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Fundamentos Matemáticos: Módulo de Álgebra Lineal Parte I Universidad de La Laguna José Carmelo González Dávila

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Índice general 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Álgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Definición de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Traspuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Matrices simétricas y antisimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Determinantes y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Desarrollo del determinante mediante una fila (columna). Uso de las operaciones elementales en el cálculo de un determinante . . . . . . . . . . . 1.2.2. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Rango de una matriz. Cálculo del rango usando operaciones elementales . 1.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Teorema de Rouché-Fröbenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Método de eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Álgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3 3 3 5 6 6 9 9 12 13 16 16 17 18 20 20 21 23

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ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1 Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1.1.

Álgebra Matricial

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el matemático inglés J.J. Sylvester (1814-1897). El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático y astrónomo irlandés W.R. Hamilton (1805-1865), y al inglés A. Cayley (1821-1895), quien utilizó en 1858 la notación matricial como una forma abreviada de representar un sistema de ecuaciones lineales. Las matrices aparecen en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Además las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física... y actualmente su utilización constituye una parte esencial de los lenguajes de programación (arrays), ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos...

1.1.1.

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m × n a todo conjunto de m · n elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (llamadas filas) y en n líneas verticales (llamadas columnas ) de la forma:   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n   A=  ··· ··· ··· ··· . am1 am2 · · · amn

Abreviadamente puede escribirse como A = (aij ), donde el subíndice i varía entre los valores 1 y m y el subíndice j varía entre los valores 1 y n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila i y el segundo la columna j .

Ejemplo 1.1.1 La matriz A=



4 −1 3 0 9 −2 3



4

CAPÍTULO 1. MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

es de orden 2 × 3 donde a11 = 4, a12 = −1, a13 = 3, a21 = 0, a22 = 9 y a23 = −2. Obsérvese que denotamos las matrices con letras mayúsculas, A, B, C, . . . , y que en el ejemplo anterior los elementos de la matriz son números enteros. En estas notas trabajaremos con matrices cuyos elementos serán números reales. Dos matrices, A = (aij ) y B = (bij ), son iguales cuando tienen el mismo orden y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Es decir, aij = bij , para todo valor de i y de j. Según esta definición, para que las matrices     4 a 4 −1 A= y B= 9 b 9 −7 sean iguales debe ocurrir que a = −1 y b = −7. Ejercicio: Determina si los siguientes pares de matrices son iguales: √     24 4 52 − 13 √ 14 12 + 164 6 √ (i) ; y 9 −7 16 9 − 49 22     14−3 5 + 21 −3 −3 2 y . (ii) 21 3,5 1 1 6

Algunos tipos de matrices Podemos clasificar las matrices según distintos criterios, como pueden ser su forma o las propiedades de sus elementos. Atendiendo a la forma, se tiene: Una matriz fila es aquella que sólo tiene una fila: A = (a11 a12 · · · a1n ) . Análogamente una matriz columna es aquella que sólo tiene una columna:   a11  a21    ·   A= · .   ·  am1 Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas. En este caso diremos que la matriz es de orden n, donde n es el número de filas (y columnas). En el caso de que una matriz tenga distinto número de filas que de columnas la matriz se denomina rectangular. Si A = (aij ) es una matriz de orden m × n, llamamos

1.1. ÁLGEBRA MATRICIAL

5

• diagonal principal a la línea formada los elementos aii : 

a11  a21 A=  ··· an1

a12 a22 ··· an2

 · · · a1n · · · a2n   ··· ···  · · · amn

Atendiendo a sus elementos, se tiene: Matriz diagonal es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Es importante destacar que en la definición de matriz diagonal los elementos de la diagonal principal pueden tomar el valor que se desee, nulo o no, así por ejemplo   −1 0 0  0 0 0 0 0 8 es una matriz diagonal. A la matriz diagonal con todos sus elementos de la diagonal iguales a 1 se denomina matriz identidad y la denotamos por I . Matriz triangular superior es una matriz en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. Es decir, si A = (aij ) es cuadrada de orden n, A será triangular superior si aij = 0, para todo i > j, como por ejemplo   −1 10 2 0  0 5 3 2     0 0 8 6 . 0 0 0 5 Matriz triangular inferior es una matriz en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos. Es decir, si A = (aij ) es cuadrada de orden n, A será triangular inferior si aij = 0, para todo i < j, como por ejemplo   −1 0 0 0  2 5 0 0     1 0 8 0 . 9 3 4 7

1.1.2.

Traspuesta de una matriz

Dada una matriz A = (aij ) de orden m × n, llamamos traspuesta de A, y se denota por At , a la matriz de orden n × m que se obtiene cambiando filas por columnas en A, es decir, At = (bij ) donde bij = aji . Así, por ejemplo,     1 12 1 4 2 si A = entonces At =  4 5  . 12 5 0 2 0

6

CAPÍTULO 1. MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Obsérvese que dada cualquier matriz A se verifica que (At )t = A.

1.1.3.

Matrices simétricas y antisimétricas

Llamamos matriz simétrica a toda matriz cuadrada A = (aij ) tal que aij = aji , es decir, si A = At . Ejemplos de matrices simétricas son 

−1  0   0 0

0 5 4 3

0 4 8 9

 0 3   9  7

y



5 3 3 5



.

Llamamos matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada A = (aij ) tal que aij = −aji , es decir, si A = −At . Como consecuencia de ello, los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son nulos. Ejemplos de matrices antisimétricas son 

 0 3 10  −3 0 4  −10 −4 0

1.1.4.

y



0 −13 13 0



.

Operaciones con matrices

Suma de matrices Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ), del mismo orden m × n, se define la suma de A y B, y se denota A + B, como la matriz (aij + bij ), es decir:   a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n  a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n  . A+B =    ··· ··· ··· ··· am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn Si A =



1 4 12 −3 7 −1



yB=



7 −3 32 16 2 8



, entonces A + B =

La suma de matrices posee las siguientes propiedades: (i) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C. (ii) Conmutativa: A + B = B + A.



8 1 2 13 9 7

 .

1.1. ÁLGEBRA MATRICIAL

7

(iii) Existencia de elemento neutro o cero: para toda matriz A, se tiene A + O = O + A = A, donde O es la matriz en la que todos los elementos son 0. Esto es,   0 0 ··· 0  0 0 ··· 0   O=  ··· ··· ··· ··· . 0 0 ··· 0 O se denomina matriz cero de orden m × n. (iv) Existencia de elemento simétrico u opuesto: para toda matriz A = (aij ), se define la matriz opuesta −A = (−aij ) que satisface A + (−A) = −A + A = O. En todas las identidades anteriores, A, B, C son matrices cualesquiera del mismo orden y O es la matriz cero de dicho orden. En relación con la noción de matriz traspuesta, se satisface (A + B )t = At + B t .

Producto de una matriz por un escalar El producto de una matriz A = (aij ) por un número real o escalar k, es la matriz (kaij ), que denotamos kA. Es decir, es la matriz del mismo orden que A cuyos elementos se obtienen multiplicando los elementos de A por el número k:   ka11 ka12 · · · ka1n  ka21 ka22 · · · ka2n  . kA =   ··· ··· ··· ···  kam1 kam2 · · · kamn     −3 42 −1 14 Si A =  −3 7 , entonces 3 · A =  −9 21 . 0 −3 0 −1 El producto de una matriz por un escalar posee las siguientes propiedades: (i)∗ k(A + B) = kA + kB ; (ii)∗ (k + h)A = kA + hA; (iii)∗ k(hA) = (kh)A; (iv)∗ 1 · A = A; donde A y B son matrices cualesquiera del mismo orden y h, k son números reales. En relación con la noción de matriz traspuesta, se satisface (k · A)t = k · At .

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CAPÍTULO 1. MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Al multiplicar el número −1 por una matriz A = (aij ), se obtiene la matriz opuesta −A de A. Esto es, (−1).A = −A.     1 −11 −1 11 17 , su matriz opuesta es −A =  30 −17 . Si A =  −30 0 21 0 −21 Obsérvese que la suma de toda matriz con su opuesta es la matriz nula, es decir A + (−A) = O. Dadas dos matrices A, B del mismo orden, llamamos diferencia de A y B, que escribimos A − B, a la suma de A con la matriz opuesta de B. Es decir A − B = A + (−B).       1 1 4 −6 7 −1 7 −3 32 2 Si A = . , entonces A − B = yB= −19 5 −9 16 2 8 −3 7 −1

Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. Dicho producto se realiza en el modo siguiente: dada una matriz A = (aij ) de orden m × n y una matriz B = (bij ) de orden n × p, la matriz A · B = (cij ) es una nueva matriz de orden m × p, donde el elemento cij es el resultado de la suma de los productos obtenidos multiplicando sucesivamente el k-ésimo elemento de la fila i de A por el k-ésimo elemento de la columna j de B. Es decir, cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj =

n X

aik bkj ,

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p.

k=1

     −1 2 −15 0 3 −3 4 1 7yB= 2 11 . En efecto, , entonces A.B =  −54 Si A =  −3 −9 2 2 0 −1 9 −2 −2 por ejemplo, c21 = (−3) · (−3) + 7 · (−9) = −54. El producto de matrices posee las siguientes propiedades: 

(i)♭ Si A, B, C son matrices tales que A · B y B · C están definidas, entonces A · (B · C) y (A · B) · C también están definidas y A · (B · C) = (A · B) · C . (ii)♭ Si A, B, C son matrices tales que A.B y B + C están definidas, entonces A · (B + C) y A · B + A · C también están definidas y A · (B + C) = A · B + A · C . (iii)♭ Si A, B, C son matrices tales que A + B y A · C están definidas, entonces (A + B) · C y A · C + B · C también están definidas y (A + B) · C = A · C + B · C . (iv)♭ Si A, B son matrices tales que A · B está definida, entonces B t · At también está definida y (A · B )t = B t · At .

1.2. DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES

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(v)♭ Si A es una matriz cuadrada de orden n e In es la matriz identidad de orden n, definida por la matriz cuadrada   1 0 ··· 0  0 1 ··· 0   In =   ··· ··· ··· ··· , 0 0 ··· 1 entonces A · In = In · A = A.

Nótese que el producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa. Por ejemplo, se tiene             5 1 9 9 14 15 5 1 1 2 1 2 . = 6 = = . . 9 5 2 4 55 29 38 24 2 4 9 5

1.2.

Determinantes y sus propiedades

En este apartado asociaremos a toda matriz cuadrada A un número real, llamado determinante de A, que denotaremos |A|. Estudiaremos explícitamente la forma de calcularlo y su uso en el álgebra lineal. Primeramente, describimos el procedimiento para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n mediante recurrencia o inducción utilizando el concepto de menor complementario.

1.2.1.

Desarrollo del determinante mediante una fila (columna). Uso de las operaciones elementales en el cálculo de un determinante

Determinante de una matriz cuadrada de orden 1: Si A = terminante está dado por |A| = a11. Determinante de una matriz cuadrada de orden 2: Si A = calculamos su determinante como



a11





es una matriz 1 × 1, su de-

a11 a12 a21 a22



|A| = a11a22 − a12 a21.   1 7 es Por ejemplo el determinante de la matriz A = −2 8    1 7   |A| =  = 1 · 8 − (−2) · 7 = 8 + 14 = 22. −2 8 

es una matriz 2 × 2,

Determinante de una matriz cuadrada de orden 3: Para matrices de orden 3 o más, necesitamos de la noción de menor complementario y de adjunto. Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz A = (aij ) de orden

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CAPÍTULO 1. MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

n × n al determinante de la submatriz de orden (n − 1) × (n − 1) que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de la matriz original, y se denota por Mij . Se llama adjunto del elemento aij , y lo denotaremos Aij a: Aij = (−1)i+j Mij .   a11 a12 a13 Si A =  a21 a22 a23  es una matriz 3×3, calculamos su determinante, usando adjuntos a31 a32 a33 de alguna fila o de alguna columna (el resultado no cambia): |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 = a1j A1j + a2j A2j + a3j A3j ,

i, j = 1, 2, 3.

Nótese que, en este caso, los adjuntos resultan de calcular determinantes de matrices de orden 2 × 2. Estos últimos  determinantesya sabemos como se calculan. Por ejemplo, el determinante 1 1 0  de la matriz A = −2 8 −2  , desarrollando por la primera fila, es 4 −6 7      1     1 0   8 −2   −2  −2 −2   8         |A| =  −2 + 0.  8 −2  = 1.  = 44 + 6 = 50. − 1.  4 −6  −6 7  4 7   4 −6 7  Nótese que

     8 −2   8 −2      A11 = (−1) .  = = 44, −6 7   −6 7       −2 −2    1+2  −2 −2    = 6, = − A12 = (−1) .  4 7  4 7  1+1

y

A13 = (−1)

1+3

  −2 8  . 4 −6

    −2 8 =   4 −6

   = −20. 

Dado que el determinante no depende de la elección de la fila o columna que se tome para hacer el desarrollo, siempre buscaremos aquella fila o columna que tenga más ceros para simplifica así los cálculos. Determinante de una matriz cuadrada de orden n: Calculamos un determinante de una matriz cuadrada de orden n × n, a partir del desarrollo por filas o columnas siguiente:    a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n     · · · · · · · · · · · ·  = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + . . . ain Ain = a1j A1j + a2j A2j + . . . anj Anj ,    an1 an2 · · · ann  para todo 1 ≤ i, j ≤ n.

1.2. DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES 1 4 Ejemplo 1.2.1 Sea la matriz A =  5 6 segunda columna se tiene:     1 3 5 2 4 7     4 1 7 3  = −3  5 2    5 0 2 9  6 4   6 3 4 8 

3 1 0 3

3 9 8

5 7 2 4

11

 2 3   de orden 4 × 4, si desarrollamos por la 9  8

    1 5 2    + 5 2 9     6 4 8

    1 5 2    + 3 4 7 3     5 2 9

    = −366.  

Obsérvese que a medida que aumenta el orden de la matriz, el cálculo del determinante es un proceso cada vez más largo. Para calcular determinantes de una forma más rápida y sencilla, se utilizan las operaciones elementales, también conocidas como transformaciones elementales de Gauss, que son: (i) Intercambiar dos filas (columnas) de una matriz : Fi ↔ Fj (Ci ↔ Cj ). (ii) Multiplicar una fila (columna) de una matriz por un número real k no nulo: Fi → kFi (Ci → kCi ). (iii) Sumar a una fila (columna) de una matriz un múltiplo de otra: Fi → Fi + kFj (Ci → Ci + kCj ). Se tienen las siguientes propiedades: (i)♭ Si se intercambian dos filas (columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. (ii)♭ Si se multiplica una fila (columna) de una por un número real k, su determinante queda multiplicado por k. (iii)♭ Si se suma a una fila (columna) de una matriz un múltiplo de otra, el valor de su determinante no varía. (iv)♭ Si una matriz tiene una fila (columna) cuyos elementos son sumas de s sumandos, su determinante es igual a la suma de los determinantes de las matrices iguales a la dada salvo dicha fila (columna) que se sustituye por la fila (columna) formado por los primeros sumandos, segundos sumandos, etc. Por ejemplo,        a11 a12 + b12 a13   a11 a12 a13   a11 b12 a13         a21 a22 + b22 a23  =  a21 a22 a23  +  a21 b22 a23  .        a31 a32 + b32 a33   a31 a32 a33   a31 b32 a33 

(v)♭ Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es igual a cero.

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CAPÍTULO 1. MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

(vi)♭ Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna nula, su determinante es igual a cero. (vii)♭ El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las respectivas matrices. Esto es, si A, B son matrices cuadradas de orden n × n, se tiene |A · B| = |A||B|. (viii)♭ El determinante del producto de un escalar k por una matriz cuadrada de orden n × n está dado por |k · A| = kn · |A|. (ix)♭ El determinante de una matriz A coincide con el de su traspuesta, |A| = |At |. Ejemplo 1.2.2 Queremos calcular el determinante   1 0 1 2   −1 1 2 −1   1 3 2 2   2 −1 0 1 Restamos a la tercera columna la primera,   1 0 1 2   −1 1 2 −1   1 3 2 2   2 −1 0 1 Desarrollamos por la primera   1 0 1 2   −1 1 2 −1   1 3 2 2   2 −1 0 1

    .   

y a la cuarta columna el doble de la primera:       1 0 0 0      −1 1 3 1  = .   1 3 1 0      2 −1 −2 −3 

fila y se tiene:     1 0 0 0     −1 1 3 1  =   1 3 1 0     2 −1 −2 −3

     1 3 1   =  3 1 0     −1 −2 −3 

Aplicando ahora las correspondientes operaciones elementales a la tercera orden 3 × 3, se obtiene      1  0 1 2     1 3 1   1 3 1      −1   3 1 1 2 −1    = 3 1 0  =  3 1 0  =    1 3 2 2  2 7  −1 −2 −3   2 7 0   2 −1 0 1

1.2.2.

   .  

fila de la matriz de

   = 19. 

Matriz inversa

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es inversible o regular, si existe una matriz n × n, denotada por A−1 , tal que A · A−1 = A−1 · A = In .

1.2. DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES

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La matriz A−1 se llama matriz inversa de A. No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz se dice que singular, si no tiene inversa. Podemos caracterizar las matrices cuadradas que son inversibles mediante su determinante. Teorema 1.2.1 Sea A una matriz cuadra...