Allt om Linjär Algebra på 27 sidor PDF

Preview

Summary

ALGEBRA GEOMETRI de e fan allting. DE ALLT SKIT DU SKIT I ALLT ANNAT. DE INTE DE Contents Vektorer ........................................................................................................................................ 2 Multiplikation mellan och vektor (vanlig) .......................

Description

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI Seriöst, de här e fan allting.

DE HÄR ÄR ALLT SKIT DU BEHÖVER, SKIT I ALLT ANNAT. STÅR DE INTE HÄR ÄR DE ONÖDIGT

Contents Räkneregler för Vektorer ........................................................................................................................................ 2 Multiplikation mellan skalär och vektor (vanlig) ................................................................................................. 2 Skalärprodukt ...................................................................................................................................................... 2 Kryssprodukt ....................................................................................................................................................... 3 Normen ............................................................................................................................................................... 3 Parameterform........................................................................................................................................................ 4 Linjens parameterekvation ................................................................................................................................. 4 Planets parameterekvation ................................................................................................................................. 4 Från normal- till parameterform ......................................................................................................................... 4 Skärningspunkter .................................................................................................................................................... 5 Två linjer .............................................................................................................................................................. 5 Skärning av ett plan och en linje ......................................................................................................................... 5 Skärning av två plan ............................................................................................................................................ 5 Projektion ................................................................................................................................................................ 7 Matriser ................................................................................................................................................................... 8 Matrismultiplikation ............................................................................................................................................ 9 Gauss-Jordan elimination i matriser/ekvationssystem ......................................................................................... 10 Gauss metod ..................................................................................................................................................... 10 Invers- och Identitetsmatrisen .............................................................................................................................. 12 Linjära Transformationer ...................................................................................................................................... 13 Delrum, Bild och Kärna.......................................................................................................................................... 16 Delrum............................................................................................................................................................... 16 Kärna ................................................................................................................................................................. 17 Baser och basbyten ............................................................................................................................................... 18 Vad är en determinant? ........................................................................................................................................ 21 2x2 matriser ...................................................................................................................................................... 21 Genom att utveckla efter en rad eller en kolonn .............................................................................................. 21 Tredje metoden: genom Gausselemination ...................................................................................................... 22 Minsta-kvadratmetoden ....................................................................................................................................... 23 Egenvärde och Egenvektor.................................................................................................................................... 24 Diagonalisering av en matris ................................................................................................................................. 26 Matrispotenser ..................................................................................................................................................... 27 Gram-Schmidt ortogonalisering och ON-baser ..................................................................................................... 28 Checklista/Begreppsamling ................................................................................................................................... 29

Räkneregler för Vektorer Vektorer delar addition och subtraktion med skalärer. Men i dom andra två räknesätten, multiplikation och division, finns det väldigt stora skillnader. Det finns 4 olika sorters multiplikation och ingen division. De olika metoderna beror på vad som gångras och de ger olika resultat av multiplikationen. Metoderna är:

1.

Vanlig multiplikation: 𝑆𝑘𝑎𝑙ä𝑟 ∗ 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑡 ∗ 𝑣 = 𝑣

𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 ∗ 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑆𝑘𝑎𝑙ä𝑟 𝑣 ∗ 𝑣 = 𝑡

2.

Skalärprodukt:

3.

Kryssprodukt:

4.

Matrismultiplikation:

𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 ∗ 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑣 ∗ 𝑣 = 𝑣

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑠/𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 ∗ 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑠/𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑠/𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐴/𝑣 ∗ 𝐴/𝑣 = 𝐴/ 𝑣

Multiplikation mellan skalär och vektor (vanlig) Den vanligaste multiplikationen som förekommer är den mellan skalärer och vektorer. 𝑣1 Om 𝑣 = [ 𝑣2 ] och t är en skalär så kommer produkten av dessa vara: 𝑣3

Skalärprodukt

𝑣1 𝑡𝑣1 𝑣 𝑡 ∗ 𝑣 = 𝑡 ∗ [ 2 ] = [ 𝑡𝑣2 ] 𝑣3 𝑡𝑣3

Skalärprodukten beräknar vinkelförhållandet mellan två vektorer och betecknas på följande sätt där det läses u skalärt v. Resultatet av skalärprodukten är en skalär.

󰇍 Vi har vektorerna: 𝑢

𝑣1 𝑢1 = [ 𝑢 ] och 𝑣 = [ 𝑣 ] och deras skalärprodukt ges av: 2 2

𝑣1 𝑢1 󰇍 ∗ 𝑣 = [ 𝑢 ] ∗ [𝑣 ] = (𝑢1 ∗ 𝑣1 ) + (𝑢2 ∗ 𝑣2 ) 𝑢 2

2

Då detta har med vinklarna att göra finns det ett par saker att tänka på när man får resultatet: 1. 2. 3.

Om 𝑢󰇍 ∗ 𝑣 = 0 är vektorerna vinkelräta mot varann, dvs ortogonala varann Om 𝑢󰇍 ∗ 𝑣 < 0 bildar vektorerna en trubbig vinkel Om 𝑢󰇍 ∗ 𝑣 > 0 bildar vektorerna en spetsig vinkel

Kryssprodukt Denna form av multiplikation beräknar den vektorn som är vinkelrät mot de två vektorer som multipliceras med varann. Säg att vi har två vektorer, 𝑢 󰇍 och 𝑣 så kommer kryssprodukten(som betecknas med ett X, som i kryss, inte ex) av dessa kunna beräknas enligt:

Om 𝑢 󰇍 och

𝑢1 𝑢2 󰇍𝑢 ×𝑣 = [ 𝑢3

]×[

𝑣12 𝑣3

𝑣 är parallella kommer 𝑢 󰇍×𝑣 = 󰇍0

Det finns även ett specialfall:

]=[

𝑢𝑢23𝑣𝑣31

𝑢1 𝑣2

𝑣23 𝑢31 ] − 𝑣1 𝑢2

Viktigt!

𝑣1 𝑢1 𝑢 󰇍𝑢×𝑣 = [ 2 ] × [ 𝑣2 ] 𝑢3 𝑣3

Kryssprodukten går endast att göra i tre dimensioner, dvs då

𝑣1 Normen av en vektor 𝑣  betecknas ‖𝑣‖ och motsvarar vektorns längd. Om 𝑣 = [𝑣2 ] så ges dess längd 𝑣3 ‖𝑣‖ enligt: Normen

‖𝑣‖ = √𝑣12 + 𝑣22 + 𝑣32

Parameterform

Linjens ekvaktion har hittils skrivits som 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 , likt normalformen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 som används mycket i denna kurs. Här definieras en linje av sin normalvektor som i detta fall ges på sättet 𝑛 󰇍 = [𝑎 ]. Detta innebär att 𝑏 ifall man har normalvektorn till en linje har man även linjens ekvation, och vice versa.

Normalformen för en linje är inte alltid önskvärd då den kräver att vi befinner oss i 𝑅2 , det tvådimensionella xyplanet. Därför introduceras vi i denna kurs parameter ekvationer som beskrivs genom en punkt och med vektorer.

Linjens parameterekvation

Parameterekvationen för en linje i 𝑅3 skrivs med en punkt och en riktningsvektor. Säg att vi har punkten 𝑃 = 𝑣1 𝑃1 [ 𝑃2 ] och vektorn 𝑣 = [ 𝑣2 ] och använder en parameter t kan vi skapa en linje genom parameterekvationen: 𝑣3 𝑃3

𝑣1 𝑃1 𝑥 [𝑦] = 𝑡 [ 𝑣2 ] + [ 𝑃2 ] 𝑣3 𝑧 𝑃3

Anledning till varför parameterekvationen är att föredra när vi arbetar i en dimension högre än 2 är för att vi inte kan beskriva en linje i dess normalform. Ett plans normalekvation skrivs 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, som enbart gäller i tre dimensioner. Vi har återigen ett 𝑎 󰇍 = [ 𝑏]. För beskrivning av plan i dimensioner över 3 används material som beskrivs av sin normalvektor 𝑛 𝑐  och 𝑣 med punkten P enligt: parameterformen som nu har två riktningsvektorer 󰇍𝑢

Planets parameterekvation

𝑢1 𝑣1 𝑥 [𝑦] = 𝑠 [ 𝑢2 ] + 𝑡 [ 𝑣2 ] + 𝑢3 𝑣3 𝑧

Från normal- till parameterform

𝑃1 [ 𝑃2 ] 𝑃3

Om vi har linjen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 och vi vill skriva om denna till parameterform börjar vi med att beskriva uttrycket som en variabel, dvs flytta över alla termer utom en utav dom till högra sidan och kallar därefter en utav termerna för t: {

𝑐 𝑐 𝑏 𝑏 − 𝑥=− 𝑡−𝑎 𝑥 − 𝑎 → [𝑦] = 𝑡 [ 𝑎 ] + [ 𝑎 ] 𝑦=𝑡 0 1

Samma sak gäller för plan också, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 förutom att vi får en till variabel, tex s. Vi ställer upp 𝑥=𝑡 0 0 1 𝑥 𝑦 = 𝑠 1 0 dom på samma sett:{ → [ 𝑦] = 𝑡 [ 𝑎 ] + 𝑠 [ 𝑏] + [ 0𝑑] 𝑑 𝑏 𝑎 −𝑐 −𝑐 −𝑐 𝑧 𝑧= − 𝑡− 𝑠− 𝑐

𝑐

𝑐

Skärningspunkter Två icke-parallella linjer som är definierade i 𝑅2 har alltid en skärningspunkt någonstans. För att hitta den punkten ställs ett ekvationssystem upp med varje linjes normalekvation där variablernas värden beräknas.

Två linjer Note:

För beräkning av skärningen mellan två linjer definierade i en valfri dimension 𝑅𝑛 krävs kunskaper från GaussJordan elimination och Matriser, och jag kommer gå igenom hur man gör det i dom kapitlena. Säg att vi har en linje och ett plan, definierat i 𝑅3 , då kommer linjen inte kunna vara definierad i normalform utan måste skrivas på parameterform:

Skärning av ett plan och en linje

𝐿1

𝑣1

𝑃1

𝐿 = 𝑡𝑣 + 𝑃 ↔ [𝐿2 ] = 𝑡 [ 𝑣2 ] + [ 𝑃2 ]

𝐿3

𝑣3

𝑃3

Där L är alla punkter som linjen skär planet. Möjligheten till skärningspunkter som kan uppstå delas in i 3 olika fall: 1. 2. 3.

Linjen är inte parallell med planet: en skärningspunkt Linjen är parallell med planet: ingen skärningspunkt Linjen är parallell med planet och ligger i planet: oändligt med skärningspunkter

För att beräkna eventuella skärningspunkter sker en insättning av linjens ekvation för varje variabel i planets ekvation enligt:

𝑣1 𝑥 = 𝑡𝑣󰇍1 + 𝑃1 𝑃1 𝑥 𝑣 [ 𝑦] = 𝑡 [ 2 ] + [ 𝑃2 ] ↔ { 𝑦 = 𝑡𝑣󰇍2 + 𝑃2 𝑣3 𝑧 𝑃3 𝑧 = 𝑡𝑣󰇍3 + 𝑃3

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 → 𝑎( 𝑡𝑣 𝑡𝑣3+ 𝑃3 ) + 𝑑 = 0 󰇍󰇍󰇍󰇍1+ 𝑃1 ) + 𝑏(󰇍󰇍󰇍𝑡𝑣 󰇍 + 2 𝑃2 ) + 𝑐( 󰇍󰇍󰇍󰇍

Ur denna ekvation kommer samtliga variabler att vara givna förutom parametervariabeln t som är den som, tillsammans med linjens parameterekvation, ge vilken punkt linjen skär i planet.

𝑥 4 1 𝑥 = 𝑡+4 [ 𝑦] = 𝑡 [ 2] + [ −2] ↔ {𝑦 = 2𝑡 − 2 och planet 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 5 =0 𝑧= 𝑡−1 𝑧 1 −1 Exempel:

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 5 = 0 → 2( 𝑡 + 4) − 3( 2𝑡 − 2) + ( 𝑡 − 1) + 5 = 0 → 𝑡 = 6

𝑥 𝑥 1 4 10 [𝑦] = 6 [2] + [ −2] ↔ [ 𝑦] = [ 10] 𝑧 𝑧 1 −1 5

Detta ger oss att linjen skär planet i punkten (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟏𝟎, 𝟏𝟎, 𝟓)

Då vi har två plan i 𝑹𝟑 som är icke-parallella kommer deras skärning att vara en linje som kommer vara beskriven på parameterform. För att ta fram denna linje är det viktigt att förstå att linjens riktningsvektor alltid kommer vara ortogonal mot planens normalvektor. Tack vare detta kan vi beräkna linjens riktningsvektor genom att använda kryssprodukten!

Skärning av två plan

Skärningen mellan plan A och B är en linje

Säg att vi har planen 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 + 𝑑1 = 0 och 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 𝒛 + 𝒅𝟐 = 𝟎. Då kommer 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒃 𝒃 normalvektorerna för respektive plan vara 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝒏𝟏 = [ 𝟏] och 𝒏 󰇍󰇍󰇍󰇍𝟐 = [ 𝟐]. Genom att applicera kryssprodukten 𝒄𝟏 𝒄𝟐 kommer vi kunna få en vektor som är otrogonal mot de vektorer som kryssas som i detta fall måste vara linjens riktningsvektor. Vi kallar denna 𝑣 enligt:

𝑎2 𝑎1 𝑏 𝑏  󰇍𝑛󰇍󰇍×𝑛 2 = [ 1] × [ 2 ] = 𝑣 1 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑐2 𝑐1

När detta är gjort behöver vi bara en punkt på linjen, vilken som helst, för att kunna beskriva hela skärningen 𝑡𝑣 + 𝑃. Om en redan inte är given kan detta enklast göras genom en substitution i ekvationssystemet som uppstår av planens normalekvation: {

−𝒃𝟏 𝒚 − 𝒄𝟏 𝒛 − 𝒅𝟏 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 + 𝒄𝟏 𝒛 + 𝒅𝟏 = 𝟎 𝒙= ↔{ → 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 𝒛 + 𝒅𝟐 = 𝟎 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 𝒛 + 𝒅𝟐 = 𝟎 −𝒃𝟏 𝒚 − 𝒄𝟏 𝒛 − 𝒅𝟏 𝒂𝟏 → −𝒃𝟏 𝒚 − 𝒄𝟏 𝒛 − 𝒅𝟏 𝒂 ( ) + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 𝒛 + 𝒅𝟐 = 𝟎 { 𝟐 𝒂𝟏 𝒙=

Där vilket (𝒙, 𝒚, 𝒛) som satisfierar båda ekvationerna är en punkt P i linjen󰇍󰇍𝒕𝒗+ 𝑷

Projektion

Tänk att vi har två vektorer, 𝒖 󰇍󰇍 , 𝒗 󰇍󰇍 och att vi vill projicera 𝒖 󰇍󰇍 på 󰇍󰇍𝒗 där projektionen 𝒑𝒓𝒐𝒋󰇍𝒗󰇍 (𝒖 󰇍󰇍 ) kan ses som 󰇍󰇍 på 𝒗 󰇍󰇍 . Detta kan illustreras enligt figuren: skuggan av vektorn 𝒖

Projektionen blir den nya vektorn som är parallell med 𝑣

Formeln för projektion har följande utseende:

󰇍󰇍 𝒖∗ 𝒗󰇍󰇍 󰇍󰇍 ) = ( 2 ) ∗ 󰇍𝒗 󰇍 𝒑𝒓𝒐𝒋󰇍󰇍𝒗(𝒖 ‖𝒗 󰇍󰇍‖

󰇍󰇍𝒖∗𝒗 󰇍󰇍 Där ( 𝟐 ) kommer att bli en skalär efter beräkning. Notera att det vi väljer att projicera(här󰇍󰇍𝒗) är viktigare ‖𝒗 󰇍󰇍 ‖ än den vektor som faktiskt projiceras(här 󰇍𝒖 ). Detta är logiskt med tanke på att projektionen på 𝒗 󰇍󰇍 kommer att ha samma riktning som 󰇍𝒗󰇍 vilket stämmer överrens med illustrationen ovan.

Det är skalärprodukt mellan 𝒗 󰇍󰇍 och 󰇍𝒖 󰇍 enligt 𝒖 󰇍 󰇍 ∗𝒗 󰇍󰇍 = (𝒖𝟏 ∗ 𝒗𝟏 ) + (𝒖𝟐 ∗ 𝒗𝟐 ) VIKTIGT!

Exempel:

−𝟕 𝟑 Vektorerna 󰇍󰇍𝒖 = [ 𝟒 ] och 𝒗 󰇍 = [ 𝟐 ] är givna, beräkna projektionen av 𝒗 󰇍󰇍 på 𝒖 󰇍󰇍 : 𝟏 −𝟏 󰇍) = ( 𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖󰇍 (𝒗 ) ∗󰇍󰇍𝒖= ‖𝒖‖2 󰇍󰇍 ∗𝒖 𝒗󰇍 󰇍

𝟑 −𝟕 [ 𝟐 ] ∗[ 𝟒 ] −𝟏 𝟏 −𝟕 𝟐 ‖[ 𝟒 ] ‖ ( 𝟏 )

−𝟕 𝟕 Projektionen 𝒑𝒓𝒐𝒋󰇍𝒖 (𝒗 󰇍󰇍 ) = ( ) ∗ [ 𝟒 ] 𝟑𝟑 𝟏

−𝟕 −𝟕 𝟕 ∗ [ 𝟒 ] = ( ) ∗ [𝟒 ] 𝟑𝟑 𝟏 𝟏

Matriser Matriser är datahållare. De innehåller information som vi kommer att kunna manipulera på olika sett. Alla matriser innehåller ett visst antal rader och kolonner. De används för att beskriva storleken på en matris och för att ange positionen till ett element inom matrisen. När man anger storleken på en matris skriver man alltid ANTALET RADER x ANTALET KOLONNER. Detta innebär 1 2 3 att matrisen [ ] är ett exempel på en 2x3 matris. Om antalet rader motsvarar antalet kolloner så har 4 5 6 −1 4 man en kvadratisk matris: [ ] är ett exempel på en kvadratisk 2x2 matris. 0 26

Matriser och transponering Transponering innebär att raderna och kollonerna i en matris byter plats. Transponatet till matrisen A 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 𝟕 betecknas 𝑨𝑇 . Om 𝑨 = [ ] så kommer dess transponat att vara 𝑨𝑻 = [ 𝟑 𝟐] Om 𝑨 = 𝑨𝑻 kallas 𝟓 𝟐 𝟗 𝟕 𝟗

Addition och subtraktion av matriser

Att addera och subtrahera mellan matriser fungerar på ett väldigt ”självklart” sätt. Den enda förutsättningen är att båda matriserna är av samma storlek i både antal rader och kolonner. 𝒂 Om 𝑨 = [ 𝟏 𝒄𝟏

𝒃𝟏 𝒂 ] och 𝑩 = [ 𝟐 𝒄𝟐 𝒅𝟏

𝒃𝟐 ] så kommer additionen och subtraktionen se ut såhär: 𝒅𝟐

𝒂 𝒂 𝒃𝟏 𝑨+𝑩 = [ 𝟏 ]+[ 𝟐 𝒄𝟐 𝒄𝟏 𝒅𝟏

𝒂 𝒂 𝒃𝟏 ]−[ 𝟐 𝑨−𝑩 = [ 𝟏 𝒄𝟐 𝒄𝟏 𝒅𝟏

Skalär multiplikation

För att multiplicera en skalär t med en matris 𝑨 = [ position i matrisen enligt:

Viktigt!

𝒕∗𝑨 = 𝒕∗[

𝒂 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 ]=[ 𝟏 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝒅𝟐

𝒂 − 𝒂𝟐 𝒃𝟐 ]=[ 𝟏 𝒄𝟏 − 𝒄𝟐 𝒅𝟐

𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 ] 𝒅𝟏 + 𝒅𝟐

𝒃𝟏 − 𝒃𝟐 ] 𝒅𝟏 − 𝒅𝟐

𝒂 𝒃 ] så kommer resultatet bli att t multipliceras in i varje 𝒄 𝒅

𝒂 𝒃 𝒕𝒂 𝒕𝒃 ] ]=[ 𝒕𝒄 𝒕𝒅 𝒄 𝒅

Denna typ av multiplikation får inte misstas för skalärprodukten tidigare i texten, som är definierad enbart för vektorer.

Matrismultiplikation Denna typ av multiplikation skiljer sig från hur aritmatiken fungerat tidigare i all annan matematik. Det kan betraktas så att varje rad i den första matrisen tas skalärt(Se skalärprodukt!) med varje kolonn i den andra matrisen, vart resultatet hamnar motsvarar vilken rad och kollon som skalärprodukten utförs med.

𝑥1 𝑥2 𝑦 [ 𝑥3 𝑥4 ] ∗ [ 1 𝑦3 𝑥5 𝑥6

𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 𝑥1 𝑦3 + 𝑥2 𝑦4 𝑦2 𝑥3 𝑦1 + 𝑥4 𝑦2 𝑥3 𝑦3 + 𝑥4 𝑦4 ] 𝑦4 ] = [ 𝑥5 𝑦1 + 𝑥6 𝑦2 𝑥5 𝑦3 + 𝑥6 𝑦4

Om vi har två matriser A och B, så är multiplikationen 𝑨 ∗ 𝑩 INTE densamma som 𝑩 ∗ 𝑨, vilket tidigare aritmatik i matten sagt är samma sak. Därför är de viktigt att hålla reda på vilken matris som är vilken när man sysslar med matrismultiplikation. För att multiplikationen av två matriser ska vara definierad måste den första matrisen ha lika många kolonner som den andra matrisen har rader. Detta illusteras i bilden nedan.

Siffrorna i rött måste vara identiska för en definierad multiplikation, de blå kommer att bli den nya matrisens dimensioner.

Gauss-Jordan elimination i matriser/ekvationssystem Ekvationssystem Ett område då matriser kommer till väldigt stor användning är när man ska lösa ekvationssystem. Säg att vi har följande ekvationssystem: 2𝑥 + 3𝑦 = 5 { 4𝑥 + 2𝑦 = 9

Då kommer vi kunna skriva om det till matrisform såhär: 2𝑥 + 3𝑦 = 5 2 3 |5 {4𝑥 + 2𝑦 = 9 → [ ] 4 2 |9

Där varje ekvation blir sin egen rad, och ”är-lika-med” tecknet skrivs ut som ett rakt sträck, som separerar vänster- och högerleden i ekvationerna.

Trappstegsmatris Innan jag går igenom hur Gausselemination fungerar måste man förstå vad en trappstegsmatris är. En trappstegsmatris är en matris där: 1. 2.

Alla rader som enbart består av nollor ligger under raderna som inte bara består av nollor Pivotelementet på varje rad befinner sig till höger om pivotelementet på raden ovanför.

En rads pivotelement är det första av dess tal som är skilt från noll. I en trappstegsmatris vill man helst att detta ska vara 1, eftersom de gör matrisen enklare att räkna med. Detta kallas för en ledande etta. Exempel på en matris i trappstegsform(REF1).:

Gauss metod

1 4 −1 𝐴 = [0 1 3 ] 0 0 1

Gausselimination är en effektiv metod för att lösa linjära ekvationssystem. Metoden är upplagd på ett sätt som gör att man i varje steg eliminerar det oviktiga i ekvationssystemet, utan att förstöra det man redan ordnat! För att utföra en Gausselimination skriver man först upp det linjära ekvationssystemet som en matris. Målet är att sedan ”förvandla” vänsterledet i matrisen till en trappstegsmatris. Detta kan man göra genom att utföra ett eller flera av följande steg: 1. 2. 3.

Byta plats på 2 rader Multiplicera en rad med ett tal(dock ej noll!) Addera multipeln av en rad till en annan rad

Detta är nog den metod som jag använt mest i hela kursen, den tycks va i varenda jävla tal, oavsett vad det är dom ber om så verkar jag använda denna metoden hela tiden. Man tex ut rank, nollrum, basvektorer, dimension, bild, kollonrum och en hel del andra grejer!

1

Reduced Echelon Form