Análise Combinatória (PFC, Permutação, Arranjo e Combinação) PDF

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Resumo de análise combinatória com todas as fórmulas, relações e exemplos acerca de cada postulado....

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Análise Combinatória Técnicas de Contagem Em matemática

Ou: indica adição de situações E: indica multiplicação de situações Exemplo 1 Um cinema possui 2 entradas e 3 saídas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e sair dele? Entrar: 2

e

Sair: 3, logo, são 6 maneiras diferentes

Exemplo 2 Uma corrida é disputada por 5 atletas. De quantas maneiras pode se dar o pódio para os 3 atletas melhores colocados? No 1°, 5 atletas podem ocupar. No 2°, 4 atletas podem ocupar (já que algum já ocupou o primeiro) e no 3°, 3 atletas podem ocupar. Resultando em 60 maneiras. Exemplo 3 Uma família é composta por Pai, Mãe e 3 filhos. Numa viagem de automóvel, de quantas maneiras essa família pode se colocar no carro se apenas o pai e a mãe podem dirigir? Volante: 2 Carona: 4 48 maneiras

Traseiro (3 bancos): 3.2.1

Multiplicando, temos

Exemplo 4 Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6? 1° algarismo: 6 216 números

2° algarismo: 6

3° algarismo: 6

Multiplicando, temos

Exemplo 5 Quantos número com de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 a 6? 1° algarismo: 6

2° algarismo: 5

3° algarismo: 4

Resultando em 120 números Exemplo 6 Quantos são os números de 3 algarismos do nosso sistema de numeração? 1° algarismo: 9 (não pode o 0 porque nenhum número inicia com 0) 2° algarismo: 10 (adicionou o 0) 3° algarismo: 10 Resultado=729 números Quantos apresentam algarismos repetidos? Sem repetição: 1° algarismo: 9 2° algarismo: 9 (porque acrescentou o 0) 3° algarismo: 8 Resultado=648 números Sendo assim, 729-648 = 252 números Exemplo 7 Quantos números com 3 algarismos distintos são múltiplos de 5? Para ser múltiplo de 5, tem que terminar em 0 ou 5. Então, deve-se fazer as duas possibilidades! 9 . 8 . 0 = 72

8 . 8 (colocou o 0) . 5 = 64

Total: o número "ou" termina em zero "ou" em cinco, portanto 72+64=136

Exemplo 8 O segredo de um cadeado possui 3 vogais distintas seguidas de 2 algarismos distintos. Quantos segredos ele possui? 5 . 4 . 3 = 60 Fatorial

9 . 8 = 72

Resultado=4320

É o produto de um número natural por todos os valores menores que ele até chegar o no 1. Exemplos: 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 De maneira geral, tem-se:

n! = n (n-1) . (n-2) . (n-3) ... 5.4.3.2.1 Observações A exclamação (!) é utilizada para indicar o fatorial de um número natural Fatoriais convencionados:

0! = 1

1! = 1

Só podemos simplificar fatoriais iguais Simplificação fatorial Deve-se multiplicar o número fatorial por seus antecessores até alcançar o menor número fatorial!

Equação fatorial Se for por bhaskara, lembrar de descartar a resposta negativa porque o fatorial é um número natural

Arranjo Simples Com as letras A, B, C, D e E forme siglas com duas letras distintas AD≠DA

"A ordem é importante"

Macete A10,3= 10.9.8 A7,4= 7.6.5.4 A9,2= 9.8 O segundo termo indica quantas vezes o 1° termo será reduzido. Toda questão de arranjo pode ser resolvida pelo PFC (Princípio Fundamental da Contagem)

5.4 = 20

Isso porque tem-se duas letras para A, B, C, D e E

Exemplos 1. Uma criança tem 5 cartões numerados de 1 a 6. De quantos modos ela formará números de 4 algarismos, que sejam divisíveis por 5? Análise: devem ser colocados 4 traços e o último deve conter o 5, já que para ser divisível por 5, um número tem que terminar em 5. O arranjo feito será A5, 3= 5.4.3. Resultando em 60. 2. A quantidade de números pares de 5 algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2,3,4,5,6,7,8 é igual a: Análise: coloca-se 5 traços (porque são 5 algarismos) e fixam-se o 2,4,6,8 na última posição (porque o número deve ser par). Dessa forma, A6, 4= 6.5.4.3 .4. Resultando em 1440. Permutação Simples Para formar anagramas! CASO — P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 LIVROS — P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 a) Quantas começam com vogais? *Colocar as vogais I e O fixadas no início P5.2 (porque tem duas vogais) P5.2 = 5!.2 = 5.4.3.2.1.2 = 240 b) Quantas começam e terminam com consoantes? *Fixar 4 consoantes no início e 3 no final 4.P4.3 = 4.4!.3 = 12.4! = 12.4.3.2.1 = 288 c) Quantos apresentam as vogais juntas? *2 vogais ficarão na mesma posição (P2, porque elas podem mudar a ordem) P5.P2

P5 porque as vogais que ficam juntas ocupam uma das 6 posições P5.P2 = 5!.2! = 240 d) Quantos apresentam as consoantes juntas? *4 consoantes ficarão na mesma posição (P4, porque elas podem mudar a ordem) P4.P3

P3 porque as consoantes que ficam juntas são 4, logo ocupam 4 posições, sobrando, no total, 3 posições P4.P3 = 4!.3! = 144 Permutação com repetição AMAR Permutação do total de letras ÷ permutação das letras que repetem P4 ÷ P2 = 4! ÷ 2! = 24 Arranjo Simples (A) Nesse tipo de contagem, a ordem dos elementos é importante!

n = número de elementos p = o que será agrupado Ex.1 Quantos números de 3 algarismos distintos podemos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 ? O conjunto tem 5 elementos, logo n=5 Os grupos serão formados de 3 em 3, logo p=3 —Conta do exemplo A5,3 = 5!/2! = 5.4.3.2! / 2! = 60

Combinação simples Nesse tipo de contagem, a alteração na ordem dos elementos não altera o resultado.

n = número de elementos p = o que será agrupado Ex. Quantas comissões de 3 participantes podem ser formadas com 5 pessoas? Pessoas: A, B, C, D, E Uma comissão com as pessoas ABC é a mesma do que com as pessoas CBA, portanto, a ordem não importa! —Conta do exemplo C5, 3 — combinação de 5, 3 a 3 Coloque os valores na fórmula e para simplificar os fatoriais, aproxime ao máximo o n! do p! 5.4.3! Dessa forma, é possível cortar os dois 3! Resultado = 10 Ex. 2 Em uma empresa há 6 sócios brasileiros e 4 sócios japoneses. A diretoria será composta por 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses. De quantos modos essa composição poderá ocorrer? —Conta do exemplo C6,3 . C4, 2 = 120...