Algoritmo para el calculo de areas y volumenes PDF

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Algoritmo para el cálculo de áreas y volúmenes

CARMEN DÍAZ

Introducción En nuestra vida diaria siempre queremos dar solución a cada problema que tengamos, la solución a muchos problemas nos conlleva a una secuencia, es decir, haciéndolo de una forma ordenada, sin darnos cuenta, que, al momento de dar solución paso a paso a un problema estamos trabajando lo que llamamos algoritmos, empleándolo frecuentemente para dar la respectiva solución, para ello en el siguiente escrito les voy a mostrar parte de las figuras geométricas, el perímetro, área y volumen de cada una de ellas, también les planteare un caso creado mediante algoritmo, antes les mostrare un breve resumen de lo que se puede entender por algoritmo. Podemos decir que un algoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenas y finitas que permiten realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dado un estado inicial de una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Cuando se elabora un algoritmo se debe tener en cuenta lo siguiente.

   

Tener claro cuál es el problema que va a solucionar. Establecer un objetivo que permita medir la solución del problema. Elaborar un algoritmo que solucione el problema. Realizar pruebas al algoritmo para verificar los resultados.

CARMEN DÍAZ

Perímetro y Área de Figuras Planas

Figura Geométrica

Concepto

Perímetro

Área

Un triángulo es un polígono de tres lados, tres vértices y tres ángulos internos. Es el polígono con menos lados posibles. En un triángulo podemos identificar base y altura: Base: Lado opuesto a un vértice. Por lo tanto, cualquier lado se puede tomar como base.

a+𝑏 +𝑐

El área o superficie del triángulo es la mitad del producto del lado elegido como base por la altura correspondiente a él.

Altura: Perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación. Cada base tiene una altura asociada.

a×h 2

Para notar o nombrar un triángulo se escribe el símbolo ∆ seguido por las tres letras que indican sus vértices. Ejemplo: Hallar el perímetro y área de un triángulo isósceles, cuya base mide 8cms y lados iguales de 5cms cada uno. Solución: 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟓𝒄𝒎 + 𝟓𝒄𝒎 + 𝟖𝒄𝒎 = 𝟏𝟖𝒄𝒎 Para el área, es necesario calcular la altura del triangula empleando el teorema de Pitágoras ℎ = √52 − 42 = √25 − 16 = √9 = 3 Área =

𝑎×ℎ 2

=

8𝑐𝑚×3𝑐𝑚 2

CARMEN DÍAZ

=

24𝑐𝑚2 2

= 12𝑐𝑚2

Figura Geométrica

Concepto

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus dos pares de lados opuestos paralelos. Los paralelogramos, a su vez, se clasifican en: rectángulos, cuadrados, rombos y romboides.

Es un tipo de paralelogramo con cuatro lados de igual longitud y paralelos entre sí

Perímetro

𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 2𝑎 + 2𝑏

Área

El área de un paralelogramo cualquiera es igual al producto de su base por su altura. 𝑎×ℎ

𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 4𝑎

El área de un cuadrado en función del lado es igual al cuadrado de su lado. 𝑎 × 𝑎 = 𝑎2

Ejemplo: Hallar el perímetro y el área de una sala cuadrada, cuyo lado mide 4 m Solución: 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 4 𝑎 = 4(4𝑚) = 16𝑚 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑎 2 = (4𝑚)2 = 16𝑚2

CARMEN DÍAZ

Figura Geométrica

Concepto

El rectángulo es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y los lados opuestos de igual medidas

Perímetro

𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 2𝑎 + 2𝑏

Área

El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura 𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏

Ejemplo: Hallar el perímetro y el área de un terreno rectangular cuyo largo mide 30 m y ancho 20 m Solución: 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2(20 𝑚) + 2(30 𝑚) = 40𝑚 + 60 𝑚 = 100 𝑚 Á𝑟𝑒𝑎 = 20 𝑚 × 30 𝑚 = 600𝑚2

El rombo es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados de igual medida, pero sus ángulos no son rectos.

𝑎 + a + a + a = 4𝑎

El área de un rombo además de ser igual al producto de su base por su altura, es igual al semiproducto de sus diagonales

Ejemplo: Hallar el perímetro y el área de un rombo cuyo lado mide 5 cm y las diagonales miden 8 cm y 6 cm Solución: 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 4 𝑎 = 4(5 𝑐𝑚) = 20 𝑐𝑚 Á𝑟𝑒𝑎 =

𝑑 × 𝑐 8 𝑐𝑚 × 6 𝑐𝑚 48 𝑐𝑚2 = 24 𝑐𝑚2 = = 2 2 2

CARMEN DÍAZ

d×c 2

Figura Geométrica

Concepto

Perímetro

Área

Es el cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no. En un trapecio los lados paralelos se llaman bases. La de mayor longitud es la base mayor y la de menor longitud es la base menor.

𝑎 +𝑏 +𝑐+𝑑

El área de un trapecio es igual a la semi suma de las bases multiplicadas por la altura (

La altura del trapecio es la medida del segmento perpendicular, trazado desde un punto de una base hasta la otra.

𝑎+𝑏 )×ℎ 2

Ejemplo: Hallar el perímetro y el área de un trapecio isósceles, cuya altura mide 4 m, los lados iguales no paralelos miden 5 m cada uno y sus bases miden 8 m y 6 m respectivamente. 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 5 𝑚 + 5 𝑚 + 8 𝑚 + 6 𝑚 = 24 𝑚 Á𝑟𝑒𝑎 = (

8𝑚+6𝑚 14 𝑚 𝑎+𝑏 )×ℎ= ( )×4𝑚= × 4 𝑚 = 7 𝑚 × 4 𝑚 = 28 𝑚2 2 2 2 Un polígono es regular cuando todos sus lados tienen igual medidas y todos sus ángulos tienen igual medidas.

Para hallar el perímetro de un polígono regular basta multiplicar la longitud de uno de sus lados por la cantidad de lados. Así: 𝑃 = 𝑛 × 𝑎, 𝑛: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 a: 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜

El área del polígono regular es igual a la mitad del producto de la apotema por el perímetro 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2

Ejemplo: Hallar el perímetro y el área de un octógono regular cuyo lado mide 6 cm y la apotema 4 cm Solución: 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑛 × 𝑎 = 8 × 6 𝑐𝑚 = 48 𝑐𝑚 Á𝑟𝑒𝑎 =

192 𝑐𝑚2 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 48 𝑐𝑚 × 4 𝑐𝑚 = = = 96 𝑐𝑚2 2 2 2

CARMEN DÍAZ

Volúmenes de Cuerpos Geométricos PRISMAS Es un cuerpo geométrico cuyas bases son de los polígonos iguales o paralelos y sus caras laterales son paralelogramo. Por su base los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc.

HEXAGONAL

El volumen de un prisma es igual a su altura multiplicada por el área de su base.

Volumen del Prisma

Siendo V= volumen del prisma, h = altura, B = área de la base, tendremos: 𝑉 = ℎ ×𝐵

Ejemplo: Hallar el volumen de un prisma recto regular triangular, cuya es de 20 cm el lado del triángulo de la base 15 cm. Hallemos el área de la base que por ser un triángulo será igual a la mitad del producto de la base por la altura: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 =

15 × 13 = 97.5 𝑐𝑚2 2

Entonces tenemos: ℎ = 20 𝑐𝑚, 𝐵 = 97.5 𝑐𝑚2 Luego: 𝑉 = ℎ × 𝐵 = 20 𝑐𝑚 × 97.5 𝑐𝑚 = 1950 𝑐𝑚3

CARMEN DÍAZ

PIRAMIDE Es un cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide. Por su base las pirámides pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc.

El volumen de una pirámide es igual al tercio de su altura multiplicada por el área de la base.

Volumen de la Pirámide

Siendo V= volumen de la pirámide, h = altura, B = área de la base, tendremos: 𝑉=

1

3

ℎ×𝐵

Ejemplo: El volumen de una pirámide cuya altura es de 20 cm y el área de la base 180𝑐𝑚2 será: 𝑉=

CARMEN DÍAZ

20 𝑐𝑚 × 180 𝑐𝑚2 1 = ℎ×𝐵 = = 1200𝑐𝑚3 3 3

CILINDRO De revolución o cilindro circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

El volumen de un cilindro es igual a su altura multiplicada por el área del cilindro de la base.

Volumen del Cilindro

Siendo V= volumen del cilindro, h = altura, r = radio del círculo de la base y por tanto 𝜋𝑟2 = área de la base, tendremos: 𝑉 = ℎ × 𝜋𝑟2

Ejemplo: Hallar el volumen de un cilindro cuya altura mide 40 cm y el diámetro del círculo de la base 10 cm ℎ = 40 𝑐𝑚, 𝑟 = 5 𝑐𝑚 𝑉 = ℎ × 𝜋𝑟2 = 40 × 3.1416 × 25 = 3141.6 𝑐𝑚3

CARMEN DÍAZ

CONO De revolución o cono circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

El volumen de un cono es igual al tercio de su altura multiplicada por el área del círculo de la base

Volumen del Cono

Siendo V= volumen del cono, h = altura, r = radio de la base, tendremos: 1 𝑉 = ℎ × 𝜋𝑟2 3

Ejemplo: Hallar el volumen de un cono, cuya atura mide 12 cm y el diámetro de la base 8 cm ℎ = 12 𝑐𝑚, 𝑟 = 4 𝑐𝑚

𝑉=

CARMEN DÍAZ

12 × 3.1416 × 16 1 ℎ × 𝜋𝑟 2 = = 201.0624 𝑐𝑚3 3 3

ESFERA Es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de si diámetro

El volumen de una esfera es igual a

Volumen de la Esfera

4

3

𝑑𝑒 𝜋 por el cubo del radio

Siendo V= volumen de la esfera y r = radio, tendremos: 𝑉=

4 3 𝜋𝑟 3

Ejemplo: El volumen de una esfera cuyo radio sea 30 cm, sería: 𝑉=

CARMEN DÍAZ

4 3 4 × 3.1416 × 303 𝜋𝑟 = = 113097.6 𝑐𝑚3 3 3

Algoritmo Para el cálculo del Área, Perímetro y Volumen de Figuras Planas y Cuerpos Geométricos Regulares Nota: A continuación, se ha insertado una hoja de cálculo, recuerde que para activarla debe hacer doble clic dentro de la hoja

ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS TRIÁNGULO Ingresar datos Lado a = Lado b = Lado c = Altura h=

Resultados 3 5 6 4

Perímetro = Área =

14 Unidades 6 Unidades cu

CUADRADO Ingresar datos Lado a =

CARMEN DÍAZ

Resultados 5

Perímetro =

20 Unidades

Área =

25 Unidades cu

ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS RECTÁNGULO Ingresar datos

Resultados 4 7

Lado a = Lado b =

Perímetro =

22 Unidades

Área =

28 Unidades cu

ROMBO Ingresar datos

Resultados 4 6 2

Lado a = Diagonal c = Diagonal d =

Perímetro = Área =

16 Unidades 6 Unidades cu

TRAPECIO Ingresar datos Base a = Base b = Lado c = Lado d = Altura h =

CARMEN DÍAZ

Resultados 4 6 2 3 4

Perímetro =

15 Unidades

Área =

20 Unidades cu

ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS POLIGONO REGULAR Ingresar datos Núme ro de l a dos La do a = Apotema =

CARMEN DÍAZ

Resultados 4 5 6

Perímetro =

20

Unidades

Área =

60

Unidades c

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMETRICOS REGULARES PRISMA Ingresar datos Area Base=

Resultados 7 Volumen =

Altura h =

28 Unidades c

4

PIRÁMIDE Ingresar datos

Resultados

Área Base=

10

Altura h=

6

Volumen =

20 Unidades c

CILINDRO Ingresar datos

CARMEN DÍAZ

Resultados

Radio =

2

Altura h=

6

Volumen = 75.36 Unidades c

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMETRICOS REGULARES CONO Ingresar datos Radio =

Resultados 3 Volumen = 37.68 Unidades c

Altura h =

4

ESFERA Ingresar datos Radio =

CARMEN DÍAZ

Resultados 4

Volumen = 267.9 Unidades c

Algoritmo Para el cálculo del Volumen de Sólidos Irregulares Para calcular el volumen de un sólido irregular, se puede emplear el principio de Arquímedes, el cual señala que: “todo cuerpo sumergido dentro de un fluido experimenta una fuerza ascendente llamada empuje, equivalente a la masa del fluido desalojado por el cuerpo”. Este método se denominó como Medición de Volumen por Desplazamiento de líquidos. Para determinar el volumen de una roca (o cualquier otro sólido de forma irregular), se puede seguir el siguiente algoritmo: Paso 1: Tomar un recipiente con la forma de algún sólido regular conocido (preferiblemente un cilindro o un prisma rectangular). Si el recipiente está graduado mejor. Paso 2: Verter agua en el recipiente hasta una marca en la que se esté seguro que se puede sumergir el sólido irregular completamente. Paso 3: Medir el volumen de agua en el recipiente teniendo en cuenta altura, forma del recipiente y fórmula a aplicar según lo estudiado en el tema anterior. Nota: El volumen de agua se puede expresar en unidades cúbicas o en litros o mililitros, teniendo en cuenta que 1 Litro equivale a 1000 cm3 y 1 ml equivale a 1 cm3. Si se utiliza una probeta o cilindro graduado en ml, todo el proceso se facilita. Paso 4: Colocar la roca o sólido irregular dentro del recipiente con agua, hasta que se sumerja totalmente. El nivel de agua habrá ascendido. Paso 5: Calcular nuevamente el volumen de agua teniendo en cuenta la nueva altura o nivel. Paso 6: Calcular la diferencia entre el resultado obtenido en el paso 5 y el resultado obtenido en el paso 3. La diferencia determina el volumen de la roca o sólido en estudio. Volumen del sólido = Volumen final – Volumen inicial Ejemplo: Calcular el volumen de una piedra que se sumerge en un recipiente de forma cilíndrica de 4 cm de radio, con nivel de agua inicial de 10 cm y nivel final de 12 cm después de colocar la piedra en su interior. Paso 1: El recipiente es un cilindro y su volumen se calcula con la fórmula 𝑉 = ℎ × 𝜋𝑟 2 Paso 2: Se vierte agua hasta 10 cm de altura Paso 3: Se calcula el volumen de agua en el recipiente. Se toma ℎ = 10 𝑐𝑚 𝑦 𝑟 = 4 𝑐𝑚

CARMEN DÍAZ

𝑉 = ℎ × 𝜋𝑟 2 = 10 𝑐𝑚 × 𝜋 × (4 𝑐𝑚)2 = 10 𝑐𝑚 × 𝜋 × 16 𝑐𝑚2 ≈ 502,65 𝑐𝑚3 Paso 4: Se sumerge la piedra dentro del recipiente con agua. El nivel de agua asciende hasta los 12 cm de altura. Paso 5: Se calcula el nuevo volumen teniendo en cuenta la nueva altura de 12 cm 𝑉 = ℎ × 𝜋𝑟 2 = 12 𝑐𝑚 × 𝜋 × (4 𝑐𝑚)2 = 12 𝑐𝑚 × 𝜋 × 16 𝑐𝑚2 ≈ 603,19 𝑐𝑚3 Paso 6: Se calcula la diferencia entre el resultado obtenido en el paso 5 y el resultado obtenido en el paso 3. La diferencia determina el volumen de la roca o sólido en estudio. Volumen del sólido = Volumen final – Volumen inicial 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎 = 603,19 𝑐𝑚3 − 502,65 𝑐𝑚3 = 100,54 𝑐𝑚3

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Bibliografía

https://prezi.com/-9iffjq17-u_/importancia-de-los-algoritmos-en-la-vida-y-en-lainformatica/?frame=8b866353a68012cf7ab33efdb25c84e2fbb7e664

https://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/curriculos_ex/ n1g10_fproy/nivel1/programacion/unidad1/leccion1.html

Biblioteca virtual SENA https://sena.territorio.la/content/index.php/institucion/Titulada/institution/SENA/Tran sversales/OVA/Matematicas_Competencia_Clave/CF2_MATEMATICAS/index.htm l

Libro Aritmética teórico práctica de Baldor

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