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RIASSUNTI LEZIONI ALGEBRA LINEARE...

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Geometria 2016: Esercizi e Note Sophie M. Fosson [email protected] June 8, 2016

ii Queste note • seguono l’ordine cronologico delle mie esercitazioni in aula; • includono gli esercizi proposti in aula; • possono includere materiale aggiuntivo; • includono la teoria necessaria per svolgere gli esercizi; • sono scritte in forma schematica e piuttosto informale; • sicuramente contengono errori (ogni segnalazione sar` a gradita!); • saranno aggiornate circa ogni due/tre settimane. Buon lavoro, s.m.f.

Contents 1 Vettori nel piano e nello spazio fisico 1.1 Informazioni e materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vettori nel piano e nello spazio (R2 , R3 ) . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Operazioni tra vettori nel piano e nello spazio . . . . . . . . . . . 1.4 Operazioni tra vettori nel piano e nello spazio . . . . . . . . . . . 1.5 Prodotto vettoriale (R3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Prodotto misto (R3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2 2 3 4

2 Introduzione agli Spazi Vettoriali 5 2.1 Spazio vettoriale (SV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Spazi e sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Richiamo su prodotto vettoriali/misto (R3 ) . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Proiezione ortogonale (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 SV 3.1 3.2 3.3 3.4

di matrici; dalle combinazioni lineari alle basi 15 Richiami sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Quiz su SV di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Combinazioni lineari di vettori, generatori, indipendenza lineare . 17 Basi e dimensioni di un spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Riduzione di matrici; ancora su sottospazi e basi 23 4.1 Riduzione di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Riduzione di matrici per trovare basi . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Propriet` a utili della somma di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4 Prodotto di matrici; anticipazione sui sistemi lineari . . . . . . . 30 5 Sistemi lineari e invertibilit` a 5.1 Definizione del rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Teorema di Rouch´e-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Risoluzione di sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sistemi omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Regola di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Teorema di Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Esercizi di approfondimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

33 33 33 34 38 40 41 42 44 44

iv

CONTENTS

6 Applicazioni lineari 47 6.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2 Nucleo e immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3 Iniettivit` a e suriettivit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7 Matrici associate ad applicazioni lineari 7.1 Composizione di a.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Matrice associata ad una a.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 A che serve ”cambiare base” nel mondo reale? . . . . . . . . . . . 7.5 Cambiamento base nelle a.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 54 57 58 59

8 Autovettori, autovalori 8.1 Molteplicit` a e diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64

9 Matrici simmetriche e ortogonali, basi ortonormali 69 9.1 Matrici simmetriche e basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . 69 9.2 Basi ortonormali e matrice ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . 73 9.3 Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 73 9.4 Quiz di riepilogo su matrici diagonalizzabili e simmetriche . . . . 75 10 Coniche e geometria nel piano 10.1 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Classificazione delle forme quadratiche . . . . . . . . . . . 10.2 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Classificazione delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Riduzione alla forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Circonferenze nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Rette nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 77 78 78 78 78 82 83

11 Geometria nello spazio 11.1 Piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Piani in forma parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Posizione reciproca di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Distanza punto-piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Distanza punto-retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Distanza retta-retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Sfere e circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86 86 87 87 88 89 89 91

12 Funzioni in due variabili; quadriche 95 12.1 Quadriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 12.2 Funzioni in due variabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

CONTENTS

v

13 Funzioni vettoriali; curve 101 13.1 Funzioni vettoriali: matrice jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . 101 13.1.1 Matrice jacobiana della composizione di funzioni . . . . . 101 13.2 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13.2.1 Integrale di linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 13.2.2 Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 14 Superfici; test finale 105 14.1 Superf ici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 14.2 Simulazione test d’esame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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CONTENTS

Settimana 1

Vettori nel piano e nello spazio fisico 1.1

Informazioni e materiale

• [email protected] • http://calvino.polito.it/∼fosson → note, esercizi (trovate anche materiale degli anni scorsi, in inglese) • Portale della didattica → note, esercizi • Libri: Baldovino - Lanza, Algebra lineare e geometria, Esercizi e Temi d’esame, Esculapio

1.2

Vettori nel piano e nello spazio (R2 , R3 )

Notazioni: 1. v vettore 2. i, j, k versori (modulo=1) degli assi x, y, z 3. v = v1 i + v2 j = (v1 , v2 ) vettore nel piano (R2 ) 4. v = v1 i + v2 j + v3 k = (v1 , v2 , v3 ) vettore nello spazio (R3 ) 5. vi = i-esima componente di v Nel seguito, user` o per lo pi` u la notazione v = (v1 , v2 , · · · ), cio` e per me un vettore e` una sequenza di numeri reali. Per ora ci limitiamo a sequenze di n = 2, 3 numeri reali; in futuro generalizzeremo a qualunque n (e ad altre tipologie di oggetti, per esempio numeri non reali...) Ora iniziamo a fare operazioni sui vettori nello spazio R3 . Osservazione 1 Per le operazioni uso prevalentemente definizioni “algebriche”, perch´ e generalizzabili a n > 3. Tutti gli esercizi con n = 2, 3 si possono anche risolvere con le tecniche geometriche/trigonometriche (per esempio, per prodotto scalare e vettoriale). 1

2

SETTIMANA 1. VETTORI NEL PIANO E NELLO SPAZIO FISICO

1.3

Operazioni tra vettori nel piano e nello spazio

1. Somma tra vettori: componente per componente u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . ) 2. Prodotto tra uno scalare a ∈ R e un vettore: av = (av1 , av2 , . . . ) 3. Prodotto scalare: hv, wi = v · w = v1 w1 + v2 w2 + . . . 4. Norma (o modulo): |v| = kvk =

√ v·v

5. v e w sono ortogonali se v · w = 0 6. v e w sono paralleli se esiste a ∈ R tale che v = aw Esercizio 1 Dati u = (1, 2, 1) e v = (−1, 0, 1/3), calcolare w = 2u − (u · v)(−9v). u e w sono ortogonali? Soluzione u = (1, 2, 1), v = (−1, 0, 1/3) u · v = 1 · (−1) + 2 · 0 + 1 · 1/3 = −2/3

w = 2(1, 2, 1) + 2/3(9, 0, −3) = (2, 4, 2) + (6, 0, −2) = (8, 2, 0) u · w = 8 + 4 + 1 = 13 ⇒ non ortogonali

Per esercizio, provare ad usare anche la definizione “trigonometrica” di prodotto scalare (|u||v| cos ∠(u, v))

1.4

Operazioni tra vettori nel piano e nello spazio

Esercizio 2 Come sono fatti i vettori ortogonali u = (1, 2, 1)? E quelli ortogonali a v = (−1, 0, 1/3)? E quelli ortogonali sia ad u che a v? Soluzione (1, 2, 1) · (r1 , r2 , r3 ) = r1 + 2r2 + r3 = 0

(−1, 0, 1/3) · (s1 , s2 , s3 ) = −s1 + 1/3s3 = 0 ⇒ s3 = 3s1

r1 + 2r2 + 3r1 = 0 ⇒ r2 = −2r1

r = (r1 , −2r1 , 3r1 ) = r1 (1, −2, 3)

Provare ad usare anche la definizione “trigonometrica” di prodotto scalare (|u| |v| cos ∠(u, v)).

1.5. PRODOTTO VETTORIALE (R3 )

1.5

3

Prodotto vettoriale (R3 )

Per calcolare il prodotto vettoriale, anticipo due concetti che studiermo in futuro, quello di matrice e di determinante. Per matrice intendo semplicemente una tabella di numeri. Per esempio,   a11 a12 aij ∈ R, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n (1.1) A= a21 a22 `e un matrice 2 × 2 a componenti reali. Il determinante `e un numero associato alla matrice (di cui vedremo in futuro l’importanza). Il determinante di una matrice 2 × 2 si calcola cos`ı:      a11 a12  = a11 a22 − a12 a21 (1.2)  a21 a22 

Il determinante di una matrice 3 × 3 si pu` a calcolare cos`ı: considero a turno gli elementi della prima riga. Parto da a11 1. immagino di cancellare la riga e la colonna contenenti a11 2. mi rimane una sottomatrice 2×2: ne calcolo il determinante e lo moltiplico per a11

Ripeto il procedimento per a12 e a13 e poi sommo tutto, per` o alternando i segni. In conclusione: a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a31 a22 ) Il prodotto vettoriale si calcola come un determinante:    i w = u ∧ v = u × v =  u1  v1

j u2 v2

k u3 v3

     

= (u2 v3 − v2 u3 )i − (u1 v3 − v1 u3 )j + (u1 v2 − v1 u2 )k

Osservazione 2 w·u=0 w·v =0

Osservazione 3 i, j, k non sono numeri (scalari), ma vettori! Quindi tecnicamente stiamo abusando della definizione di matrice; a livello simbolico comunque il calcolo funziona. Esercizio 3 Dati u = (−3, −1, 1) e v = (1, 1/3, −1/3) calcolare (a) u · v (b) u ∧ v (c) u · u ∧ (v − 1/3j) Soluzione (a) u · v = −3 − 1/3 − 1/3 = −11/3. (b) (0, 0, 0). u e v sono paralleli. Infatti, u = −3v.

4

SETTIMANA 1. VETTORI NEL PIANO E NELLO SPAZIO FISICO

Figure 1.1: Esercizio 4: i tre vettori sono complanari • (c) Soluzione standard:

u ∧ (v − 1/3j) = u ∧ (1, 0, −1/3) = (1/3, 0, 1) e infine u · (1/3, 0, 1) = 0.

• (c) Soluzione smart:

Qualunque w, (u · u ∧ w) = 0, poich´e u ∧ w `e ortogonale ad u e anche a v.

Provare ad usare anche la definizione “trigonometrica” di prodotto vettoriale (|u| |v| sin ∠(u, v) per il modulo e regola mano destra per direzione e verso)

1.6

Prodotto misto (R3 )

Il prodotto misto tra 3 vettori e` u · v ∧ w. Si pu` o calcolare facendo prima il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare1 , oppure attraverso il calcolo del seguente determinante (riuscite a spiegare perch´e?):      u1 u2 u3  u · (v ∧ w) =  v1 v2 v3   w1 w2 w3 

Se il prodotto misto `e nullo, i tre vettori sono complanari (riuscite a spiegare perch´ e?). Esercizio 4 u = (1, 0, 0), v = (1/2, 1/2, 0) e w = (3, 1, 0) sono complanari? Soluzione • Sol. smart: S`ı, si vede subito, perch´e la componente lungo k e` 0 per tutti e tre. • Sol. standard: Se non si vedesse subito → prodotto misto, verificare che `e nullo.

1 c’` e sempre qualche studente che “prova” l’ordine inverso: prima il prodotto scalare e poi quello vettoriale: vi ` e chiaro perch´ e questo non funziona?

Settimana 2

Introduzione agli Spazi Vettoriali 2.1

Spazio vettoriale (SV)

• Un campo `e un insieme K su cui possiamo definire due operazioni, che chiamiamo somma e prodotto, con tutte le “solite” propriet` a che hanno la somma e il prodotto sui numeri reali (commutativa, associativa, elemento neutro, esistenza opposto e inverso, propriet` a associativa) • Noi useremo principalmente i campi R (reali) e C (complessi) • Chiameremo scalari gli elementi di un campo Uno SV `e un insieme V associato ad un campo K con a un’operazione tra elementi di V che chiamiamo somma con le seguenti propriet` a: a.1 chiusura: ∀u, v ∈ V , u + v ∈ V a.2 solite propriet` a: commutativa, associativa, elemento neutro, opposto b un’operazione tra un elemento di V e uno di K che chiamiamo prodotto (o prodotto esterno) con le seguenti propriet` a: b.1 chiusura: ∀u ∈ V , a ∈ K au ∈ V b.2 solite propriet`a: commutativa, associativa, distributiva, elemento neutro (= elemento k ∈ K tale che ku = u, ∀v ∈ V ) 1 Esempio di SV: Rn con il campo R con le operazione viste l’altra volta 1 Potrebbe sembrare strano che non venga richiesto l’inverso per il prodotto, ma se ci pensiamo un momento non `e nemmeno chiaro come definire un inverso per il prodotto tra un elemento di K e uno di V

5

6

SETTIMANA 2. INTRODUZIONE AGLI SPAZI VETTORIALI

2.2

Spazi e sottospazi

Sottospazio dello SV V : sottoinsieme S di V che mantiene le propriet` a di SV ereditate da V . Ovvero, S `e uno SV con le operazioni di V (e valgono le propriet` a a, b viste prima) Da ora in avanti, chiameremo vettore un elemento di uno spazio vettoriale. Dalla prima settimana ad oggi, la nostra definizione di vettore ha quindi sub`ıto un “processo di generalizzazione”: 1. Vettori applicati nel piano (bidimensionale) e nello spazio (tridimensionale) 2. Sequenze di n numeri 3. Elementi di uno Spazio Vettoriale Le diverse definizioni non sono in contrasto, anzi: 1. ⊂ 2. ⊂ 3.. La somma tra due sottospazi U e S `e un insieme (che chiamiamo U + S ) composto da tutte le possibili somme tra un elemento di U e uno di S. Se U ∩ S = {0}, la somma viene detta diretta e si indica con U ⊕ S. Se U, S sottospazi U ∩ S, U + S(o U ⊕ S) sono sottospazi

U ∪ S non necessariamente `e sottospazio

Esercizio 5 Per ognuno dei seguenti sottoinsiemi di R4 , dire quali sono sottospazi: (a) A = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 tale che x1 = x2 }. (b) B = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 t. c. x1 = x2 e x1 + x2 + x3 + x4 = 0}. (c) C = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 t. c. x1 = x22 }. (d) D = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 t. c. x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 0}. Soluzione (a) A = {x = (x1 , x1 , x3 , x4 ), x1 , x3 , x4 ∈ R}. (0, 0, 0, 0) ∈ A. Se x, y ∈ A, allora x + y = (x1 + y1 , x1 + y1 , x3 + y3 , x4 + y4 ) ∈ A cx = (cx1 , cx1 , cx3 , cx4 , ) ∈ A per ogni c ∈ R. A e` un sottospazio

(b) B ⊂ A e A = {x = (x1 , x1 , x3 , −x3 − 2x1 ), x1 , x3 ∈ R}. Dati x, y ∈ B , allora x + y = z ∈ B poich´e z1 = z2 e z1 + z2 + z3 + z4 = x1 + y1 + x2 + y2 + x3 + y3 + x4 + y4 = 0; cx ∈ B poich´ e cx1 + cx 2 + cx3 + cx4 = c(x1 + x2 + x3 + x4 ) = 0. B `e un sottospazio.

2.2. SPAZI E SOTTOSPAZI

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(c) C non e` un sottospazio poich´e non e` chiuso rispetto a somma e prodotto. Per esempio, se x, y ∈ C e x + y = z, allora z1 = x1 + y1 = x22 + y 22 6= z22 = (x2 + y2 )2 . (d) D non `e un sottospazio: per esempio (−1, 0, 0, 0) ∈ D, ma −1(−1, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0) ∈ / D. Esercizio 6 Quale dei seguenti insieme e` uno SV su campo R ? (a) R≤2 [x] = {polinomi a coefficienti reali in x di grado ≤ 2}. (b) R=2 [x] = {polinomi a coefficienti reali in x di grado = 2}. Soluzione (a) Un generico elemento di R≤2 [x] ha la forma a0 + a1 x + a2 x2 , ai ∈ R, i = 0, 1, 2. – Somma: usiamo la somma usuale tra polimoni. Per ogni ai , bi ∈ R, i = 0, 1, 2, a0 + a1 x + a2 x2 + b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 ∈ R≤2 [x] ⇒ chiusura rispetto alla somma:

– Elemento nullo: P (x) ≡ 0 ∈ R≤2 [x]

– Prodotto: usiamo il prodotto usuale tra polimoni e scalari. λ ∈ R, λ(a0 + a1 x + a2 x2 ) = λa0 + λa1 x + λa2 x2 ∈ R≤2 [x] ⇒ chiusura rispetto al prodotto Questo `e sufficiente per concludere che R≤2 [x] `e uno spazio vettoriale. (b) P (x) ≡ 0 ∈ / R=2 [x]: sufficiente per concludere che R=2 [x]non `e uno spazio vettoriale. Altro controesempio: x2 ∈ R=2 [x], −x2 + x ∈ R=2 [x], ma la loro somma x ∈ / R=2 [x]. Ovviamente questo esercizio si pu` o estendere a R≤n [x] con n = 3, 4, ... Provare a ripetere l’esercizio con coefficienti complessi: C≤2 [x], C=2 [x]: cambia qualcosa? Osservazione 4 • Nella maggior parte degli esercizi che faremo, i campi vettoriali saranno del tipo Rn e quindi i vettori saranno sequenze di n numeri. Questo esercizio era per` o per sottolineare che ci sono anche spazi vettoriali meno “convenzionali”, in cui per esempio i vettori sono polinomi. Possono anche capitare altri tipi di funzioni... • In questo esercizio, ricordarsi che non ci interessa studiare l’andamento del polinomio: dal punto di vista dell’algebra lineare, cio` o che conta sono in fondo i coefficienti del polinomio; i singoli valori di x non ci interessano per nulla. • E’ capitato che studenti dicessero: R≤2 [x] contiene lo zero perch´ e a0 + a1 x + a2 x2 e` una parabola e ha due zeri... attenzione: lo zero di un polinomio non ha nulla a che fare con il polinomio nullo, che e` zero dello SV R≤2 [x].

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SETTIMANA 2. INTRODUZIONE AGLI SPAZI VETTORIALI • Se crea confusione lavorare con i polinomi, notate che c’` e un’equivalenza (dal punto di vista dello SV) tra R≤n [x] e Rn+1 : a0 + a1 x + a2 x2 + . . . `e equivalente alla sequenza (a0 , a1 , a2 , . . . ). Provate a pensare alle operazioni: non cambia nulla! • Riuscite ad intuire se questo genere di equivalenza tra uno SV qualsiasi e uno Rn e` sempre possibile? [Risposta la prossima settimana]

Esercizio 7

1. Determinare se i seguenti sottoinsiemi di R3 sono sottospazi

(a) A = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 t.c. x2 = x3 }. (b) B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 t.c. x3 = 1}.

(c) C = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 t.c. x1 = 2x2 = 2x3 }.

(d) D = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 t.c. x1 = 1, x2 = x3 }. (e) E = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 t.c. x1 = 0}.

2. Calcolare intersezione e unione tra i sottospazi 3. Calcolare somma tra i sottospazi 4. Riuscite a dare una descrizione geometrica di questi sottoinsiemi?

2

Soluzione 1. (a) A = {x = (x1 , x2 , x2 ), x1 , x2 ∈ R}. Chiaramente, (0, 0, 0, 0) ∈ A. Se x, y ∈ A, allora x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x2 + y2 ) ∈ A perch´e le seconde due componenti sono sempre uguali. Infine, anche cx = (cx1 , cx2 , cx2 ) ∈ A per qualsiasi c ∈ R. A `e un sottospazio. (b) (0, 0, 0, 0) ∈ / B , B non `e un sottospazio.

(c) C `e un sottoinsieme di A. In particolare, se chiamo x2 = α ∈ R, C = {(2α, α, α), α ∈ R}. E’ facile provare che lo zero sta in C e che che C `e chiuso rispetto a somma e prodotto.

(d) D `e un sottoinsieme di B, quindi non pu` o essere sottospazio (non contiene lo zero). (e) E `e un sottospazio (contiene lo zero; la somma di due vettori con prima componente nulla ha ancora la prima componente nulla; moltiplicando per un qualsiasi scalare un vettore con la prima componente nulla, ottengo ancora un vettore con la prima componente nulla) 2.

• C ⊂ A, quindi A ∩ C = C e A ∪ C = A.

• A∩E = {(0, α, α), α ∈ R} (che chiaramente `e ancora un sottospazio); A ∪ E = {x ∈ R3 tali che x1 = 0 oppure x2 = x3 }. Non `e un sottospazio, perch´ e per esempio (0,...