[Álgebra e intro. al Cálculo] Resumen de fórmulas de Cónicas PDF

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Summary

Muy completo resumen de materia sobre Cónicas, materia que es parte del ramo. Está hecho de manera empática con el alumno, con explicaciones más claras, y con colores, para que sea más fácil el aprendizaje....

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MATEMÁTICA – CUARTO AÑO MEDIO

Lugares geométricos:

Cónicas

Mr. Ignacio F. Garcés | 2017 Agradecimientos: profesores Osvaldo Doña & Luis Zegarra Agramont

0

Índice de contenido Introducción

pág. 2

Circunferencia

pág. 3

Elipse

pág. 4

Hipérbola o hipérbole

pág. 7

Parábola

pág. 9

Observaciones importantes de la parábola

pág. 11

Cuadro comparativo de las cónicas

pág. 12

Bibliografía

pág. 13

Autoevaluación (ejercicios)

pág. 13

Página | 1

Introducción Un lug lugar ar g geom eom eomét ét étric ric rico o es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas[1]. Es decir, son lugares (en el espacio o en el plano) de los que se pueden aplicar propiedades o generar fórmulas con respecto a otros puntos, longitudes, etc. Un ejemplo de lugar geométrico es el punto medio entre dos puntos, la bisectriz de un triángulo, una recta, un punto, etc. Las cónic cónica as (también llamadas se seccio ccio ccione ne ness ccón ón ónica ica icass) son todas lugares geométricos también.

Nota: en este documento no se verá tan a profundidad las cónicas. Si quieres ver, por ejemplo, cónicas inclinadas en el plano y más operaciones muy avanzadas de este tema, ve a → https://goo.gl/h60Ha9

Definición de cónicas o secciones cónicas Son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un plano con un cono, de la forma que se muestra en la imagen, obteniéndose:

Imagen: http://descargas.pntic.mec.es

A continuación veremos cada una de estas cosas:

[1] Fuente: Wikipedia.

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Circunferencia

Ecuación principal o canónica Forma: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2

Donde 𝑟 = radio ; centro de la circunferencia = (ℎ, 𝑘)

Cabe destacar el que el radio no puede ser negativo ya que representa una distancia. Si 𝑟 2 es menor que cero, entonces no sería una fórmula de circunferencia.

Ecuación general Forma: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Donde: centro = (𝑎, 𝑏)

;

𝐴 = −2𝑎

; 𝐴 2

𝐵 = −2𝑏 𝐵 2

;

De esta ecuación deriva: 𝑟 2 = ( 2 ) + ( 2 ) − 𝐶

𝐶 = 𝑎 2 + 𝑏2 − 𝑟2

→

𝑟 2 = 𝑥2 + 𝑦2

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Elipse Elementos de la elipse horizontal Es fundamental saber bien todos los elementos de la elipse:

Sea P(x,y) un punto cualquiera perteneciente a la elipse, se cum cump ple sie siemp mp mpre re qu que e la sum sumaa d de e llas as dist distanc anc ancias ias d de e P a los foc foco os, d daa 2a.

  Por lo anterior, por definición: 𝑷𝑭 𝟏 + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂

Centro: es el medio de la elipse, donde el eje mayor y el eje menor se cruzan. Puede ser cualquier punto del plano, incluyendo el origen (0,0).

a: es la distancia del centro a una intersección de la elipse con el eje mayor, o también la distancia de un foco a B o B’. a ssiem iem iempr pr pre e se será rá ma mayo yo yorr q que ue b y c..

b: es la distancia del centro a una intersección de la elipse con eje menor. c: es la distancia del centro a un foco. a, b y c siempre estarán en una misma proporción, la cual es la siguiente: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 Vért Vértic ic ices es es: en las imágenes, son A, A’, B y B’ (también llamados A1, A2, B1 y B2). Eje me menor nor: tiene una longitud de 2b. nor mayor yor: tiene una longitud de 2a, y en él se encuentran los focos. Eje ma yor focal al: se encuentra en el eje mayor y mide 2c, longitud que también es llamada distancia focal. Eje foc al El semieje mayor , el semieje menor y el semieje focal son la mitad de los ejes. Foco Focoss: son dos puntos F1 y F2, o también representados como F y F’. Las coordenadas de los focos y de los vértices se obtienen como se muestra en la imagen superior derecha. (Si el centro es (0,0)) Rad Radio io vec vector tor tor: es la distancia de un punto cualquiera de la elipse a un foco.

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Lado re rect ct cto o ((LR)): es una prolongación perpendicular al eje mayor y que pasa un foco, hasta tocar la elipse, como se muestra en la imagen de la derecha. La lungitud del lado recto de calcula como: 𝐿𝑅 = 2 •

𝑏2

𝑎

El segmento recto es la mitad del lado recto.

Exc Excent ent entric ric ricidad idad ((𝒆): ): es un número entre el 1 y el 0 que representa cuán estirada o contrída es la elipse. Se calcula de la siguiente manera: 𝑒 = 𝑐 ⁄𝑎 , o también 𝑒 = √1 − (𝑏 ⁄ 𝑎 )

2

Cabe destacar que, si a es igual a b, entonces la ecuación describiría en realidad a una circunferencia. Lo mismo sucede si la excentricidad (e) es igual a cero. Por supuesto, a, b y c no son negativos, porque representan distancias. En todas las imágenes anteriores, se han visto elipses con centro en el origen, pero, los v vérti érti értice ce cess de una el elips ips ipse e co con n ccen en entr tr tro oe en n (𝒉, 𝒌), po porr eje ejem mpl plo, o, sse ed deb eb eben en tra traslad slad sladar ar las co coor or orde de denad nad nadas as seg según ún el 󰇍󰇍 (𝒉, 𝒌); por ejemplo, quedando los focos en (ℎ + 𝑐, 𝑘) y en (ℎ − 𝑐, 𝑘), y así con todos los vec vector tor 𝒗 vértices.

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La elipse vertical La elipse, al ser vertical, cambia de la siguiente forma:

Los elementos de la elipse se calculan de manera similar.

Ecuación principal o canónica de la elipse Las fórmulas para una elipse horizontal y vertical, con cen centro tro en (𝒉, 𝒌), son las siguientes: Forma horizontal: Forma vertical:

(𝑥−ℎ)2 𝑎2

(𝑦−𝑘)2 𝑎2

+

+

(𝑦−𝑘)2 𝑏2

(𝑥−ℎ)2 𝑏2

=1

=1

(lo de arriba cambia de lugar)

a, b y c se calculan normalmente, y luego, si el centro no es el origen, los vértices y los focos se trasladan según el vector 𝑣(ℎ, 𝑘) para poder calcular sus coordenadas reales respectivas en el plano cartesiano. Se puede identificar si una elipse es vertical u horizontal buscando a. Como a es mayor, a2 será mayor, y si se encuentra debajo de (𝑥 − ℎ)2 , significa que es horizontal.

Ecuación general de la elipse Forma: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 Don Donde de A y B de debe be ben n tten en ener er el mis mismo mo sig signo no no. Esta ecuación se obtiene a partir del desarrollo de la principal.

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Hipérbola o hipérbole Elementos de la hipérbola La hipérbola tiene varias similitudes con la elipse.

Cualquier punto de la hipérbola cumple que, al m med ed edirse irse su d dista ista istan ncia h haacia aamb mb mbo os fo foco co cos, s, y lu lueg eg ego o rest restar ar arse, se, se o obt bt btien ien iene e 2a.

  Entonces, por definición, siempre se cumple en la hipérbola que: |𝑷𝑭 𝟏 − 𝑷𝑭 𝟐 | = 𝟐𝒂

𝑎, 𝑏 y 𝑐 representan lo mismo que en la elipse, pero su relación difiere: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 , por lo que 𝑐 siempre será mayor que 𝑏 y 𝑎

princip ncipal eal: en él se encuantran los focos y 𝐴 junto con 𝐴’. (es como el eje mayor en la elipse) Eje pri ncip al o rreal eal Eje foc al focal al: mide 2𝑐. En él está el eje real.

Eje sec und ario o im ag in ario secund unda imag agin inario ario: en él se posicionan B y B’ . Cen tro Centro tro: lugar donde el eje real y el imaginario se cortan. Foco Focoss: al igual que en la elipse, se encuentran a una distancia c del centro. Exc Excent ent entric ric ricidad idad ((𝐞)): Representa cuán estiradas o contraídas están las ramas de la hipérbola. Se calcula igual que en la elipse: 𝑒 = 𝑐 ⁄𝑎

Asín Asínto to totas tas tas: son rectas que se acercan pero que nunca tocan a la hipérbola. Sus e eccuac uacion ion iones es se ob obtien tien tienen en igua igualan lan lando do la e eccuac uación ión p princip rincip rincipa al d de e la el elipse ipse a h hiipér pérbol bol bola a a cer cero, o, ree reemp mp mpla la lazand zand zando o el uno uno. (ver página 9) Si y sólo si la hipérbola es centrada en el origen, las asíntotas son simplemente 𝑥 =

𝑏

𝑎

y 𝑥 =−

𝑏

𝑎

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Ecuación principal o canónica de la hipérbola Se asemeja mucho a la de la elipse, solo que ésta tiene resta en lugar de suma. Estas fórmulas aplcican a una hipérbola con centro en (ℎ, 𝑘): Forma horizontal: Forma vertical:

(𝑥−ℎ)2 𝑎2

(𝑦−𝑘)2 𝑎2

−

−

(𝑦−𝑘)2 𝑏2

(𝑥−ℎ)2 𝑏2

=1

=1

(cambia de lugar lo de arriba)

Es importante saber las ecuaciones de las asíntotas. En general, en una hipérbola horizontal, se obtienen despejando:

(𝑥−ℎ)2 𝑎2

−

(𝑦−𝑘)2 𝑏2

= 0 , y en una vertical:

(𝑦−𝑘)2 𝑎2

−

(𝑥−ℎ)2 𝑏2

=0

Ecuación general de la hipérbola Es idéntica a la ecuación general de la elipse, con la diferencia de que A y B deb debe en ttene ene enerr ssign ign ignos os opu opuest est estos os os.

𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

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Parábola Elementos de la parábola Es un lugar geométrico en el que todos los puntos están a la misma distancia de una recta llamada directriz y un punto llamado foco.

  = 𝑷𝒅 Por lo tanto, por definición: 𝑷𝑭

donde 𝑃 : punto cualquiera de la parábola.

Cuando se habla de la distancia de un punto a la recta directriz, se refiere a la menor distancia posible, es decir, la medida de un segmento perpendicular a la directriz, como se muestra en las imágenes.

𝒑

Dire Directr ctr ctriz iz ((d)): es una recta perpendicular al eje focal. Su ec ecua ua uaci ci ción ón e ess 𝒙 = − 𝟐 Par Paráme áme ámetr tr tro o ((p)): (No confundir con P de punto cualquiera) Es la distancia entre el foco y la directriz. Es decir, es la semidistancia entre el foco y el vértice o la directriz y el vértice (mirar imagen superior izquierda)[2]. Eje foc al o de ssimet imet ría focal imetría ría: es una recta perpendicular a la directriz. El foco está en este eje. Vért Vértic ic ice e: es el punto en donde la parábola corta al eje focal, y donde está más cerca del foco y de la directriz. Foco: en la parábola hay un único foco, que se encuentra a una distancia Foco 𝒑

vértice está en (ℎ, 𝑘); las coo coord rd rdena ena enada da dass d del el foc foco o se será rá rán: n: (𝒉 + , 𝒌) 𝟐

𝑝

2

del vértice, por lo que, si el

Rad io vec tor Radio vector tor: es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. Cuerda foca call: es u segmento que pasa al foco y toca en dos puntos a la elipse. Cue rda fo ca Lado re rect ct cto o ((LR)): es una cuerda focal que es perpendicular al eje focal. El lado recto mide 𝟒𝒑. [2] En este caso tomaremos la distancia entre el foco y la directriz como p, pero hay libros que muestran esta distancia como 2p. Eso no interesa, ya que en realidad no habrá diferencia en cuanto a los valores de la ecuación ni a la parábola misma. Créeme.

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Asín Asínto to totas tas tas: son rectas esenciales para graficar adecuadamente una parábola. Se acercan a ella, pero 𝑏 jamás la tocan. Sus ecuaciones son: (𝑦 − 𝑘 ) = ± 𝑎 (𝑥 − ℎ)

(importante)

Ecuación principal o canónica de la parábola Sea el vértice de la parábola en (ℎ, 𝑘):

Forma hotrizontal: (𝑦 − 𝑘 )2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ)

Forma vertical: (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘 )

Ecuación general de la parábola Horizontal: 𝐴𝑦 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 Vertical: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑥 + 𝐷 = 0

Para obtener esta expresión, se desarrolla la ecuación principal y se iguala a 0, tal como en las otras cónicas.

En mi opinión, la parábola es la cónica más compleja. Estúdiala bien. Consejo para ejercicios eficientemente de esta y las otras cónicas: siem siempre pre gra grafic fic ficar ar ar. Ciertamente, el gráfico ayuda.

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Observaciones importantes de la parábola

𝑝=1

𝑝=3

Cua Cuanto nto m más ás gra grand nd nde ee ess e ell v valor alor ab abso so solut lut luto od de e 𝒑,, m más ás aabie bie bierta rta es la par paráb áb ábol ol ola, a, siem siempr pr pre. e.

En la parábola vertical

𝑝> 0

𝑝 0

𝑝...