (A) = +-2 09. DOMANDA 1 È sempre vero che det(AB) = det(BA)?

Sì se A e B sono quadrate ma non dello stesso ordine NO se A e B sono quadrate dello stesso ordine Sì se A e B non sono quadrate dello stesso ordine

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Lezione 025 01. DOMANDA 9 Un sistema omogeneo:

nessuna soluzioni nessuna delle precedenti infinite soluzioni 02. DOMANDA 8 Il Teorema Rouché-Capelli afferma: sia Ax=b un sistema lineare di m equazioni in n incognite; esso ammette soluzioni se e solo se r(A) = r(A|b)=0

r(A) > r(A|b) r(A) 0 si può ridurre, mediante una trasformazione lineare invertibile a Nessuna delle precedenti

autovettori in forma complessa autovalori in forma canonica

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Lezione 038 01. DOMANDA 9 Due rette sono parallele se e solo se hanno diverso coefficiente angolare coefficiente angolare nullo nessuna delle precedenti

02. DOMANDA 8 Il fascio di rette di centro P (x0; y0) ha equazione y = 2x+1

nessuna delle precedenti y - y0 = x - x0 03. DOMANDA 7 Quale dei seguenti punti soddisfa la relazione 2x+3y=5 nessuna delle precenti

(0,0) (0,1) 04. DOMANDA 6 In un piano cartesiano, un punto corrisponde a la somma di due numeri reali nessuna delle precedenti

un numero 05. DOMANDA 5 La distanza di un punto dall'asse y è: Non vale nessuna delle proprietà precedenti zero

l'ordinata del punto 06. DOMANDA 4 Le rette di equazione x = 3 e y = -2 sono fra loro parallele nessuna delle precedenti diagonali

07. DOMANDA 2 Che cos'è un fasco di rette? L'insieme di tutte le rette del piano tangenti ad un punto P nessuna delle precedenti

La retta del piano che passa per due punti

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08. DOMANDA 1 Cosa rappresenta il oefficiente angolare? rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse y rappresenta la secante goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x Nessuna delle precedenti

09. DOMANDA 3 Se k = 0, la retta di equazione kx+y+1=0 è: parallela all'asse y appartenente ad un fascio di rette Nessuno dei casi precedenti

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Lezione 041 01. DOMANDA 6 Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono immaginarie la retta è esterna

è secante è tangente 02. DOMANDA 9 In una circonferenza, se si uniscono gli estremi di una corda con il centro si ottiene generalmente un triangolo nessuna delle precedenti

equilatero rettangolo 03. DOMANDA 8 Quale delle seguenti rette incontra la circonferenza in un solo punto?

secante esterna nessuna delle precedenti 04. DOMANDA 7 Tutte le circonferenze di un fascio concentriche, sono tangenti alla retta impropria nei punti esterni

nessuna delle precedenti punti base 05. DOMANDA 5 Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono reali e coincidenti la retta è secante

nessuna delle precedenti. è esterna 06. DOMANDA 4 Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se i due punti sono reali e distinti la retta nessuna delle precedenti

è tangente è esterna 07. DOMANDA 3 I punti ciclici del piano soddisfano l'equazione di una retta tangente alla circonferenza nessuno dei casi precedenti retta secante alla circonferenza

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08. DOMANDA 2 Per descrivere un fascio di circonferenze è necessario avere nessuna delle precedenti avere un punto (base) avere tre punti (base)

09. DOMANDA 1 Dato P un punto e una circonferenza. Se P è esterno alla circonferenza da P esce un solo punto tangente alla circonferenza escono tre punti tangente alla circonferenza nessuna delle precedenti

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Lezione 045 01. DOMANDA 6 Data l'ellisse di equazione (X^2/a^2 + 4y^2/a^2 = 1) uquale risposta è corretta? Se a = 1 , la curva passa per (1; ?1/2)

nessuna delle precedenti Un vertice ha coordinate (1a/2;0) 02. DOMANDA 9 La parabola y=ax^2 - 2x + 1 ha il vertice sulla retta y=x se:

a=1 a=5 nessuna delle precedenti 03. DOMANDA 8 Per quali valori del parametro k appartenente a R l'equazione x^2 + (k-2)y^2 = 2 rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse? K>2

nessuna delle precedenti k>3 04. DOMANDA 7 Considera l'ellisse di equazione 2x^2 + y^2 - 8x + 6y + 13=0 Quale fra le seguenti proposizioni è vera?

nessuna delle precenti L'eccentricità è 1/2 Le coordinate del centro sono (4; -3) 05. DOMANDA 5 Dati due punti F1 e F2 del piano, si chiama ellisse di fuochi F1 e F2 l'insieme dei punti P del piano tali che nessuna delle precedenti sia costante la differenza delle distanze di P da F1 e F2

sia costante il prodotto delle distanze di P da F1 e F2 06. DOMANDA 1 L'eccentricità di un ellisse è: un numero uguale a 1 Nessuna delle precedenti un numero maggiore di 1

07. DOMANDA 3 L'eccentricità di una parabola è: Nessuna delle precedenti

un numero maggiore di 1 un numero minore di 1

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08. DOMANDA 2 L'eccentricità di un'iperbole è:

un numero minore di 1 un numero uguale a 1 Nessuna delle precedenti 09. DOMANDA 4 Una parabola e una circonferenza possono avere in comune al massimo: nessuna delle precedenti Due punti Un arco

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