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WiSe 15/16, Hausaufgaben Pflicht für die KLausurzulassung. Lösungen....

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L¨ osungen 1

Mathematik 1

Media Systems

Aufgabe 1. Meine L¨ osungen unten sind nat¨urlich nur Beispiele. Ihre k¨onnen auch ganz anders aussehen. Sie sollten nur darauf achten, dass Ihre L¨ osungen zur jeweiligen Aussage passen. (Wenn z.B. von einer positiven nat¨ urlichen Zahl n die Rede ist, d¨ urfen Sie nicht gerade n = 0 f¨ ur Ihr Gegenbeispiel w¨ahlen.) (i) Die Aussage stimmt, wenn a und b positiv sind. Wenn man aber z.B. a = −2, b = 1 und n = 2 einsetzt, dann stimmt sie nicht mehr. (ii) Die Aussage stimmt wieder f¨ ur positive Zahlen a und b, aber nicht mehr, wenn man etwa a = −1, b = 1 und n = 2 wa¨hlt. (iii) Die Aussage stimmt nicht, wenn man n = 0 w¨ ahlt und f¨ ur a und b z.B. 1 und 2 einsetzt. Wenn man f¨ ur n nur positive Werte zul¨asst, ist die Aussage korrekt. (iv) Hier kann man z.B. a = 1, b = 2 und z = −1 nehmen. (v) Die Aussage stimmt nicht, wenn c = 0 ist. Dann kann man z.B. a = 1 und b = 42 w¨ahlen. Wenn man c 6= 0 fordert, ist die Aussage richtig. allig tats¨ achAufgabe 2. Der Taschenrechner berechnet (22 )2 , also 16. Das ist zuf¨ lich der richtige Wert. Das klappt aber nicht mehr, wenn Hein mit der gleichen 3 Methode 33 ausrechnen will und stattdessen auf dem Taschenrechner (33 )3 eintippt. Aufgabe 3. (i) F¨ ur k kann man hier jede nat¨ urliche Zahl außer 0 einsetzen, es wird nie stimmen. Richtig w¨are k 2 + 6k + 9 (binomische Formel!) gewesen. (ii) Hier gibt es u ur das die Gleichung richtig werden kann. Auf ¨ berhaupt kein k, f¨ der rechten Seite muss nat¨urlich 2k + 2 stehen. (iii) Die Gleichung w¨ urde nur f¨ ur k = 1 stimmen, jeder andere Wert eignet sich als Gegenbeispiel. Die richtige rechte Seite w¨are 17 gewesen. (iv) Wie im ersten Fall eignet sich jede nat¨ urliche Zahl außer 0 zum Falsifizieren. Das Ermitteln der rechten Seite ist hier etwas komplizierter: Man sollte im Z¨ ahler die erste und im Nenner die dritte binomische Formel erkennen. Dann k+1 . kann man k + 1 herausk¨ urzen und erh¨alt k−1 ahr Aufgabe 4. Da 210 ungef¨ ahr 1000, also 103 ist, ist 21000 = (210 )100 ungef¨ 3 100 300 (10 ) = 10 , und diese Zahl hat 301 Dezimalstellen. Wenn man es tats¨ achlich ausrechnet, erh¨alt man eine Zahl mit 302 Stellen. Die Sch¨atzung ist also ziemlich gut. Prof. Dr. Edmund Weitz

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05.10.15

L¨ osungen 1

Mathematik 1

Media Systems

ur x2 = 3 sieht der Beweis wie folgt aus: Aufgabe 5. F¨ Angenommen, die obige Gleichung ließe sich durch eine rationale Zahl x l¨osen. aren teilerDann k¨ onnte man x als gek¨ urzten Bruch ab schreiben, d.h. a und b w¨ fremde nat¨ urliche Zahlen. Aus ( ba )2 = 3 erh¨alt man durch einfaches Umformen a2 = 3b2 . Weil die rechte Seite der Gleichung durch 3 teilbar ist, muss die linke Seite – also der Wert a2 – auch durch 3 teilbar sein. Dann muss aber bereits a ein Vielfaches von 3 sein. Das bedeutet, dass man eine nat¨ urliche Zahl c mit a = 3c finden kann. Setzt man das in die obige Gleichung ein, so wird daraus (3c)2 = 3b2 und nach Ausmultiplizieren 9c2 = 3b2 . Jetzt kann man auf beiden Seiten durch 3 dividieren und erh¨alt 3c2 = b2 . Genau wie eben kann man nun folgern, dass auch b durch 3 teilbar sein muss. Das ist aber ein Widerspruch, weil a und b ja als teilerfremd vorausgesetzt waren. Das zeigt, dass unsere Annahme falsch war. Ersetzt man 3 durch 4, dann stimmt die Argumentation an einer Stelle nicht mehr: Wenn a2 durch 3 teilbar ist, dann muss auch a durch 3 teilbar sein, weil 3 eine Primzahl ist. Aber wenn a2 durch 4 teilbar ist, folgt daraus nicht, dass a durch 4 teilbar ist. (Z.B. ist 6 · 6 = 36 durch 4 teilbar, 6 aber nicht.) Aufgabe 6. 3

−2

√1 3

3 2

X X

X

X X

X

X

X

X

X

X X

X

. . . ist keine nat¨ urliche Zahl. . . . ist eine ganze Zahl.

X X

X

. . . ist eine nat¨ urliche Zahl.

X X

X

1 2

0

X

. . . ist keine ganze Zahl.

X

. . . ist eine rationale Zahl.

X

. . . ist keine rationale Zahl.

X

. . . ist eine irrationale Zahl.

X

X

X

X

. . . ist keine irrationale Zahl.

X

X

X

. . . ist eine reelle Zahl. . . . ist keine reelle Zahl.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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05.10.15

L¨ osungen 1

Mathematik 1

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√ √ √ Aufgabe 7. Es gilt 2 2 = 4 = 2, was sicherlich eine rationale Zahl ist. Alle anderen Zahlen sind nicht rational, was jeweils daran liegt, dass Summe und Produkt von rationalen Zahlen wieder rationale Zahlen sind: √ √ √ √ W¨are 1+ 2 rational, so w¨ are auch (1+ 2)−1 = √ 2 rational. W¨ a re 2 2 rational, √ √ √ 1 so w¨are ebenfalls 2 · (2 2) = 2 rational. W¨ are auch are 2 + √3 rational,√so w¨ √ √ 2 √ 5 1 ( 2 + 3) = 5 + 2 6 rational und damit auch 2 (5 + 2 6) − 2 = 6. Aufgabe 8. Das erste Rechteck hat die Seitenl¨ angen 1 und 3. Das arithmetische Mittel von 1 und 3, also die eine Seite des zweiten Rechtecks, ist 2. Daher muss die andere Seite die L¨ange 32 haben, weil das Produkt 2 · 23 ja wieder 3 ergeben soll. Das arithmetische Mittel von 2 und 23 ist 47. Die andere Seite hat also die L¨ange 97 12 . Das arithmetische Mittel von 47 und 127 ist schließlich 56 und der andere Wert 7 168 damit 97 . √ Die gesuchte irrationale Zahl 3 liegt also zwischen diesen beiden Werten, deren 97 1 und 168 ist. Wenn man als Approximation die Mitte von 56 nimmt, Abstand 5432 97 1 o chstens kann der Fehler somit h¨ sein, d.h. das Ergebnis ist auf mindestens 2·5432 vier Stellen nach dem Komma richtig. √ Tats¨achlich stimmen die Dezimalbr¨ uche f¨ur die og. Mitte sowie f¨ ur 3 sogar noch ¨uberein, wenn man auf acht Stellen nach dem Komma rundet: 1.73205081.

Aufgabe 9. Es ist

 √

2

√ √ 2 2

=

√

2

√ √ ( 2· 2)

=

√

2

2 = 2.

√ √2 Es gibt nun zwei M¨oglichkeiten: ahlen wir Entweder ist 2 rational, dann w¨ √ √ √2 √ √2 √ a = b = 2. Oder 2 ist irrational, dann w¨ ahlen wir a = 2 und b = 2. In jedem Fall sind a und b irrational, ab ist aber rational. Beachten Sie, dass wir eine definitive Aussage machen k¨ onnen, ohne zu wissen, welcher von den beiden F¨allen eintritt.1 Aufgabe 10. Achten Sie jeweils auf korrekte Klammerung. Benutzen Sie lieber mehr Klammern als n¨otig, wenn Sie sich nicht sicher sind. log10 1000000 = log10 106 = 6 1

Man weiß aber nach dem Satz von Gelfond-Schneider, dass dent) ist.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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(i) √ 2

√ 2

irrational (sogar transzen-

05.10.15

L¨ osungen 1

Mathematik 1 √ 2

Media Systems

1

10 = log10 10 2 = 21 √ √ 2 1 3 log5 3 25 = log5 52 = log5 (52 ) 3 = log5 5 3 = 23 log6 12 + log6 18 = log6 12 · 18 = log6 216 = log6 63 = 3 − log11 6 − log11 7 = −(log11 6 + log11 7) = − log11 6 · 7 = − log11 42 log10

(ii) (iii) (iv)

(11− log11 6−log 11 7 )−1 = (11− log11 42 )−1 = 11(−1)·(− log 11 42) = 11log11 42 = 42 q √ 1 1 1 1 1 1 3 √ 1 6 2· 32 = 2 6 · (32 2 ) 3 = 2 6 · 32 6 = (2 · 32)6 = (26 ) 6 = 2

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(v) (vi)

05.10.15

L¨ osungen 1

Mathematik 1

Media Systems

Zur Knobelaufgabe: Hier sehen Sie den Geheimplan der DKP:

Und hier die konspirative Skizze der KGB-Anh¨ anger:

Wie findet man sowas heraus? Im Prinzip einfach durch (systematisches) Herumprobieren. Die ganze Sache hat u¨brigens einen durchaus ernsten Hintergrund. Man nennt so eine Maßanfertigung“ von Wahlbezirken Gerrymandering 2 und insbesondere ” utzung3 in den USA wird das regelm¨aßig hochprofessionell mit Computer-Unterst¨ durchgef¨ uhrt. 2 3

Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Gerrymandering. Mit anderen Worten: Die (bzw. deren Rechner) probieren auch nur herum.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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05.10.15

L¨ osungen 2 Aufgabe 1.

Mathematik 1

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(i) (A3 ∪ A5 ) ∪ A6 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(ii) A3 ∪ (A5 ∪ A6 ) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (iii) (A2 ∩ A3 ) ∩ A5 = {5} (iv) A2 ∩ (A3 ∩ A5 ) = {5} (v) A1 ∪ (A3 ∩ A4 ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (vi) (A1 ∪ A3 ) ∩ (A1 ∪ A4 ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (vii) A2 ∩ (A3 ∪ A4 ) = {3, 4, 5} (viii) (A2 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A4 ) = {3, 4, 5} Das hier jeweils paarweise dieselben Ergebnisse herauskommen, ist nat¨urlich kein Zufall. Die ersten vier Ergebnisse zeigen exemplarisch die Assoziativit¨at der Vereinigung bzw. des Durchschnitts. Die n¨ achsten vier zeigen die Distributivit¨at der beiden Operationen. Aufgabe 2. Die Aussagen (ii), (vii), (viii), (xii), (xvi), (xvii) und (xx) sind falsch, alle anderen sind richtig. Sollte Ihnen in einzelnen F¨allen auch nach wiederholtem Ansehen der Videos oder Konsultation eines Lehrbuchs nicht klar sein, warum das so ist, melden Sie sich bitte bei mir. (Aber nicht erst zwei Wochen vor der Klausur!) Aufgabe 3. Wenn durch das Wegnehmen der Elemente von Y aus X nichts entfernt wird, dann ist keines der Elemente von Y eines von X gewesen. Das heißt aber gerade, dass X und Y kein Element gemeinsam haben. Die dritte Aussage gilt also. Und wenn die beiden Mengen kein Element gemeinsam haben, dann kann man nat¨urlich ebenso auch aus Y alle Elemente von X entfernen, ohne dass sich etwas a¨ndert. Daher gilt auch die erste Aussage. Die zweite Aussage gilt aber nicht. Ein Gegenbeispiel sind etwa X := {0} und Y := {1}. Dann gilt zwar X \ Y = X, aber nicht Y ⊆ X . Aufgabe 4.

(i) X △ Y = {1, 2, 3, 4} \ {2, 3} = {1, 4}.

Man sieht an der Definition, dass △ kommutativ ist; Y △ X ist also dieselbe Menge. (ii) Wenn B ⊆ A gilt, dann ist A ∪ B = A und A ∩ B = B, also A △ B = A \ B .

Prof. Dr. Edmund Weitz

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12.10.15

L¨ osungen 2

Mathematik 1

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(iii) Wir wissen (siehe Skript): Ist C \ D = ∅, dann ist C ⊆ D. Wenn also A △ B = ∅ gilt, dann ist A ∪ B ⊆ A ∩ B. Das heißt aber: Jedes Objekt, das Element von A oder von B ist, ist Element von A und von B. Das kann nur der Fall sein, wenn A = B ist.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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12.10.15

L¨ osungen 3

Mathematik 1

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Aufgabe 1. (iii) ist falsch, weil Q keine Teilmenge von N ist. (v) ist falsch, weil Q eine Teilmenge von Q ist. Der Durchschnitt ist also {Q}. ort, Und schließlich ist (vi) falsch, weil zur linken Menge z.B. das Element {0, 1} geh¨ zur rechten aber nicht. Aufgabe 2. Aussage (ii) ist falsch, weil N ∩ Q eine Menge ist und Q nur Zahlen enth¨alt. (iv) ist falsch, weil

1 2

urliche Zahl ist. keine nat¨

(v) ist falsch, weil {42} eine Menge ist, sowohl N als auch Q aber nur Zahlen enthalten. (viii) ist falsch, weil z.B. −2 ein Element von Z, aber keines von N – und damit auch nicht von N ∩ Q – ist. Alle anderen Aussagen sind wahr. Aufgabe 3. A und S sind beide die Menge {{1}, {2}, {3}, . . . }. B und I sind gleich, denn B ist die Menge aller Br¨ uche mit positivem Nenner und nicht-negativem Z¨ ahler, also die Menge aller nicht-negativen rationalen Zahlen. {5y | y ∈ Q ∧ y ≥ 0} ist dieselbe Menge, denn f¨ur jede (nicht-negative) rationale Zahl q ist auch 5q eine (nicht-negative) rationale Zahl und umgekehrt. C und H sind identisch. Es handelt sich in beiden F¨ allen um die Menge Z der ganzen Zahlen. D und F sind identisch. E und P beschreiben beide die Menge der Teilmengen von N, die das Element 42 enthalten. G und K sind beide die leere Menge. Die einzigen reellen Zahlen, die gleich ihrem eigenen Quadrat sind, sind 0 und 1, aber die sind beide nicht negativ. Daher enth¨alt G kein Element. Um zu K zu geh¨oren, m¨ ußte eine Zahl sowohl kleiner als auch gr¨ oßer als 1 sein, was nicht m¨oglich ist. Bei J und R handelt es sich jeweils um {∅}. (Im zweiten Fall, weil π keine rationale Zahl ist.) L und O sind beide die Potenzmenge von {42}. N und Q sind gleich, weil X ∩ N = X dasselbe bedeutet wie X ⊆ N.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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19.10.15

L¨ osungen 3

Mathematik 1

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Schließlich sind M und T dieselbe Menge, weil C und H identisch sind, es sich also beide Male um die Menge {Z} handelt.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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19.10.15

L¨ osungen 4

Mathematik 1

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Aufgabe 1. Aus Aussage (iii) folgt zun¨ achst, dass nicht alle drei schuldig sein k¨ onnen. Außerdem folgt aus dieser Aussage, dass Euler nicht an der Tat beteiligt war, wenn es zwei Schuldige gab. Die Variante, dass Gauß und Hilbert die beiden T¨ater waren, ist aber nach (ii) nicht m¨ oglich, weil dann wieder Euler ins Spiel ¨ k¨ ater ame. Nach diesen Uberlegungen ist schon mal klar, dass es um einen Einzelt¨ geht. Nach (ii) kann dieser Einzelt¨ ater aber nicht Hilbert gewesen sein. Weil also Hilbert mit Sicherheit unschuldig ist, folgt aus (iv), dass Gauß der T¨ ater ist. Aufgabe 2. Da das graue Quadrat ein Thog ist, muss der Spielleiter die passende Farbe (grau) und die verkehrte“ Form (Kreis) (Variante 1) oder umgekehrt die ” falsche“ Farbe (weiß) und die passende Form (Quadrat) (Variante 2) ausgew¨ ahlt ” haben. In beiden F¨ allen w¨are der weiße Kreis auch ein Thog. Diese Figur ist also mit Sicherheit einer. In Variante 1 w¨are das weiße Quadrat kein Thog, in Variante 2 auch nicht. Es ist also mit Sicherheit kein Thog. Und auch der graue Kreis ist in beiden Varianten kein Thog. Aufgabe 3. Wenn das Geld nicht in K¨astchen 3 w¨ are, dann w¨aren die Schilder auf dem zweiten und dem vierten K¨astchen wahr, was nach Aufgabenstellung nicht sein kann. Wenn das Geld in K¨astchen 3 ist, dann ist nur der Satz auf K¨ astchen 3 wahr. Also ist das Geld im dritten K¨ astchen. Aufgabe 4. Da die vier Damen und Herren alle Logiker sind, haben Sie die Frage des Wirtes w¨ ortlich genommen: Wollt Ihr alle ein Bier?“ Sie hatten sich vorher ” aber nicht abgesprochen und wissen daher nicht, ob die anderen Bier wollen oder nicht. Daraus, dass Emil nicht weiß, ob alle ein Bier wollen, kann man aber schließen, dass er ein Bier will. Sonst k¨ onnte er ja mit Sicherheit sagen, dass nicht alle ein Bier wollen. Nachdem Emil geantwortet hat, weiß Helena zwar, dass Emil ein Bier will, aber sie kann immer noch keine definitive Antwort geben. Wie im Fall von Emil m¨ ussen wir schließen, dass Helena auch ein Bier will, denn sonst h¨ atte Sie mit Nein“ geantwortet. Und ebenso k¨ onnen wir aus Kurts Antwort schließen, ” dass er ein Bier m¨ ochte. Damit hat Ruth gen¨ ugend Informationen: Sie kann sich wie wir eben ¨uberlegen, dass die drei anderen mit Sicherheit ein Bier wollen, die Frage aber nicht abschließend beantworten k¨ onnen, weil sie nicht wissen, was Ruth m¨ ochte. Ruth weiß Prof. Dr. Edmund Weitz

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26.10.15

L¨ osungen 4

Mathematik 1

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aber, dass Sie ein Bier trinken will, und kann nun f¨ ur alle vier zusammen mit Ja“ ” antworten. Aufgabe 5.

(i) Es gibt (mindestens) einen Topf, auf den kein Deckel passt.

(ii) Zu jedem Akku l¨ asst sich ein Handy finden, das von diesem Akku nicht aufgeladen werden kann. (iii) Jede reelle Zahl ist Nullstelle eines Polynoms. (iv) Es gibt eine kleinste nat¨ urliche Zahl. Keine der obigen Antworten ist u¨brigens so zu verstehen, dass sie die einzig richtige ist. Da es um nat¨ urliche Sprache geht, gibt es immer viele M¨oglichkeiten, denselben Sachverhalt zu formulieren. Aufgabe 6. Die gesuchte Figur ist das schwarze F¨ unfeck. Es ist zun¨ achst sinnvoll, die Figuren nach Formen (hier Spalten) und Farben (hier Zeilen) zu sortieren:

Wenn die ausgew¨ahlte Figur der rote Kreis oder das blaue Siebeneck w¨ are, dann w¨usste Spielerin B allein durch Angabe der Form, um welche Figur es sich handelt, weil jede dieser beiden Formen nur einmal auftaucht. Weil Spieler A weiß, dass B nicht weiß, welche Figur ausgew¨ahlt wurde, muss er wissen, dass es sich nicht um eine dieser beiden Figuren handelt. Das kann er nur wissen, wenn er weiß, dass die Figur weder rot noch blau ist, weil er ja nur Informationen ¨uber die Farben hat. Nachdem Spielerin B diese Information nun auch hat, weiß sie, um welche Figur es sich handelt. Daraus kann man schließen, dass sich die Figur in der zweiten, dritten oder vierten Spalte befinden muss. Den in allen diesen F¨ allen hatte B urspr¨ unglich zwei Figuren zur Auswahl, nach der Aussage von A wusste sie aber, welche von beiden es war.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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26.10.15

L¨ osungen 4

Mathematik 1

Media Systems

Das hat A nat¨ urlich auch verstanden. Er weiß nun, dass die Figur ein weißes Viereck, ein schwarzes F¨unfeck oder ein weißes Sechseck sein muss. Da er aus dieser Information und der ihm bekannten Farbe auf die Figur schließen kann, kann es sich nur um das schwarze F¨ unfeck handeln.

Prof. Dr. Edmund Weitz

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26.10.15

L¨ osungen 5

Mathematik 1

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Aufgabe 1. (i) Hier liegt der Fall eines Intervalls vor, das genau ein Element hat: [7, 7] = {7}. (ii) Da jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, handelt es sich einfach um die Menge Z. (iii) x2 ≤ 100 ist gleichbedeutend mit |x| ≤ 10. Zusammen mit der Bedingung x > 3 ergibt sich also, daß die besagte Menge das Intervall (3, 10] ist. aßt sich ¨aquivalent umformen zu 2x < 14 bzw. x < 7. Da nur (iv) 2x − 5 < 9 l¨ Elemente aus (0, 42] zugelassen sind, wird das Intervall (0, 7) beschrieben. (v) Ist y ∈ [0, 1] (also 0 ≤ y ≤ 1), so ist y 2 ebenfalls aus diesem Intervall, insbesondere also y 2 ∈ / (1, 2]. Daher handelt es sich hier um die leere Menge. (vi) Die Menge besteht aus allen Produkten zweier nicht-positiver ganzer Zahlen. Das sind genau die nat¨ urlichen Zahlen, d.h. man k¨ onnte f¨ur diese Menge auch einfach N schreiben. Aufgabe 2. Die erste Aussage ist wahr, denn zu jeder reellen Zahl r kann man als gr¨ oßere nat¨urliche Zahl z.B. 1 + ⌈r⌉ w¨ ahlen.1 Die zweite Aussage ist falsch, denn zu jeder nat¨ urlichen Zahl n gibt es mindestens eine reelle Zahl (z.B. n + 1), die nicht kleiner als n ist. Eigentlich ging es bei dieser Aufgabe aber noch mal um die Formulierung im Sinne der Pr¨adikatenlogik. Wenn man die beiden Aussagen formal ausdr¨ uckt, sehen sie so aus: ur alle r ∈ R gilt: Es gibt ein n ∈ N mit der Eigenschaft: n > r . (i) F¨ (ii) Es gibt ein n ∈ N mit der Eigenschaft: F¨ ur alle r ∈ R gilt: n > r . Obwohl beides sehr a¨hnlich klingt, ist die Bedeutung sehr unterschiedlich. Im ersten Fall gibt es zu jedem r ein n, es kann aber zu unterschiedlichen reellen Zahlen r unterschiedliche nat¨ urliche Zahlen n geben. Im zweiten Fall hingegen wird behauptet, dass es (mindestens) eine nat¨ urliche Zahl n gibt, die gr¨ oßer als alle reellen Zahlen r ist, was nat¨ urlich nicht stimmt.

1

Dieser Zusammenhang zwischen R und N wird auch als Archimedisches Axiom bezeichnet. Das ist nicht so trivial, wie es vielleicht auf den ersten Blick zu sein scheint, denn die entscheidende Frage ist, warum es die nat¨ urlich Zahl ⌈r⌉ ¨uberhaupt gibt. . .

Prof. Dr. Edmund Weitz

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02.11.15

L¨ osungen 5

Mathematik 1

Media Systems

Aufgabe 3. Die Menge. . .

A

B

C

D

H

ist identisch mit der Menge. . .