Lineare Algebra Hauptprüfung PDF

Preview

Summary

Hauptprüfung in Lineare Algebra aus dem 1.Semester WS 2020/21...

Description

Prof. Dr. Werner Bley Martin Hofer, Pascal Stucky

Wintersemester 2020/21 13. Februar 2021

Lineare Algebra I Hauptprüfung

Bitte beachten Sie: • Es handelt sich bei dieser Prüfung um eine Online-Hausarbeit, das heißt, Sie dürfen insbesondere das Material der Vorlesung Lineare Algebra I und Analysis I des aktuellen Semesters verwenden. • Bitten beachten Sie, dass Sie während der Prüfung mit niemandem (außer den Assistenten bei Fragen) über den Inhalt sowie die Lösung der Aufgaben der Prüfung kommunizieren dürfen. Dies haben Sie auch auf der Selbstständigkeitserklärung versichert und sind dort über die Konsequenzen bei einem Verstoß belehrt worden. • Die Prüfung besteht aus sieben Aufgaben. • Schreiben Sie lesbar sowie weder in den Farben rot oder grün und achten Sie darauf, dass Ihre Abgabe nach dem Scannen/Upload noch lesbar ist. • Schreiben Sie auf jedes Blatt, das zur Abgabe gedacht ist, oben Ihren Nach- und Vornamen sowie die Aufgabennummer und unterschreiben Sie es unten, um zu bestätigen, dass Sie der Verfasser dieses Blattes sind. Die Formatierung der Online-Prüfung ist so, dass Sie sich diese ausdrucken bzw. downloaden und direkt darunter handschriftlich mit Ihrer Lösung beginnen könnten. Dies ist aber nicht notwendig: Sie können auch einfach leere Blätter Papier oder leere Seiten auf einem Tablet benutzen. • Geben Sie zu jeder Aufgabe nur eine Lösung ab; streichen Sie deutlich durch, was nicht gewertet werden soll. • Sie haben 165 Minuten Zeit, die Prüfung zu bearbeiten und danach noch 15 Minuten, um die Prüfung in Moodle hochzuladen. • Bitte begründen Sie alle Antworten sorgfältig und umfassend. Insbesondere sollten die Lösungen im Allgemeinen umfangreicher sein als bei den Beweisskizzen der Vorlesung oder bei den Lösungsvorschlägen des Tutoriums.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. (3+3 Punkte) Betrachten Sie die Matrix 

 1 2 1 −3 −2 −3 0 7   ∈ M4 (Z). Aα =   0 3 7 0 −1 −3 −7 α a) Für welche α ∈ Z ist Aα invertierbar über Z? b) Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen des homogenen Gleichungssystems Aαx = 0 in Abhängigkeit von α. Hinweis: Vergessen Sie auch bei dieser Aufgabe nicht alle Berechnungen und Ergebnisse vollständig und nachvollziehbar zu begründen.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Es sei L ein Körper und A ∈ Lm,n eine Matrix mit der Eigenschaft, dass die Abbildung Ln → Lm ,

x 7→ Ax

injektiv ist. Zeigen Sie, dass dann die Abbildung Lm → Ln , surjektiv ist.

y 7→ At y

Aufgabe 3. (3+3 Punkte) Es sei L ein Körper und Sp : M2 (L) −→ L die Spurabbildung. a) Zeigen Sie, dass X := {C ∈ M2 (L) | Sp(C) = 0} ein Untervektorraum von M2 (L) ist. b) Bestimmen Sie eine Basis von X (mit Beweis).

Aufgabe 4. (3+3+1 Punkte) Sei F5 der Körper mit 5 Elementen und   4 3 2 C = 2 3 3  ∈ M3 (F5 ). 4 4 2 a) Berechnen Sie die Eigenwerte von C . b) Berechnen Sie zu jedem Eigenraum von C eine Basis. c) Geben Sie eine invertierbare Matrix S ∈ M3 (F5 ) an, so dass S −1 CS eine Diagonalmatrix ist. Hinweis: Vergessen Sie auch bei dieser Aufgabe nicht alle Berechnungen und Ergebnisse vollständig und nachvollziehbar zu begründen.

Aufgabe 5. (2+2 Punkte) Sei F2 der Körper mit 2 Elementen. a) Berechnen Sie das Inverse der Matrix   1 0 1 B =  0 1 0  ∈ Gl3 (F2 ). 1 1 0 b) Sei W = {p ∈ F2 [X] | deg(p) ≤ 2}. Sei g : W −→ W die lineare Abbildung, die bezüglich der Basis w1 = 1, w2 = X, w3 = X 2 durch die Matrix B aus Teilaufgabe a) gegeben ist. Bestimmen Sie explizit g(1 + X + X 2 ).

Aufgabe 6. (2+2+2 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: a) Sei A ∈ Mn (K) sodass Aℓ = 0 für ein ℓ ∈ N. Dann ist 0 der einzige Eigenwert von A. b) Es gibt ein lineares Gleichungssystem über dem Körper F3 mit genau 27 Lösungen. c) Sei L ein Körper. Ist V ein L-Vektorraum, f, g ∈ HomL (V, V ) und v1 , . . . , vn ∈ V eine Basis aus Eigenvektoren sowohl von f als auch von g, so ist f ◦ g = g ◦ f .

Aufgabe 7. (2+2 Punkte) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n < ∞. Ein Endomorphismus f : V −→ V heißt trigonalisierbar, falls es eine Basis v1 , . . . , vn von V gibt, sodass die zugehörige Koordinatenmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist. a) Zeigen Sie: Falls f trigonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom χf ∈ K[X] vollständig in Linearfaktoren. b) Sei nun dimK (V ) = 2. Zeigen Sie dann auch die Umkehrung: Wenn das charakteristische Polynom χf ∈ K[X] vollständig in Linearfaktoren zerfällt, so ist f trigonalisierbar....