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ANÁLISE MA MATEMÁTICA TEMÁTICA II TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO

2003

´Indice 1 S´ eries Num´ ericas 1.1 Generaliza¸ca˜o da opera¸ca˜o adi¸ca˜o . . . . . . . 1.2 Defini¸ca˜o de s´erie. Convergˆencia. Propriedades 1.3 S´eries alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Convergˆencia absoluta . . . . . . . . . . . . . 1.5 S´eries de termos n˜ao negativos . . . . . . . . . 1.6 Multiplica¸ca˜o de s´eries . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 13 16 19 35

2 S´ eries de Fun¸co ˜es 2.1 Introdu¸ca˜o. Sucess˜oes de fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Convergˆencia pontual e convergˆencia uniforme de s´eries de fun¸co˜es . . . . . 2.3 S´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 S´erie de Taylor e s´erie de MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 42 52 58

3 No¸co ˜es Topol´ ogicas em RN 65 3.1 Normas e m´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 No¸co˜es topol´ogicas em RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 Fun¸co ˜es de V´ arias Vari´ aveis 79 4.1 Fun¸co˜es reais de v´arias vari´aveis reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 Fun¸co˜es vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3 Limites e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5 C´ alculo Diferencial em RN 99 5.1 Derivadas parciais. Teorema de Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.3 Derivada segundo um vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6 Exerc´ıcios 6.1 S´eries Num´ericas . . . . . 6.2 S´eries de Fun¸co˜es . . . . . 6.3 Normas e m´etricas . . . . 6.4 C´alculo diferencial em RN 6.4.1 Dom´ınios e gr´aficos

. . . . .

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125 125 132 136 138 138

´INDICE

ii

6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.4.6

Limites e continuidade . . . . . Derivadas parciais e Teorema de Fun¸ca˜o composta . . . . . . . . Derivadas direccionais . . . . . Fun¸co˜es vectoriais . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Schwarz. Diferenciabilidade . . . . 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Cap´ıtulo 1 S´ eries Num´ ericas 1.1

Generaliza¸c˜ ao da opera¸c˜ ao adi¸c˜ ao

A opera¸ca˜o adi¸ca˜o (ou soma) ´e inicialmente definida como a aplica¸ca˜o que a cada par de n´ umeros reais faz corresponder um n´umero real, de acordo com determinadas regras. Essa opera¸ca˜o goza de certas propriedades e verificamos que podemos generalizar a opera¸ca˜o a um n´ umero finito de parcelas mantendo todas as propriedades. A defini¸ca˜o de soma de um n´ umero finito de parcelas e´ feita por recorrˆencia:  a , se n=1  n  Ã1n−1 ! X X ai = ai + an , se n > 1   i=1 i=1

Podemos pensar agora em fazer uma generaliza¸ca˜o a um n´ umero infinito numer´ avel de parcelas. As parcelas constituir˜ao a sucess˜ao a1 , a2 , . . . , a n , . . .. Se existir uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucess˜ao s˜ao nulos, tem-se a soma de todas as parcelas igual a` soma dos p primeiros termos: X n∈N

ai =

p X

ai .

i=1

Se existir uma subsucess˜ao de termos n˜ao nulos poderemos chamar soma ao limite, se existir e for finito, da sucess˜ao das somas dos n primeiros termos de a n , sucess˜ao essa n X Sn = ai . i=1

Se a sucess˜ao an tivesse todos os termos positivos, poderia parecer a` primeira vista que Sn n˜ao ´e convergente. De facto, supor que a soma de um n´ umero infinito de parcelas positivas ´e um n´ umero real n˜ao ´e um conceito intuitivo. Neste caso, a intui¸ca˜o falha precisamente porque pretendemos generalizar para o infinito um conceito, o de soma, que temos intuitivo para um n´ umero finito de parcelas. E´ comum que a intui¸ca˜o nos engane em casos de “passagem” do finito para o infinito.

2

1. S´ eries Num´ ericas

De qualquer modo ´e verdade que Sn nem sempre ´e convergente, ou seja, que nem sempre poderemos definir, por este processo, soma de um n´ umero infinito de parcelas. Interessa, no entanto, saber como deve ser a sucess˜ ao an de modo que a essa sucess˜ao esteja associado um n´ umero real, soma de todos os seus termos. Citando o Prof. Campos Ferreira: “Vem a prop´osito lembrar um dos paradoxos formulados, h´a mais de 2000 anos, pelo fil´osofo grego Zen˜ao. Zen˜ ao imaginou um corredor, deslocando-se de certo ponto A para a meta B, com velocidade constante, e raciocionou de maneira que pode exprimir-se nos termos seguintes: designe-se por A1 o ponto m´edio do segmento AB, por A2 o ponto m´edio de A1 B, etc. Em geral, para todo o n ∈ N, An+1 designar´a o ponto m´edio do segmento An B . A

A1

A2 A3 B

Nestas condi¸co˜es, se for t o tempo gasto pelo corredor a percorrer a distˆancia que vai de A a A1 , ser´a t/2 o tempo gasto de A1 a A2 , t/22 o tempo necess´ario para ir de A2 a A3 , etc. O tempo total necess´ario para completar a corrida, T , equivaleria assim a` “soma” de uma infinidade de tempos parciais todos positivos: T =t+

t t t + 2 + ...+ n + ... 2 2 2

Daqui julgava Zen˜ao poder deduzir que esse tempo total era necessariamente infinito e que, portanto, o corredor jamais poderia atingir a meta. Tal resultado, que lhe parecia solidamente estabelecido, estava por´em em contradi¸ca˜o evidente com o facto de que, sendo o movimento uniforme por hip´ otese, o tempo correspondente ao percurso deveria ser simplesmente o dobro do que o corredor gastava na primeira metade, isto ´e, T = 2t. Al´em disso, aquele resultado estava ainda em contradi¸ca˜o com a mais elementar experiˆencia do mundo f´ısico. Por isso se dizia tratar-se de um paradoxo. O esclarecimento completo da quest˜ ao s´o veio a ser alcan¸cado, cerca de 2000 anos depois de o paradoxo ter sido enunciado por Zen˜ ao, com a cria¸ca˜o da teoria das s´eries. Conv´em ainda registar que coube a um matem´atico portuguˆes, Jos´e Anast´acio da Cunha, um papel percursor de grande relevo no estudo desta teoria (em particular, deve-se-lhe a primeira defini¸ca˜o rigorosa do conceito de s´erie convergente, formulada em 1790); mais tarde, gra¸cas a trabalhos de grandes matem´aticos como Cauchy, Weierstrass, etc., as s´eries tornar-se-iam instrumentos de valor inestim´ avel para o desenvolvimento de todos os ramos da An´ alise Matem´atica.”

1.2 Defini¸ c˜ ao de s´ erie. Convergˆ encia. Propriedades gerais

1.2

3

Defini¸c˜ ao de s´ erie. Convergˆ encia. Propriedades gerais

Defini¸ c˜ ao 1.2.1 Seja an uma sucess˜ ao num´erica. Chama-se s´ erie gerada por a n a` sucess˜ ao Sn definida do modo seguinte: S1 = a 1 S2 = a 1 + a 2 S3 = a 1 + a 2 + a 3 .. . Sn = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n .. . Para designar a s´erie usa-se qualquer das nota¸co˜es: ∞ X

X

an ,

n=1

a1 + a2 + a3 + · · ·

an ,

Os n´ umeros a1 , a2 , . . . , chamam-se termos da s´erie, an diz-se termo geral da s´erie e as somas S1 , S2 , . . . chamam-se somas parciais. Defini¸ c˜ ao 1.2.2 A s´erie

P

an diz-se convergente se existir e for finito o limite lim Sn = lim

n→+∞

n→+∞

n X

ai .

i=1

Se este limite n˜ ao existir ou n˜ao for finito a s´erie diz-se divergente. No caso de convergˆencia chama-se soma da s´erie ao valor, S, do limite, isto ´e, S = lim Sn = n→+∞

∞ X

an .

n=1

P∞ an ´e um abuso de linguagem j´ a NOTA: A identifica¸ca˜o de uma s´erie com o s´ımbolo n=1 que ´e a identifica¸ca˜o da s´erie com a sua soma, quando ela existe. Este abuso, no entanto, ´e de uso corrente e tem-se demonstrado u´til e inofensivo. EXEMPLO 1: Chama-se s´ erie geom´ etrica a` s´erie gerada por uma progress˜ao geom´etrica: se an ´e uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao r 6= 1 temos que Sn =

n X i=1

ai =

n X i=1

a1 r i−1 = a1 ·

1 − rn . 1−r

4

1. S´ eries Num´ ericas

Sabemos que Sn ´e convergente se, e s´o se, |r| < 1, logo a s´erie geom´etrica e´ convergente se, e s´o se, o valor absoluto da raz˜ao da progress˜ ao geom´etrica que a gerou for menor do que 1. No caso de convergˆencia temos que ∞ X

an =

n=1

a1 . 1−r

Se r = 1 a s´erie ´e uma s´erie de termo geral constante, isto ´e, ∞ X

an =

n=1

∞ X

a1 ,

n=1

tendo-se, assim, Sn = na1 e, se a1 6= 0, a s´erie ser´ a divergente. EXEMPLO 2: Consideremos a s´erie parciais e estudemos o seu limite:

∞ X 1 √ , construamos a sucess˜ao das suas somas n n=1

S1 = 1 1 S2 = 1 + √ 2 1 1 S3 = 1 + √ + √ 2 3 .. . 1 1 1 Sn = 1 + √ + √ + · · · + √ n 3 2 .. . Como √ 1 1 1 1 1 n 1 1 1 + √ + √ + ··· + √ ≥ √ + √ + √ + ··· + √ = √ = n n n n n n n 3 2 √ n = +∞, a sucess˜ ao Sn tem limite +∞ e a s´erie em estudo e´ divergente. e lim n→+∞

EXEMPLO 3: Consideremos a s´erie

∞ X n=1

1 . Sabendo que n(n + 1)

1 1 1 = − n(n + 1) n n + 1 podemos escrever a sucess˜ao das somas parciais:

1.2 Defini¸ c˜ ao de s´ erie. Convergˆ encia. Propriedades gerais

5

1 2 1 1 1 1 = 1− + − =1− 3 2 2 3 1 1 1 1 = 1− + − =1− 3 3 4 4 .. .

S1 = 1 − S2 S3

Sn = 1 − .. .

1 n+1

Como lim Sn = 1, a s´erie e´ convergente e a sua soma ´e 1: n→+∞

∞ X n=1

1 = 1. n(n + 1)

EXEMPLO 4: A sucess˜ao das somas parciais da s´erie ∞ X

log

n=1

µ

n n+1

¶

=

∞ X n=1

(log n − log(n + 1))

´e a sucess˜ao S1 = log 1 − log 2 = − log 2 S2 = − log 2 + log 2 − log 3 = − log 3 S3 = − log 3 + log 3 − log 4 = − log 4 .. . Sn = − log(n + 1) .. . Como lim (− log(n + 1)) = −∞, a s´erie ´e divergente. n→+∞

EXEMPLO 5: O termo geral da s´erie ∞ X n=1

1 pode escrever-se na forma 3

µ

n2

1 + 3n

¶ 1 1 − . A sucess˜ao das somas parciais pode agora ser n n+3

6

1. S´ eries Num´ ericas

constru´ıda: S1 = S2 = S3 = = S4 = = = S5 = = .. . Sn

µ 1 1− 3µ 1 1− 3µ 1 1− 3µ 1 1− 3µ 1 1− 3µ 1 1− 3µ 1 1+ 3µ 1 1+ 3µ 1 1+ 3

¶ 1 4¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 + = 1− + − − 4 3 2¶ 5 µ 3 ¶ 4 2 5 1 1 1 1 1 1 + − − + 4 2 5 3 3¶ 6 1 1 1 1 1 + − + − 4 2 5 3 6¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − − + 4 2 5 3 6 3 4¶ 7 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − 4 2 5 3 6¶ 4 7 1 1 1 1 1 − + − − 2 5 3 6 7¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − − − 3 5¶ 8 µ 2 5 3 6 7 ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + − − − − + − − + − 3 2 5 3 6 7 5 8 2 3 6 7 8

µ ¶ 1 1 1 1 1 1 − − = 1+ + − 2 3 n+1 n+2 3 n+3 .. .

µ ¶ 1 1 1 1+ + , a s´erie ´e convergente. Como lim Sn = n→+∞ 3 2 3 Os trˆes u ´ltimos exemplos s˜ ao casos particulares de um tipo de s´eries chamadas s´ eries telesc´ opicas. S˜ ao s´eries cujo termo geral an se pode escrever na forma αn − αn+k , com k ∈ N: ∞ X (αn − αn+k ). n=1

Estas s´eries s˜ao convergentes se, e s´o se, lim vn , onde vn = αn+1 + · · · + αn+k , existe n→+∞

e ´e finito. No caso particular de existir, finito, lim αn temos: n→+∞

k ∞ X X αi − ka, (αn − αn+k ) = n=1

i=1

1.2 Defini¸ c˜ ao de s´ erie. Convergˆ encia. Propriedades gerais

7

sendo a = lim αn . De facto, a sucess˜ao das somas parciais e´ a sucess˜ao n→+∞

Sn

n X = (αi − αi+k ) i=1

=

n X i=1

αi −

n X

αi+k

i=1

= α1 + · · · + αk + αk+1 + · · · + αn − (αk+1 + · · · + αn + αn+1 + · · · + αn+k ) = α1 + · · · + αk − (αn+1 + · · · αn+k ) =

k X i=1

αi −

k X

αi + n

i=1

Sendo αn convergente ent˜ao lim αi+n existe e n→+∞

lim αn = lim αi+n

n→+∞

n→+∞

donde se conclui que lim Sn =

n→+∞

=

k X

i=1 k X i=1

Teorema 1.2.1 Se a s´erie

∞ X

αi − lim

n→+∞

à k X

αi+n

i=1

!

αi − ka.

an ´e convergente ent˜ ao an ´e um infinit´esimo.

n=1

Demonstra¸ca˜o: Como a s´erie ´e convergente, a sucess˜ ao S n =

n X

ai ´e uma sucess˜ao con-

i=1

vergente, o mesmo acontecendo a Sn−1 , tendo-se lim Sn = lim Sn−1 . Ent˜ao n→+∞

n→+∞

lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = 0.

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

NOTA: Este teorema indica uma condi¸ca˜o necess´aria, mas n˜ao suficiente para que uma s´erie seja convergente. Assim a sua utilidade ´e sobretudo para decidir que uma s´erie ´e divergente j´a que se o termo geral n˜ao for um infinit´esimo a s´erie ser´ a concerteza divergente. EXEMPLO 6: A s´erie

∞ X

n n = 1. ´e divergente porque lim n→+∞ n + 1 n+1 n=1

8

1. S´ eries Num´ ericas

∞ X 1 1 √ . Temos que lim √ = 0, o que n˜ao nos n→+∞ n n n=1 permite concluir nada pelo Teorema 1.2.1. No entanto, j´ a demonstr´amos, no Exemplo 2, que esta s´erie ´e divergente.

EXEMPLO 7: Consideremos a s´erie

Teorema 1.2.2 Sejam mente, e λ ∈ R. Ent˜ ao

∞ X

an e

n=1

∞ X

bn s´eries convergentes de somas A e B, respectiva-

n=1

∞ X (an + bn ), a que se chama s´erie soma, tamb´em ´e convergente e a sua soma a) A s´erie n=1

´e A + B :

∞ ∞ ∞ X X X bn . (an + bn ) = an + n=1

b) A s´erie

∞ X

n=1

n=1

λan ´e convergente e a sua soma ´e λA:

n=1

∞ X

λan = λ

n=1

∞ X

an .

n=1

Demonstra¸ca˜o: a) Sejam

Sn∗

e

S n∗∗

as sucess˜oes das somas parciais das s´eries

n=1

mente. Como s˜ ao s´eries convergentes temos que lim S ∗n = A

n→+∞

n X

e

∞ X

an e

∞ X

bn , respectiva-

n=1

lim Sn∗∗ = B.

n→+∞

n X Seja Sn a sucess˜ao das somas parciais da s´erie soma, isto ´e, Sn = (ai + bi ) =

ai +

i=1

n X

i=1

bi = S n∗ + S n∗∗ . Ent˜ao

i=1

lim Sn = lim (Sn∗ + Sn∗∗) = lim Sn∗ + lim Sn∗∗ = A + B,

n→+∞

isto ´e,

∞ X

n→+∞

n→+∞

(an + bn ) ´e convergente e tem soma A + B .

n=1

n→+∞

1.2 Defini¸ c˜ ao de s´ erie. Convergˆ encia. Propriedades gerais

b) Seja Sn∗ a sucess˜ao das somas parciais da s´erie Sn a sucess˜ao das somas parciais da s´erie

∞ X

∞ X

an . Por hip´otese, lim S ∗n = A. Seja n→+∞

n=1

λan . Ent˜ a o Sn =

n=1

Assim,

9

n X

λai = λ

i=1

n X

ai = λSn∗ .

i=1

lim Sn = lim λSn∗ = λ lim Sn∗ = λA, n→+∞

n→+∞

isto ´e, a s´erie

∞ X

n→+∞

λan ´e convergente e tem soma λA.

n=1

NOTAS: 1. Da demonstra¸ca˜o da al´ınea a) ressalta que pode acontecer que as s´eries dadas sejam divergentes e, no entanto, a s´erie soma seja convergente. Tamb´em se nota atrav´es da demonstra¸ca˜o que se as sucess˜ oes das somas parciais tiverem limites infinitos do mesmo sinal – as s´eries s˜ao ambas divergentes – a sucess˜ao das somas parciais ser´a divergente, o mesmo acontecendo se uma das s´eries for convergente e a outra divergente. Se S ∗n e Sn∗∗ tiverem limites infinitos, mas de sinais contr´arios, a s´erie soma poder´a ser convergente ou divergente j´a que no c´alculo do limite aparece uma indetermina¸ca˜o. 2. Da demonstra¸ca˜o de b) resulta que se λ 6= 0, a s´erie se, a s´erie

∞ X

an o for. Se λ = 0, a s´erie

n=1

EXEMPLO 8: Consideremos a s´erie

∞ X n=1

1 1 = 18 n(n + 3)(n + 6) A s´erie

n=1

1 − n+3 n

λan ´e convergente se, e s´o

n=1

λan ´e convergente pois todos os seus

n=1

termos ser˜ ao nulos.

∞ µ X 1

∞ X

∞ X

¶

µ

1 . n(n + 3)(n + 6)

1 1 − n + 3 n

¶

1 − 18

µ

¶ 1 1 . − n+3 n+6

´e uma s´erie telesc´opica em que αn =

1 e k = 3. Como n

1 1 11 . lim αn = 0 a s´erie e´ convergente e a sua soma e´ 1 + + = 6 2 3 µ ¶ ∞ X 1 1 1 ´e igualmente uma s´erie telesc´opica em que αn = − A s´erie n+3 n+3 n+6 n=1 1 1 1 37 e k = 3. Como lim αn = 0 a s´erie e´ convergente e a sua soma ´e + + = . n→+∞ 4 5 6 60 n→+∞

10

1. S´ eries Num´ ericas

Como s˜ao ambas convergentes, a s´erie dada tamb´em ´e convergente e ¶ ¶ ∞ µ ∞ µ ∞ X 1 1X 1 1 1 1 1 X 73 − = − − = . n n(n + 3)(n + 6) n + 3 n + 3 n + 6 1080 18 n=1 18 n=1 n=1 Teorema 1.2.3 Uma s´erie

∞ X

an converge se, e s´o se,

n=1

∀δ > 0

∃p ∈ N :

m > n > p ⇒ |an+1 + · · · + am | < δ.

Demonstra¸ca˜o: Como ¯ ¯ n ¯m ¯ X ¯X ¯ |an+1 + · · · + am | = ¯ ai − a i ¯ = | Sm − Sn | , ¯ ¯ i=1

o que pretendemos demonstrar e´ que a s´erie

i=1

∞ X

an converge se, e s´o se,

n=1

∀δ > 0

∃p ∈ N :

m > n > p ⇒ |Sm − Sn | < δ,

ou seja, Sn ´e uma sucess˜ao de Cauchy. ∞ X an converge se, e s´o se, Sn ´e uma sucess˜ao convergente Mas, por defini¸ca˜o, a s´erie n=1

e em R uma sucess˜ao ´e convergente se, e s´o se, ´e de Cauchy. O teorema fica assim demonstrado. EXEMPLO 9: Consideremos a s´erie

∞ X 1

denominada s´ erie harm´ onica. Vamos den monstrar, utilizando o Teorema 1.2.3, que a s´erie harm´onica ´e divergente. Se a s´erie fosse convergente, dado δ > 0, existiria p ∈ N tal que se m > n > p ent˜ ao |an+1 + · · · + am | < δ. Mas, se m = n + n, n=1

|an+1 + · · · + am | = |an+1 + · · · + an+n | 1 1 + ··· + = n+n n+1 1 1 ≥ + ··· + n+n n+n 1 = n· 2n 1 = 2 ou seja, a condi¸ca˜o do teorema n˜ao se verifica para δ < 21 . Portanto, a s´erie harm´ onica ´e diverge...