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CÁLCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE EL MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS

PROFESOR RICARDO ENRIQUE GALDOS TELLEZ

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INTRODUCCION OBJETIVO GENERAL: El objetivo de este trabajo es que el estudiante o una persona interesada, sea capaz de resolver problemas sobre Cálculo de volúmenes mediante el método de capas cilíndricas. Al finalizar el trabajo el estudiante poseerá la capacidad de: 1) Emplear las principales técnicas del Cálculo integral (volúmenes) y aplicación adecuada de sistemas de información que tenga que desarrollar e implementar. 2) Resolver problemas de volúmenes y poseer la capacidad suficiente para estudiar, interpretar y aplicar otras técnicas de solución, en forma autodidacta.

OBJETIVO ESPECÍFICO: Al finalizar el curso el estudiante o persona interesada, estará en condiciones de: 1) Objetivo 1: Determinar volúmenes mediante el desarrollo de capas cilíndricas. 2) Objetivo 2: Aplicar por el método de casquetes cilíndricas definidas para calcular volúmenes. 3) Objetivo 3: Investigar y estudiar en forma autodidacta, la solución de otros tipos de ecuaciones más avanzadas.

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INDICE

NOTAS AL MARGEN....................................................................................................................... 4 Cálculo de volúmenes ............................................................................................................... 4 Método Capas cilíndricas .......................................................................................................... 4 Los problemas suscitados durante el avance del trabajo fueron: ............. ¡Error! Marcador no definido. Volúmenes por casquetes cilíndricos ............................................................................................ 4 Introducción .............................................................................................................................. 4 Planteamiento general .............................................................................................................. 8 El método de los casquetes cilíndricos ................................................................................. 8 Regla general: ...................................................................................................................... 12 EJEMPLO 1 ................................................................................................................................... 13 EJEMPLO 2 ................................................................................................................................... 14 EJEMPLO 3 ................................................................................................................................... 15 EJEMPLO 4 ................................................................................................................................... 16 EJEMPLO 5 ................................................................................................................................... 18 EJEMPLO 6 ................................................................................................................................... 19

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NOTAS AL MARGEN Cálculo de volúmenes Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

MétodoCapas cilíndricas Otros nombres del método:  de los “cascarones” cilíndricos.  de las “cáscaras” cilíndricas  de las “envolturas” o “envolventes” cilíndricas.  En inglés: “cylindricalshells”

Volúmenes por casquetes cilíndricos

Introducción El método de cálculo integral que se explica en esta página, el de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.

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Piénsese, por ejemplo, en el problema de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

Figura: 1

A primera vista puede parecer que el método más adecuado para este cálculo consiste en hacer repetidas secciones transversales horizontales del sólido −tajarlo por decirlo así− y en integrar luego los volúmenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades.

La primera que

las

está

en

secciones

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transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la región de integración en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso.

En cambio, el método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en esta situación.

Básicamente consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.

En la que se puede ver cómo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución.

Es por esto por lo que a este método se le conoce también como el método de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los "cascarones" cilíndricos.

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Pero antes de entrar en detalles es importante entender bien la estructura geométrica que está involucrada en este método.

Quizás resulte útil pensar en objetos cotidianos que presentan la misma configuración. El primero que viene a la mente es posiblemente un trozo de cebolla pues es bien conocido el hecho de que en su interior los tejidos de un trozo de este vegetal están dispuestos en una serie de capas más o menos cilíndricas que, cuando se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la cebolla.

Figura: 4

También puede resultar útil pensar en la estructura interna de un tronco de árbol pues ésta consiste en una serie de casquetes, hechos de distintas clases de madera, aproximadamente cilíndricos, que en los cortes transversales se ven como una serie de anillos de diferente color.

Según los biólogos, al contar estos anillos se puede establecer la edad de los árboles pues sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su parte superior, sino a lo ancho. La única parte de los troncos encargada del crecimiento es una fina capa que los rodea, llamada cambium.

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En los árboles de las zonas de clima templado, el crecimiento no es constante y como la madera que produce el cambium en primavera y en verano es más porosa y de un color más claro que la producida en invierno, de ello resulta que el tronco del árbol está compuesto por un par de anillos concéntricos nuevos cada año, uno más claro que el otro. Figura: 5

Planteamiento general El método de los casquetes cilíndricos Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura siguiente:

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Naturalmente

procedemos

restando

el

volumen V1 del

cilindro

interior

al

volumen V2del cilindro exterior, así:

En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos r = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:

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Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en una caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la figura siguiente:

Ahora bien, consideremos el problema general:

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

La región aparece representada en la anterior y el sólido de revolución que engendra en la figura siguiente:

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Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo ancho: x = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo.

Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo grosor es x = xi−1 − xi. Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:

Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la siguiente figura y después sumar los volúmenes de todos ellos:

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Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:

Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente:

Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:

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Los ejemplos siguientes sirven para ilustrar ciertos casos especiales en los que hay que hacer unas pequeñas modificaciones a la regla para ajustarla a una situación determinada.

Ejemplo 1 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

Solucion: Volvamos al problema planteado al comienzo de esta página, el de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3. Como los señalamos en la Introducción, este volumen no puede calcularse fácilmente con el método de las secciones transversales pero sí con el método de los casquetes cilíndricos. En este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) como lo muestra la figura siguiente y por eso, la integral para el volumen es:

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

3

2 x f ( x) dx 

0

 2  2

 

3

x( x 3  4 x 2  3 x  1) dx

0 3

( x 4  4 x 3  3x 2  x ) dx

0 3

 x5 99 x2  4 3  2    x  x     2 0 5  5

EJEMPLO 2 Halla el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y=2x, y=x/2 y x=1,alrededor del eje y.

 

1

2 xh dx

0 1

x 2 x (2 x  ) dx 2 0

x2 2 (2 x  ) dx 2 0 1

 3x 2 (  2 ) dx 1

2

2

0

1

 3 x3  3   2  2 ( )  3  2  2 0 14

Como vamos a usar el método del casquillo cilíndrico, sobre la región R trazamos un segmento que sea PARALELO al eje de rotación, como se muestra en la figura de abajo. Determinemos ahora el radio y la altura del casquillo. El radio r del casquillo en nuestro caso es x; la altura h del casquillo es, como se puede ver en la figura

h  2x 

x 2

EJEMPLO 3 Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y .La región comprendida, en el primer cuadrante, es el de la función F(x)= -3x+4

  

V

3

(2 x) f ( x) dx

0 3

(2 x)(3 x  4) dx

0

 2



3

(3 x2  4 x) dx

0

 2 (  x 3  2 x 2 ) 

3 0

 2 ( 9)  (0)  V  18

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EJEMPLO 4 Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x2 + 4x − 3, por la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

Esta vez, los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:

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g ( x)  x3  6 x2  12 x  5 f ( x )   x 2  4x  3 En este caso, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura:

g ( x)  f ( x )  ( x 3  6 x 2  12x  5)  ( x 2  4x  3)  x3  5 x2  8 x  2.



3

2 x  g ( x)  f ( x) dx 

1

 2 



3

1



3 1

2 x  x3  5 x 2  8 x  2 dx 3

 x5 5 x 4 8 x3 4 3 2  x  5 x  8x  2 x dx  2  5  4  3  x 2   1



3 292 12 x5  75 x4  160 x3  60 x2   . 1 30 15

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EJEMPLO 5 Determinar el volumen del solido generado al hacer girar en torno al eje x la region acotada por las curvas de la función x =16-y2 ; x  0; y  0; 0  y  4

b

V

 2 y f ( y) dx a

 2

4

 (16 y  y 0

3

) dy 4

4  y   2 (8 y 2  )  4 0 

  256   2  (8(16)  )   0  4     2 (64)  128

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EJEMPLO 6 Hallar el volumen del sólido de revolución que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las rectas 2 verticales x = 2, x = 3, donde: f ( x)  2  x  2 x .

El radio de un casquete cilíndrico cualquiera, que tiene como altura f (x), es x − 1, y no x como en los casos anteriores, porque el sólido tiene como eje de rotación a la recta x = 1.

 En este caso, la integral del volumen es:

 2 ( x 1)  2  x 2 x dx  4 ( x 1) dx  2 ( x 1) x  

V

3

2

2

3

3

2

2

 2 x dx

2

 hacer la sustitución u = x2 − 2x.  Por lo tanto, du = 2(x − 1)dx.  Los límites de integración: si x = 2, entonces u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Así:

V  4



3

( x 1) dx  

2 3



3

u1 2 du 0

 x2  2  4     x     u 3 2   6  2 3  3 0 2 2 3

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BIBLIOGRAFÍA  EDWARDS, HENRY - PENNEY, DAVID. Calculus: Early TranscendetaShells  STEWART, JAMES. Calculus: Early Transcendentals, Fifth Edition, Brooks/Cole, 2003, Chapter 6.3: Volumes by Cylindrical Shells, p. 455-459.  SWOKOWSKI, EARL. Cálculo con geometría analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, 1989, Capítulo 6.3. Determinación de volúmenes mediante envolventes cilíndricas, p. 297-301.  VARBERG, DALE - PURCELL, EDWIN. Calculus, Seventh Edition, Prentice-Hall, 1997, Chapter 6.3. Volumen of Solids of Revolución: Shells, p. 313-319.  http://html.rincondelvago.com/calculo-de-volumenes_2.html

 http://es.scribd.com/doc/54887620/14/B-Metodo-de-las-capas-cilindricas

 www.youtube.com/watch?v=Sm7wGvBeSxU

 http://www.youtube.com/watch?v=gsSBukzFp3w  http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/index.htm

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