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Algebraische Strukturen - (kommutative) Halbgruppe, Monoid und Gruppe Menge M: Verknüpfung m auf M • = •M := m

Assoziativität

Halbgruppe

Kommutativität

Neutrales Element 1M

Invertierbarkeit

1= (Eins, Einselement)

(Jedes Element ein inverses Element)

✔

✔

siehe (1)

✔

✔

✔

✔

Kommutative Halbgruppe

✔

✔

[Halbgruppe + Kommutativität]

Monoid [Halbgruppe + neutrales Element]

Gruppe [Monoid + Invertierbarkeit]

‼

Handelt sich bei einem Monoid um eine kommutative Halbgruppe, gilt für das Monoid neben den üblichen Eigenschaften (Assoziativität + neutrales Element) auch die Kommutativität.

Algebraische Strukturen – abelsche Halbgruppe, abelsches Monoid und abelsche Gruppe Menge A: Addition von A + := +A

Assoziativität

Kommutativität

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✔

✔

✔

Neutrales Element 0A

Negierbarkeit

0= (Null, Nullelement)

(Jedes Element ein inverses Element)

✔

✔

siehe (1)

✔

✔

✔

Abelsche Halbgruppe [kommutative Halbgruppe mit Halbgruppenverknüpfung +A]

Abelsches Monoid [Halbgruppe + neutrales Element]

Abelsche Gruppe [Monoid + Invertierbarkeit]

(1) In einem (abelschen) Monoid sind nicht alle Elemente invertierbar / negierbar, fasst man die Elemente für die eine Inverse / eine Negative existier zusammen, ist die letzte fehlende Eigenschaft für eine Gruppe, dass alle Elemente invertierbar / negierbar sind, erfüllt, und wir nennen diese dann Gruppe der invertierbaren Elemente. (MX)

Algebraische Strukturen – Ringe und Körper • = •R := m • = •K := m Ring

Assoziativität ✔

Kommutativität abelsche Grp

Monoid

✔

Neutrales Element 0 = 0A

1 = 1M

(abelsche Grp)

(Monoid)

✔

Negierbarkeit (abelsche Gruppe)

Invertier- Distribubarkeit tivität (Monoid)

✔

✔

[abelsche Gruppe R mit einer Verknüpfung m auf R, dass die unterliegende Menge von R ein Monoid mit Multiplikation m wird und somit das Distributivgesetz gilt]

Kom. Ring

✔ 

Ring mit

Körper

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✔

kommutativer Ring mit

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✔

✔

Kommutativität, wenn die Multiplikation kommutativ ist

✔  

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1≠0 Jedes Element von K \ {0} invertierbar bzgl. der Multiplikation (•K)

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✔...