Algebra Matricial y Geometria Analitica-Chau PDF

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ESTUDIOSGENERALESCIENCIASALGEBRA MATRICIAL YGEOMETRÍA ANALÍTICANorberto Jaime Chau PérezTEXTO GUÍA DE CLASESÍndice Introducción 1 Geometría Analítica Plana 1 Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano 1.1 Distancia entre dos puntos del plano 1.1 División de un segmento en una razón dada 1.1 Pun...

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ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

ALGEBRA MATRICIAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA TEXTO GUÍA DE CLASES

Norberto Jaime Chau Pérez

2017

Índice Introducción

4

1

5

Geometría Analítica Plana 1.1

1.2

1.3

Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano 1.1.2

División de un segmento en una razón dada

1.1.3

Punto medio de un segmento

. . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Lugar geométrico en el plano

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

P 

La recta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1

Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

1.3.2

Ecuación de una recta si se conoce la pendiente (Ecuación Ordenada en el origen de una recta

1.3.4

Ecuación general de la recta

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Ángulos entre dos rectas .

1.3.7

Distancia de un punto a una recta

. . . . . . . . . . . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . . .

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

P 

Elementos de la circunferencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

P 

La parábola 1.5.1

Elementos de la parábola

1.5.2

Ecuación de la parábola con directriz paralela a un eje coordenado .

1.5.3

1.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posiciones relativas de dos rectas

1.4.2

1.6.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

P 

La elipse

17 18

1.3.5

1.4.1

15 16

. . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6

La circunferencia .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3

1.3.8

1.5

5 6

Distancia entre dos puntos del plano

punto pendiente)

1.4

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1

Elementos de la elipse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

58

1.6.2

1.6.3 1.7

P 

.

60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

La hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Elementos de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Ecuación de la hipérbola cuyo eje focal es paralelo a un eje coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Hipérbolas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4

1.8

Ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralelo a un eje coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 

1.8.3

67

.

67

.

68

.

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rotación de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Ecuación general de segundo grado en dos variables 1.8.2

.

82

. . . . .

83

. . . . .

84

Identificación de las cónicas representadas por una ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . .

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

P 

2 Introducción al Algebra Lineal 2.1 Geometría vectorial en el espacio 2.1.1 Introducción al espacio R n

95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.1.2

n Vectores en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.1.3

Paralelismo de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.1.4

Producto escalar y norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.1.5

Ortogonalidad de vectores.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2.1.6

Proyección ortogonal y componentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

R

3

2.1.7

Producto vectorial y producto mixto en

. . . . . . . . . . . . . . . 104

2.1.8

Combinación lineal, independencia y base. . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.1.9

Dependencia e independencia lineal, base y dimensión del espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.2

R3 3 Planos en R

2.1.10 Rectas en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.1.11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Matrices, Determinates, Sistemas de Ecuaciones y Diagonalización . . . . . 127 2.2.1

Adición de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2.2

Multiplicación de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2.3

Multiplicación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2.4

Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.2.5

Transformaciones elementales con las filas de una matriz . . . . . . . 131

2.2.6

Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2.7

Matrices Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2.8

Matriz escalonada

2.2.9

Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2.10 Método de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.3

Determinantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.4

Valores y Vectores Carcaterístico (o Propio) de una matriz . . . . . . . . . . 153

2

2.4.1

Matrices Diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.5

Vectores en el Plano y en el Espacio

2.6

Coordenadas de un punto 2.6.1

2.7

2.8

en

R2

Distancia entre dos puntos

Definición de vector

R

Vectores en

2.7.2

Vectores en R 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Operaciones definidas en los vectores y sus propiedades Igualdad de vectores

. . . . . . . 162

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.8.2

Adición de vectores

2.8.3

Multiplicación de vectores por escalares

2.8.4

Sustracción de vectores

2.8.5

Vectores Paralelos

2.8.6

Producto escalar (o producto interno) de vectores

2.8.7

Norma de un vector

2.8.8

Vector unitario

R

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 . . . . . . . . . . . . . 163

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.8.9

Dirección en

Ángulo entre dos vectores

2.8.11

Vectores ortogonales

2.8.12

Proyección ortogonal de un vector sobre otro

2.8.13

Componente de un vector sobre otro

2.8.15

. . . . . . 165

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

2.8.10

2.8.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Producto vectorial de vectores en Producto mixto de vectores en

P  Rectas en R 3 2.8.16

R

3

R

3

. . . . . . . . . 175

. . . . . . . . . . . . . . 175 . . . . . . . . . . . . . . . 177

. . . . . . . . . . . . . . . . . 180

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

2.9.1

Ecuación vectorial de la recta

2.9.2

Ecuaciones paramétricas de la recta

2.9.3

Ecuación cartesiana de la recta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

2.9.4

Posición relativa de dos rectas

Distancia de un punto a una recta

P 

. . . . . . . . . . . . . . . 186

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2.9.5 2.9.6

3

R3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2

2.7.1

2.8.1

2.9

y en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 189

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Números Complejos

192

3.1

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.2

El sistema de los números complejos

3.3

Conjugado, módulo y argumento de un número complejo . . . . . . . . . . . 198

3.4

Forma polar y forma exponencial de un número complejo

3.5

Radicación en

C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

. . . . . . . . . . 202

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3

|

Presentación

El texto ha sido diseñado para brindar a los estudiantes de carreras de ciencias e ingeniería una revisión de conceptos básicos que serán requisitos para futuros cursos de cálculo en una y varias variables ; y cálculo aplicado. La finalidad del mismo es que el estudiante adquiera las herramientas necesarias para aplicar, en la resolución de ejercicios y problemas, los conceptos y propiedades básicas la Geometría analítica plana, Introducción al Algebra Lineal, iniciando de los Vectores en el plano y en el espacio, rectas y plano en el espacio; Matrices y Determinantes; y , de los Números complejos. Este texto se caracteriza por brindar un tratamiento dinámico a los contenidos matemáticos lo que se refleja al anteponer, en lo posible, a las definiciones formales, situaciones que justifiquen su presentación y la formalización de los objetos matemáticos involucrados. Luego de este acercamiento a las definiciones y propiedades, se traba jan problemas de mayor complejidad para cuya solución se requiere la comprensión, conexión y aplicación de los resultados anteriores. En los ejemplos desarrollados paso a paso a través de los cuales el estudiante identificará las técnicas a seguir para resolver los tipos de tareas propuestas, así como las justificaciones para cada una de ellas. Norberto Chau Marzo 2017

4

Capítulo 1

Geometría Analítica Plana

1.1

Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano

En este capítulo se identificará cada punto del plano geométrico de

R2

,

P

con un par ordenado

así como se asigna a cada punto de la recta un número real. Para ello se requiere

definir algunos elementos. En el plano

P

se consideran dos ejes perpendiculares entre sí, uno horizontal al que

llamamos eje de abscisas y se denota por eje

x;

y otro vertical al que llamamos eje de

ordenadas y se denota por eje y. En cada una de estas rectas se ubican los números reales. El punto de intersección de estas rectas se llama origen de coordenadas y corresponde al cero real en cada una de ellas. La orientación de los ejes es la siguiente: En el eje de abscisas el sentido positivo es a la derecha. En el eje de ordenadas el sentido positivo es hacia arriba.

Así, el plano queda divido en cuatro regiones a las que se denominan cuadrantes: IC, IIC, IIIC y IVC.

y

IIC

IC 2 – 1 –

ý –2

ý –1

ý 1

ý 2

x

–1 – –2 –

IIIC

IVC

Figura 3.1 Cuadrantes del plano de coordenadas

5

Dado un punto

P

∈ P , por él se trazan rectas perpendiculares a los ejes x e y. La recta

vertical determina un único punto de intersección

x0

en el eje de abscisas; análogamente,

la recta horizontal determina en el eje de ordenadas un único punto, Entonces al punto

P

y

0.

se le hace corresponder el par ordenado (x 0; y 0) .Esto es, P

∈ P −→ (x 0 ; y0 ) ∈ R 2 .

Así, el primer cuadrante, IC, es la región donde los puntos tienen abscisa y ordenada positivas. El segundo cuadrante, IIC, es la región donde los puntos tienen abscisa negativa y ordenada positiva. El tercer cuadrante, IIIC, es la región donde los puntos tienen abscisa y ordenada negativas. El cuarto cuadrante, IVC, es la región donde los puntos tienen abscisa positiva y ordenada negativa. Además, se puede asignar a cada par ordenado (x 0 ; y0) de la siguiente manera: En el eje de abscisas ubicamos al punto de coordenada

x

∈ R 2 un único punto P ∈ P

0 ; por este punto trazamos una

L 1 al eje de abscisas. Procediendo de forma análoga con el eje de ordenadas y el número real y0, determinamos una recta L 2 . El punto de intersección de L 1 y L2 es perpendicular

el punto

P

que se quería determinar. De esta forma se tiene la función:

∈ R2 −→ P ∈ P.

(x 0; y0 )

Lo que se ha conseguido es establecer una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico (punto del plano) y un concepto algebraico (par ordenado de números reales). Esta correspondencia constituye el fundamento de la Geometría Analítica: establecer relaciones explícitas entre conceptos geométricos y algebraicos. 1.1.1

Distancia entre dos puntos del plano

Dados los puntos real,

d(P1,P 2 )

P 1 (x1 , y 1)

y

P2(x 2, y2 ),

dado por: d(P1, P2) =



la distancia entre los puntos

(x 2

− x1 )2 + (y2 − y1)2 .

6

P

1 y

P2

es el número

En efecto, si se ubican los puntos

P

y

1

P2 en el plano como se muestra en la figura:

y

P2

–

y2 – y1

y2 P1

–

à

x

ý

x1

R

x2 – x1

y1

ý

x2

Figura 3.2 Distancia entre dos puntos Al trazar por el punto P

1

una paralela al eje x y por P 2 una paralela al eje y, éstas

se interceptan en el punto R, determinando el triángulo rectángulo P

1 RP2

, recto en R.

Aplicando la relación pitagórica a las longitudes de los lados de dicho triángulo, se obtiene:

2

P1 P2

=

2

P1 R

+ RP 22

Pero:

P1 R

=

x2 − x1

Luego,

d(P1, P 2)

=



y

(x2

RP2

2

− x1 )

= y2

+ (y2

− y1

− y1 )

2

Propiedades de la distancia entre dos puntos del plano i)

En la fórmula anterior se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor

no negativo: d (P1 ; P2) ≥

ii)

0.

Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P

P2 no afecta el valor de la distancia pues

(x 2

2

− x1)

2

= (x1 − x 2 )

1

. Es decir, d (P1 ; P2)

y

=

d (P2 ; P1 ) .

iii)

Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P

1

entonces:

|P 1P2 |

=

|x2 − x1| , puesto que y

7

1=

y2

y P2 es paralelo al eje x

y

P1

P2

x

Figura 3.3 Caso particular: dos puntos con igual ordenada Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje

y

, entonces:

y P2

P1

|P1 P2 |

=

x

|y2 − y 1| , puesto

que

x

2=

x1

Figura 3.4 Caso particular: dos puntos con igual abscisa iv)

d (P 1, P3 ) ≤ d (P1 , P2) + d (P 2 , P 3 ) .En

los puntos

1.1.2

P 1, P 2

y

P3

particular, la igualdad se verifica si y solo si,

son colineales.

División de un segmento en una razón dada

Decimos que un punto

P3

está entre

P1

d (P1 , P2 )

Dados los puntos

P1