Práctico - Ejercicios resuletos. Algebra matricial PDF

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Ejercicios resuletos. Algebra matricial...

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´ ALGEBRA LINEAL. EJERCICIOS RESUELTOS Grado de Estad´ıstica, curso 1 0 .

´ Algebra matricial Ejercicio 74 Pruebe que: Si A = (aij ) es una matriz anti-sim´etrica, entonces ajj = 0. Si A = (aij ) es una matriz anti-hermitiana, entonces ajj es un n´ umero imaginario con parte real nula. Si A es real y sim´etrica, entonces B = iA es anti-hermitiana. Soluci´ on 74 Si A = (aij ) es anti-sim´etrica, entonces At = (aji ) = −A = (−aij ). Para los elementos de la diagonal, aii = −aii , de donde son cero. Si A = (aij ) es anti-hermitiana, entonces A∗ = (aji ) = −A = (−aij ). Los elementos de la diagonal verifican ajj = −ajj . Si un n´ umero complejo a = a1 + ia2 verifica a = −a, entonces a1 = 0. Sea B = iA. Entonces B ∗ = (iA)∗ = iA∗ = −iAt = −iA = −B . Ejercicio 75 Sea A una matriz cuadrada. 1. Pruebe que A + At es sim´etrica y que A − At es anti-sim´etrica. 2. Pruebe que hay una sola forma de escribir A como suma de una matriz sim´etrica y una anti-sim´etrica. Soluci´ on 75 1. Si B = A+ At , entonces B t = At + A = B, de donde B es sim´etrica. An´alogamente, si C = A− At , t entonces C = At − A = −C, y C es anti-sim´etrica. 2. Es claro que

1 1 (A + At ) + (A − At ), 2 2 y as´ı la matriz A es suma de una matriz sim´etrica y una anti-sim´etrica. Por otro lado, supongamos que A=

A = B 1 + C1 = B 2 + C2 , donde B1 , B2 son sim´etricas y C1 , C2 son anti-sim´etricas. Entonces B1 − B2 = C2 − C1 . Es f´acil ver que B1 − B2 es sim´etrica, y que C2 − C1 es anti-sim´etrica. Sea E = B1 − B2 = C2 − C1 = (eij ). Por ser anti-sim´etrica, eii = 0, y adem´as, eij = −eij . Entonces E = 0, y tenemos el resultado. Ejercicio 76 Sea A una matriz arbitraria de orden 3 × 3,  1 E = 0 3 1. Describa las filas de EA en funci´ on de las filas de A.

y sea  0 0 1 0 . 0 1

2. Describa las columnas de AE en funci´ on de las columnas de A. Soluci´ on 76 Sea A = (aij ), y  1 0 E·A=  0 1 3 0

calculemos los productos indicados:    a11 a12 a13 a11 0 0   a21 a22 a23  =  a21 a31 a32 a33 3 a11 + a31 1

a12 a22 3 a12 + a32

 a13 a23  . 3 a13 + a33

La matriz E tiene el escalar 3 en la posici´on (3, 1), y el resultado es una matriz igual que A, pero a la tercera fila se le ha sumado la primera multiplicada por 3. As´ı, una multiplicaci´ on a la izquierda produce una transformaci´ o n por filas. Ahora hacemos el producto por la derecha.   a11 + 3 a13 a12 a13 A · E =  a21 + 3 a23 a22 a23  . a31 + 3 a33 a32 a33

En este caso, a la primera columna se le suma la tercera multiplicada por el escalar. Por tanto, un producto por la derecha produce una transformaci´on por columnas. 1

Ejercicio 77 Sea ej la j-´esima columna unitaria, que es el vector columna de orden n que contiene un 1 en la posici´ on j y cero en el resto. Para una matriz general An×n , describa los siguientes productos: Aej , eti A, eti Aej . Soluci´ on 77 Se tiene que Aej = A∗j , la columna j − ´esima. eti A = Ai∗ , la fila i − ´esima. t ei Aej = aij , el elemento (i, j ). Ejercicio 80 Identifique una partici´ o n por bloques caci´on por bloques, donde  0 0 2 0  0 0 0 2 A=  0 0 0 0 4 1 2 1

apropiada y calcule el producto matricial AB mediante multipli  0 0  0  0  ,B =  0  2   2 3 1

Procure agrupar la mayor parte de ceros o formar matrices sencillas.

 0 −1 0 0 0 −1   0 1 2  . 2 −1 1  1 3 2

Soluci´ on 80 Consideremos la siguiente partici´ o n: 

0  0 A=  0 4

0 0 0 1

2 0 0 2

0 2 0 1

   0 0 −1 0 0    0 0  0 −1    0  03×2 2I3×3 02×2  = = , B = 0 0 1 2 t t   2  u1×2 v1×3 C 3×2  2 2 −1 1  3 1 1 3 2

Las particiones est´an a justadas, y el producto es   02×2 03×2 2I3×3 AB = ut1×2 v t1×3 C3×2

−I2×2 D3×2



=



2C vtC

2D −ut + v t D



−I2×2 D3×2

.

Tenemos que  0  2 = 5 5 vtC = 2 1 3 1  1     −ut + v t D = − 4 1 + 2 1 3  −1 3 

El producto final es







0  2 1

0  4  AB =  2 5



,

 2  1 = 6 2

10



.

 0 2 4 4 −2 2  . 2 6 4  5 6 10

Ejercicio 85 Para todas las matrices An×k y Bk×n , pruebe que la matriz por bloques   I − BA B L= 2A − ABA AB − I tiene la propiedad L2 = I . Soluci´ on 85 L2

= =





I − BA B 2A − ABA AB − I



I − BA B 2A − ABA AB − I



(I − BA)2 + B (2A − ABA) (I − BA)B + B (AB − I ) (2A − ABA)(I − BA) + (AB − I )(2A − ABA) (2A − ABA)B + (AB − I )2 2



.



.

Tenemos que (I − BA)2 + B (2A − ABA) = I − 2BA + BABA + 2BA − BABA = Ik , (I − BA)B + B (AB − I) = B − BAB + BAB − B = 0, (2A − ABA)(I − BA) + (AB − I )(2A − ABA) = (2A − ABA)B + (AB − I )2

2A − 2ABA − ABA + ABABA + 2ABA − ABABA − 2A + ABA

= 0, = 2AB − ABAB + ABAB − 2AB + I = In ,

y entonces L2 = In+k . Ejercicio 89 Consideremos la matriz



 1 2 c+1 A= 0 1 1 . 0 0 c

Determine la inversa de la matriz A en funci´on del par´ a metro c, y establezca las condiciones para las que existe dicha inversa. Soluci´ on 89 Aplicaremos el m´etodo de Gauss-Jordan a la matriz ampliada [A|I3 ], y en funci´on de los valores por los que tengamos que dividir tendremos los valores excepcionales de c.     1 2 c+1 1 0 0 1 0 c − 1 1 −2 0 F1 −2F2  0 1 1 0 1 0  −−−−→  0 1 1 0 1 0 . 0 0 c 0 0 1 0 0 c 0 0 1 Para el siguiente paso, tenemos que dividir por c. Suponemos  1 0 1  F c 3  0 1 −→  0 0  F1 − (c − 1)F3 1 0 F2 − F3  −−−−−−−−−−−−→   0 1 0 0

entonces c 6= 0. c−1



1 −2

0

1

0

1

1

0

0

0 1

−2

 0  

0 0

1

1 0

0

c−1  −c+1 c

 −c−1  . −1 c

Si c = 0 la matriz es singular, y no posee inversa. Si c 6= 0, entonces la inversa es   1 −2 −c+1 c  0 1 −c−1  . 0 0 c−1 Ejercicio 93 Exprese la matriz

como producto de matrices elementales.

 1 0 2 A=  0 1 1  2 1 6 

Soluci´ on 93 Efectuamos las transformaciones elementales para  1  F3 −2F1  0 A →  0  1  F3 −F2  0 →  0 F1 − 2F3 F2 − F3 →

I. 3

aplicar Gauss-Jordan:  0 2  1 1   1 2  0 2  1 1   0 1

Entonces



1 0 0  1  1 0 −2  0 1 −1   0 1 0  0  

1 0 0  A = I, 0 1 0 

0 0  1 0  

y de aqu´ı obtenemos la expresi´ −2 0 1 0 −1 1 0 0 1 0 0 o n que 1 buscamos:        1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 A =  0 1 0   0 1 0  0 1 0   0 1 1  . 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 Ejercicio 98

2. (A + cdt )−1 = A−1 − Soluci´ on 98

1 abt . 1+bt a

1. (I + abt )−1 = I − A−1 cd t A−1 1+d t A−1 c

.

1. Veamos que el t´ermino de la derecha es inversa de la matriz I + abt . (I + abt )(I −

1 1 1 abt abt abt + abt − abt ) = I − 1 + bt a 1 + bt a 1 + bt a 1 1 a(bt a)bt = I− abt + abt − 1 + bt a 1 + bt a bt a 1 = I− abt + abt − abt t 1+b a 1 + bt a   1 bt a abt = I+ − +1− 1 + bt a 1 + bt a   −1 − bt a = I+ + 1 abt 1 + bt a = I.

2. Sea

1 A−1 cdt A−1 , 1 + dt A−1 c

C = A−1 −

y comprobaremos que (A + cdt )C = I. Como son matrices cuadradas, se deduce entonces que C = (A + cdt )−1 . (A + cdt )C

= = =

(A + cdt )(A−1 −

1 A−1 cdt A−1 ) 1 + dt A−1 c

1 1 cdt A−1 cdt A−1 cdt A−1 + cdt A−1 − 1 + dt A−1 c 1 + dt A−1 c 1 1 I− (dt A−1 c) cdt A−1 cdt A−1 + cdt A−1 − 1 + dt A−1 c | {z } 1 + dt A−1 c I−

escalar

= = =

1 1 I + (− (dt A−1 c)cdt A−1 +1− 1 + dt A−1 c 1 + dt A−1 c 1 + dt A−1 c I + (− + 1)cdt A−1 1 + dt A−1 c I.

Ejercicio 108 Pruebe que

son no singulares y

 

Im V

Im V 0 In

0 In

  Im , 0

−1

=

4



Im −V

V Im



0 In



.

Soluci´ on 108 Basta comprobar que el lado derecho de la igualdad es la matriz inversa de la matriz izquierda. Para ello,     Im 0   I 0 Im · Im + 0 · V Im · 0 + 0 · 0 m = V In −V In In · (−V ) V · 0 + In · 0  V · Im +  Im 0 . = 0 In An´ alogamente se comprueba que



Im 0

V In

−1

=



Im 0

−V In



.

Ejercicio 113 Un dispositivo electr´ onico consiste de una serie de conmutadores que pueden estar en posici´on 1 o en posici´on 0. Estos conmutadores pueden cambiar de estado a intervalos regulares de tiempo, llamados ciclos de reloj. Supongamos que al final de cada ciclo de reloj, el 30 % de los conmutadores que est´an en posici´on 0 cambia a posici´on 1, y el 90 % de los que est´an en estado 1 pasan a estado 0. 1. Pruebe que el dispositivo tiende a un estado de equilibrio referido a la proporci´on de conmutadores en estados 1 y 0. Calcule dichas proporciones. 2. Independientemente de la situaci´o n inicial, ¿cu´ antos ciclos de reloj son necesarios para alcanzar una situaci´ on estable? Soluci´ on 113 Sea ak el n´ umero de dispositivos que se encuentran en el estado 0 en el ciclo k, y bk el n´ umero de dispositivos que se encuentran en el estado 1 en el ciclo k. Las condiciones del problema nos dicen que ak+1

=

0,7ak + 0,9bk ,

bk+1

=

0,3ak + 0,1bk .

En forma matricial podemos escribir xk+1 = Axk , donde xk =



ak bk



,A =



0,7 0,9 0,3 0,1



.

Con esta notaci´on, x0 representa el estado actual. Por inducci´ on, es f´acil probar que xk = Ak x0 , por lo que el estado final depende del comportamiento de Ak cuando k se hace grande. Mediante c´alculo directo, observamos que " # " # 0,750000025599999565 0,749999923199999640 0,750000000000001886 0,749999999999991450 10 20 A = ,A = . 0,249999974399999908 0,250000076799999915 0,249999999999997168 0,250000000000007660 Podemos suponer que, cuando k → ∞, Ak tiende a T =



0,75 0,75 0,25 0,25

Sea x∞ =



a∞ b∞



.



el estado l´ımite. Entonces x∞ = T x0 . El total de dispositivos permanece constante en todo el proceso, esto es, a∞ + b∞ = a0 + b0 . Vamos a calcular las proporciones de cada estado respecto al total: a∞ 0,75a0 + 0,75b0 0,25a0 + 0,25b0 b∞ = 0,25. = = = 0,75, a∞ + b ∞ a∞ + b ∞ a0 + b 0 a0 + b 0 Observemos que la proporci´on l´ımite no depende del n´ umero de dispositivos que se encuentren en cada estado al principio del proceso. Ejercicio 116 Supongamos que dos compa˜ n´ıas de pasta de dientes compiten por los clientes de un mercado fijo, en el que cada consumidor usa la marca A o la marca B. Supongamos que un an´ a lisis de mercado muestra que los h´ a bitos de consumo siguen la siguiente tendencia: cada 3 meses, el 30 % de los usuarios de A se cambian a B, mientras que el resto permanece en A. Adem´as, el 40 % de los usuarios de B cambiar´an a A, y el resto de usuarios de B ser´ an fieles a la marca. Si suponemos que este patr´on no cambia de trimestre en trimestre, tenemos un ejemplo de una cadena de Markov. Exprese el sistema como un sistema lineal discreto, y estudie su comportamiento a largo plazo suponiendo que, al principio, 5

la empresa A tiene todo el mercado, la empresa B tiene todo el mercado. Soluci´ on 116 Sean ak y bk las fracciones de clientes que usan las marcas A y B en el trimestre k-´esimo. Las condiciones del enunciado nos dicen que ak+1 = 0,7ak + 0,4bk , bk+1 = 0,3ak + 0,6bk . En forma matricial queda x(k+1) = Ax(k) , donde x(k) =





ak bk

,A =



0,7 0,4 0,3 0,6



.

Los vectores de estado x(k) tienen componentes no negativas, y suman 1. Adem´as, la matriz A verifica que tiene entradas no negativas, y la suma de cada una de sus columnas es 1, es decir, sus columnas son vectores de probabilidad. Tenemos que x(k+1)

= Ax(k) = A(Ax(k−1) .. . = Ak+1 x(0) .

En realidad, esto es v´ a lido para cualquier sistema din´ a mico. Supongamos que, inicialmente, la marca A tiene todos los clientes, y la marca B est´a entrando en el mercado. Veamos qu´e ocurre a largo plazo. Con estas condiciones, x(0) = (1, 0)t . Entonces      1 0,61 0,61 0,52 (2) 2 (0) = . x =A x = 0,39 0,48 0 0,39 Si ampliamos el periodo de c´alculo, x(20) = A20 x(0) =



0,57 0,43



.

Por tanto, tras 20 trimestres, la marca A tendr´ a el 57 % del mercado, y la marca B el 43 %. Veamos que ocurre si el escenario de partida es completamente diferente. Por ejemplo, que la marca A no tiene clientes y la marca B los tiene todos. En este caso, x(0) = (0, 1)t , y   0,57 x(20) = A20 x(0) = . 0,43 Hemos obtenido la misma respuesta. No es una coincidencia, y veremos m´ as adelante qu´e significa esto. Ejercicio 118 Sea A una matriz m × n. 1. Si [A|Im ] se reduce mediante transformaciones por filas a [B|P ], explique por qu´e P es una matriz no singular tal que P A = B .     A C 2. Si , explique por qu´e Q es una matriz no se reduce mediante transformaciones por columnas a In Q singular tal que AQ = C . 3. Calcule una matriz no singular P tal que P A = EA (forma reducida por filas de A), donde   1 2 3 4 A =  2 4 6 7 . 1 2 3 6 Soluci´ on 118 1. Si aplicamos transformaciones por filas a la matriz [A|Im ], estamos multiplicando por la izquierda por matrices elementales. Entonces existe Xm×m matriz no singular tal que X[A|Im ] = [B|P ]. Sabemos que X [A|Im ] = [XA|XIm ] = [XA|X ], de donde, tras identificar bloques, obtenemos que XA = B y X = P . 6

2. El razonamiento es an´alogo al operar con columnas. 3. Una forma de resolver el problema es calcular las transformaciones elementales que llevan A a EA , y despu´es multiplicarlas. Sin embargo, ese proceso es muy costoso, y con los apartados anteriores podemos simplificar la tarea. Formamos la matriz [A|I3 ], y aplicamos las transformaciones elementales, con lo que llegaremos a [EA |P ], donde P es la matriz no singular tal que P A = EA .  F2 − 2F1  1 2 3 4 1 0 0 F3 − F1 −−−−−−−−→  0 0 0 −1 −2 1 0  0 0 0 2 −1 0 1   1 2 3 4 1 0 0 −F2  0 0 0 1 −→ 2 −1 0  0 0 0 2 −1 0 1

[A|I3 ]

F3 − 2F2  1 F1 − 4F2 −−−−−−−−→  0 0

La matriz P buscada es entonces



 P = 

2 0 0

−7

3 0 0

 −7 4 0 2 −1 0  . −5 2 1

0 1 0

4 0



 2 −1 0  .

−5

2 1

Vamos realizar una extensi´ o n del problema. Queremos calcular tambi´en una matriz Q no singular tal que P AQ   EA tenga la forma normal del rango. Para ello, aplicamos el segundo apartado, y formamos la matriz . Aplicamos I4   Nr , y de esta forma obtendremos Q. las transformaciones por columnas necesarias para llegar hasta Q  

EA I4



              

C24

−→

 C3 −3C1 ,C4 −2C1

−−−−−−−−−−→

La matriz buscada es



              

1 0 −3

  0 Q=   0  0

0

3

2

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

 0    0    0    1    0  

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

−2

0

1

0

1

0

1

0

0

0 0

0



 0    0 0    −3 −2  .  0 1    1 0   0

1 0

0

7



1

0



   .  

0

Ejercicio 122 Considere las matrices

A= 1. ¿Son equivalentes?

2  3

0

 2 −6 2 0 −1  5 1 −1 4 0   yB= −8

8

3 −9

3

8 2 . 4 −1 

12

3

2. ¿Son equivalentes por filas? 3. ¿Son equivalentes por columnas? Soluci´ on 122 Para determinar si son equivalentes, basta calcular su rango. La    1 0 1 −1/8 1 0    rref rref   A → EA =   0 1 −1 −3/8  , B → EB =  0 1 0 0 0 0 0 0

forma reducida por filas de A es  1 −1/8  −1 −3/8  . 0

0

Entonces, rango(A) = rango(B), por lo que son equivalentes. M´ as a´ un, como EA = EB , son equivalentes por filas. Para ver si lo son tambi´en por columnas, consideremos las matrices traspuestas:     1 0 3/ 2 1 0 −3      0 1 0   0 1 2  .    t rref t rref A → E At =    , B → EB t =   0 0 0   0 0 0      0 0 0 0 0 0

Como EAt 6= EB t , las matrices At y B t no son equivalentes por filas, por lo que A y B no son equivalentes por columnas. Ejercicio 123 Calcule, si es posible, una factorizaci´on en producto de matrices elementales de la matriz   0 0 −3    3 −1 10  .   −2 4 5

Soluci´ on 123 En primer lugar, se trata de calcular la forma escalonada reducida por filas, y verificar que es I3 . Las transformaciones elementales que intervienen nos servir´ a n para encontrar la descomposici´on. Llamemos A a la matriz dada.     3 −1 10 1 −1/3 10/3 1     F F12 3 1  0  0 0 −3  0 −3  A − → −→     −2 4 5 −2 4 5     1 −1/3 10/3 1 −1/3 10/3    F23 F3 +2F1  35   0 10/3 0 −3  −−−−→  − → 3 0    35 0 10/3 0 0 − 3 3     1 −1/3 10/3 1 0 9/2 3     F1 + 13 F2 F 10 2 0  0 1 7/2  1 7/ 2  −−→ −−−−→     0 0 −3 0 0 −3   9 F1 − 2 F3 1 0 9/ 2 F2 − 72 F3   −31F3  −−−−−−−−→ I3 . −−→   0 1 7/ 2  0 0 1 8

Podemos escribir entonces    1 0 0 1 0 −9/2       0 1 −7/2   0 1 0    0 0 1  0 0 1  F2 − 72 F3 F1 − 29F3     1 0 0 1 0 0      0 0 1   0 1 0      0 1 0 2 0 1 F23 F 3 + 2F 1

1

0

0



    0 1 0   0 0 −1/3  −31F3   1/3 0 0    0 1 0    0 0 1 1 F 3 1

Ahora despejamos la matriz A, y pasamos al    0 1 0 3 0      0 1 A =   1 0 0   0 0 1 0 0    1 −1/3 0 1 0     0  1 0     0 1 0 0 1 0 0

Ejercicio 124 Consideremos la matriz

1

1/3 0



1

0

0



        0 1 0    0 3/10 0   0 0 1 0 0 1  3 F1 + 13 F2 F 2 10   0 1 0   1 0 0  A   0 0 1 F12

= I3

otro lado de la igualdad las inversas de las matrices elementales.        0 1 0 0 1 0 0 1 0 0         0 1 0   0 0 1   0 10/3 0  0         1 −2 0 1 0 1 0 0 0 1      0 1 0 9/ 2 1 0 0          0    0 1 0   0 1 7/ 2  . −3 0 0 1 0 0 1

 1 −1 5 −2 2  2 −2 −2 5 1  . A=   0 0 −12 9 −3  −1 1 7 −7 1 

Calcule matrices P y Q tales que

P AQ =

...