Analisis cuad 1 polinomios PDF

Preview

Summary

Download Analisis cuad 1 polinomios PDF

Description

Análisis Matemático Cuadernillo 1 Polinomios

1

TEMA

PÁGINA

1) Polinomios a)

Definiciones

b)

Operaciones con Polinomios

2

i) Suma

4

ii) Resta

4

iii) Multiplicación

5

iv) Productos especiales: Diferencia de cuadrados

5

v) Potenciación

5

(1)

Cuadrado de un binomio:

6

(2)

Cubo de un binomio:

6

vi) División (1)

División de un polinomio por un monomio

7

(2)

División de dos polinomios

7

(3)

División de polinomios por la regla de Ruffini.

9

(4)

Teorema del resto

10

2) Factoreo de Polinomios a)

Factor común

11

b)

Factor común por grupos

12

c)

Diferencia de cuadrados

13

d)

Trinomio cuadrado perfecto

13

e)

Factorización de un trinomio de segundo grado

14

f)

Teorema de Gauss

16

RM: Recurso multimedia

2

1) Polinomios 1.a) Definiciones Monomio: Es una expresión formada por un número real y/o una o más letras elevadas a un exponente entero y positivo Por ejemplo:

Monomios semejantes: Su parte literal es igual (las mismas letras elevadas a los mismos exponentes) Por ejemplo:

Un polinomio es una suma algebraica de monomios por ejemplo

Grado de un polinomio: Es el máximo exponente que aparece en las letras para P(x), el 5; para Q(x), el grado 3. Coeficiente principal: Es el número que acompaña a la letra de mayor exponente. En P(x) es -2; en Q(x) es el 1. Término independiente: Es el término formado únicamente por un número (no tiene letras). En P(x) es -1; en Q(x) es cero. Polinomio ordenado y completo: Se ordenan los términos desde el que tiene el mayor exponente en forma decreciente, y se completa con cero para aquellos que no figuran.

3

Nuestros dos ejemplos quedarían así:

Valor numérico de un polinomio: Es el que resulta de reemplazar la variable por un número. Por ejemplo:

Ceros o raíces de un polinomio: Son los valores numéricos para los cuales el polinomio vale cero. Por ejemplo, para Q(x), las raíces son

Q

()()

1 1 3 1 1 − . =0 = 4 2 2 2

( )( )

Q−

ya que:

( )

1 1 3 1 1 = − − . − =0 4 2 2 2 1 Q ( 0 ) =03 − .0 =0 4

El número máximo de raíces que puede tener un polinomio coincide con su grado. Más adelante veremos cómo se averiguan las raíces.

RM1: Polinomiosdefiniciones

4

1.b) Operaciones con Polinomios 1.b.i) Suma Sólo pueden sumarse los monomios semejantes

Cuando tenemos que sumar polinomios, sumamos los monomios semejantes, y los otros los dejamos tal como están.

P ( x ) +Q ( x ) =4x −x −x +10 x−7 4

3

2

1.b.ii) Resta Al igual que en la suma, solo pueden restarse entre si monomios semejantes. Para restar polinomios de manera sencilla, podemos cambiar todos los signos del segundo polinomio y luego sumar:

P(x) → 6 x 4−2 x 3 +0 x 2+6 x−7 −Q (x ) → 2 x 4− x 3 + x 2−4 x P ( x ) − Q(( x)) = 8 x 4− 3 x 3 + x 2 + 2 x− −7

5

1.b.iii) Multiplicación Para la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta, recordando que el producto de potencias de igual base se suman los exponentes:

=

Una vez que multiplicamos, agrupamos los términos semejantes. = 1.b.iv) Productos especiales: Diferencia de cuadrados Si se multiplica un binomio por otro binomio igual pero con uno de los signos cambiados, se obtiene una “diferencia de cuadrados”

Por ejemplo:

=

1.b.v) Potenciación Debemos recordar que la potenciación NO es distributiva con respecto a la suma ni a la resta, entonces, para elevar al cuadrado un binomio, debemos multiplicarlo por sí mismo:

6

(1) Cuadrado de un binomio

Agrupamos los términos semejantes y queda:

De igual manera, para la resta:

(2) Cubo de un binomio De la misma manera que con el cuadrado, para obtener el cubo de un binomio debe multiplicarse la expresión por sí misma, tres veces:

( a+b) 3 =( a+b ) . ( a+b) .( a+b ) El resultado que se obtiene, luego de multiplicar y agrupar los términos semejantes, es el siguiente:

RM2: Operaciones con polinomios 1

7

1.b.vi) División (1) División de un polinomio por un monomio:

Esta operación se realiza aplicando la propiedad distributiva, recordando que en el cociente de potencias de igual base se restan los exponentes.

( 12x − 21 x +5x −7x ) :( 3x )=4x − 61 x + 35 x−− 73 5

4

3

2

2

3

2

(2) División de dos polinomios Esta operación es un poco más compleja. Vamos a explicarla con un ejemplo.

Para hacer P(x) : Q(x), P(x) debe estar ordenado y completo, y Q(x) debe estar ordenado (no hace falta completarlo)

1º) Dividimos el primer monomio de

por el primero de

2º) Multiplicamos el resultado obtenido por cada uno de los términos de colocamos debajo del monomio semejante correspondiente de

, y lo

, pero le cambiamos

el signo.

8

3º) Luego sumamos siempre el primer término se anula.

4º) Repetimos los pasos 1º), 2º) y 3º) con el que ahora quedó como primer término

5º) Repetimos los mismos pasos para

6º) Cuando en el polinomio dividiendo llegamos a un polinomio de grado menor al del divisor, se terminó la operación. En este ejemplo, el cociente es

, y el resto de la división es

9

(3) División de polinomios por la regla de Ruffini. Cuando el divisor es del tipo x±a , siendo a cualquier número real, puede efectuarse la división mediante un mecanismo más sencillo denominado “Regla de Ruffini” Lo desarrollaremos también mediante un ejemplo:

debe estar ordenado y completo

1º) Copiamos los coeficientes numéricos de

, en una tablita como la que figura a

continuación, y escribimos el término independiente de

con el signo opuesto al

que tiene.

2

12

-3

-6 2

b

6

17

0

0

-3

- 18

3

-9

27

-1

3

-9

24

c a

a)

El primer coeficiente se baja igual

b)

Multiplicamos el coeficiente bajado por el -3 y colocamos el resultado

debajo del segundo coeficiente c)

Sumamos la columna

d)

A partir de ahora repetimos siempre los mismos pasos b y

c:

Multplicamos 6 por (-3) y lo colocamos debajo del 17. Sumamos y nos da -1. Multiplicamos (-1).(.-3) del cero. Sumamos 0+3=3 Multiplicamos 3.(-3) y nos da -9, sumamos, los colocamos debajo del segundo cero, y nos da -9.

10

Multiplicamos (-9).(-3) y nos da 27, lo colocamos debajo del -3, sumamos y obtenemos 24. El último número obtenido es el resto de la división. El resultado se obtiene completando los coeficientes obtenidos con la variable, comenzando con un grado menos del que tenía

Cociente:

.

Resto: 24

(4) Teorema del resto El Teorema del resto se puede utilizar entre los mismos casos que la Regla de Ruffini. Y sirve para conocer el resultado de una división sin efectuar la operación. El resto de la operación es el valor numérico del polinomio para el opuesto del término independiente del divisor. En nuestro ejemplo tenemos

Resto=

Este Teorema es útil cuando queremos averiguar si un polinomio es divisible por otro. En el ejemplo visto,

no es divisible por

, ya que el resto es distinto de cero.

RM3: Operaciones con polinomios 2

11

2) Factoreo de Polinomios Factorear significa expresar una suma algebraica como un producto. Si trabajamos con números:

Es un ejemplo de factoreo. El concepto es el mismo para los polinomios, pero aquí la operatoria es más compleja por eso vamos a ver diferentes casos de factoreo. 2.a) Factor común El “factor común” es un elemento que multiplica a todos los términos del polinomio.

Podemos expresar: 5

2

6 x =3 x . 2 x 4

2

3

12 x =3 x . 4 x 2

2

2

9 x =3 x . 3 2

3

2

2

2

P(x)=3 x .2 x +3 x . 4 x −3 x . 3 El monomio

es nuestro factor común, ya que multiplica a todos los términos.

Entonces podemos expresar

como:

2 3 2 P(x)=3 x .(( 2 x + 4 x − 3))

Sacar un factor común es realizar la operación inversa a la distributiva En efecto, si multiplicamos:

Volvemos a nuestro polinomio original. El factor común es:

12

-

De los números: el máximo común divisor

-

De las letras: la o las letras que aparecen en todos los términos, elevados

cada una de ellas al menor exponente con que aparecen

RM4: factoreo 1

2.b) Factor común por grupos Para poder aplicar este caso, el número de términos del polinomio debe ser par igual o mayor que 4. Siempre probamos primero si podemos sacar factor común. Si no se puede, intentamos agrupar por términos en grupos. Cada uno de estos grupos debe tener el mismo número de términos, y debe ser posible extraer un factor común en cada uno. Por ejemplo:

En este polinomio no es posible extraer un factor común, entonces probamos armar dos grupos:

Entre los dos primeros podemos sacar

como factor común, y en el segundo grupo

será -10

Nuestro polinomio de 4 términos, quedó transformado en otro de 2 términos, que posee como factor común:

P ( x ) = ( x 3 +4 ) .( 7x2 −10 )

RM5: factoreo 2

13

2.c) Diferencia de cuadrados Este caso se aplica cuando el polinomio tiene dos términos, ambos cuadrados perfectos (significa que se puede extraer raíz cuadrada) y tienen signos opuestos. Ya hemos visto la diferencia de cuadrados en la sección de producto de polinomios.

En este caso iremos a la inversa, tendremos un polinomio del tipo convertiremos en

y lo

.

Por ejemplo:

Calculamos: RM6: factoreo 3

P ( x ) =16x −9=( 4x +3 ) . (4x −3 ) 6

3

3

2.d) Trinomio cuadrado perfecto Si tenemos un polinomio formado por tres términos, y dos de ellos son cuadrados perfectos, podemos probar si se trata del desarrollo del cuadrado de un binomio, cuya fórmula (que ya vimos) es:

Por ejemplo, tenemos:

P ( x ) =25x8 −80 x 4 +64 El primero y el tercer término son cuadrados perfectos:

√ 25x8=5x 4 √ 64= 8 14

Entonces podemos pensar que:

a=5x 4 b= 8 El término restante tendría que poder obtenerse del doble producto de a.b: 4

2. a . b=2 .5x .8=80 x

4

Como, efectivamente, coincide, probamos que el polinomio dado es el desarrollo del cuadrado de un binomio: 2

P ( x ) =25x8 −80 x 4 +64=( 5x 4 −8 )

Para comprobarlo, podemos desarrollar el cuadrado y ver que coincide con P(x)

2.e) Factorización de un trinomio de segundo grado Un trinomio de segundo grado es un polinomio de tres términos, de grado 2. Podemos factorizarlo utilizando la fórmula de Bhaskara para calcular sus raíces. 2

P ( x ) =ax +bx+c=a ( x−x1 )( x−x 2 ) Ejemplo:

1 P(x)= x 2−5 x +18 3

√

5± (− 5 )2−4 . x 1; 2=

2. x 1=6

{

1 3 b=−5 c=18 a=

1 . 18 3

1 3 x 2=9

Entonces el polinomio factoreado queda como:

15

1 P ( x ) = . ( x−6 )( x−9 ) 3

Si al aplicar la fórmula de Bhaskara obtenemos una sola raíz, es una raíz doble, y el polinomio es el desarrollo del cuadrado de un binomio (como vimos en el caso anterior) Ejemplo:

2

P(x )=5 x +10 x +5

x 1; 2=

{

a=5 b=10 c=5

−10± √ 102 −4. 5.5 −10 ±0 =−1 = 10 2.5 RM7: factoreo 4

Entonces: 2

P(x)=5 x +10 x+ 5=5. ( x + 1))

2

2.f) Teorema de Gauss Cuando tenemos un polinomio al que no podemos aplicarle ninguno de los casos vistos, buscamos sus raíces mediante el Teorema de Gauss. Éste dice que las posibles raíces de un polinomio son:

-

El término independiente y sus divisores.

-

El término principal y sus divisores.

Por ejemplo

3

2

P( x)=x + x −10 x +8

16

±8 ±4 ±2 ±1

{

Posibles raíces:

Probamos usando el teorema del resto, si alguno de estos números es raíz del polinomio.

P( −1 ) = (−1 )3 + ( −1) 2−10 .( −1) +8=−1+1+10+8=18≠0 P( 1 ) =1+1−10+8=0 x = 1 es raíz del polinomio Cuando ya conocemos una raíz, dividimos por Ruffini 1 1 1

1

-10

8

1

2

-8

2

-8

0

Es decir que:

Ahora nos falta factorear

.

En este caso podemos hacer dos cosas:

-

Volver a usar el teorema de Gauss

-

Factorizarlo como un trinomio de segundo grado.

La segunda opción es más sencilla:

x2 +2 x−8=0 x 1; 2=

2 −2± √ 2 −4.1. (−8) 2.1

x 1=−4

;

x 2=2

x 2 +2 x−8=( x +4)( x −2)

17

Entonces: 3

2

P( x)=x + x −10 x +8=(( x− − 1)) ( x+ + 4 ) ( x− − 2))

RM8: Teorema de Gauss

18

3) Expresiones Algebraicas Racionales (E.A.R.) 3.a) Definición Una expresión algebraica racional es un cociente de dos polinomios, por ejemplo:

Las operaciones que se efectúan con las E.A.R son semejantes a las que realizamos con fracciones. 3.b) Operaciones con E.A.R. 3.b.i) Simplificación Para simplificar con EAR; primero factorizamos el numerador y el denominador, y luego cancelamos los términos iguales. Ejemplo:

2

2

4 (x −1)(x +1) x −1 = = 3 2 3 2 3 x +3 x+3 x +3 3(x + x+x +1) 2

=

( x+1)(x−1)(x + 1) 2

3(x + 1)(x +1)

=

x− −1 3

3.b.ii) Suma y Resta Al igual que con las fracciones, para poder sumar o restar EAR debemos calcular el común denominador, que será mínimo común. Múltiplo de todos los denominadores.

Ejemplo

2 x−2 x +2 + 2 − 2 x+2 + = x x +x x +2 x +1 x+ 1

19

1º] Factoreamos todos los denominadores y buscamos el mcm:

2

x +x=x (x +1) 2

2

x +2 x +1=( x + 1)

El mcm es: x (x+1)2 2º] Recordemos como sumamos o restamos con fracciones.

Con las EAR el concepto es el mismo. Debemos dividir el mcm, por ende uno de los denominadores, y luego multiplicarlo por el numerador. Una manera sencilla de pensarlo es que en cada fracción multiplicamos el numerador por lo que “le fata” en el denominador, al compararlo con el mcm.

x−2 x +2 2 x +2 + + − = x x (x+1) (x +1)2 x +1 =

( x−2)(x 2 +2 x+ 1)+(x+2)(x +1)−x (x+2)+2 x (x+1) = x(x +1)2

3º] Resolvemos cada uno de los términos: 3

2

2

2

2

2

x +2 x +x−2 x −4 x−2+x +3 x +2−x −2 x +2 x +2 x = 2 x(x +1) 4º] Agrupamos los términos semejantes, y resolvemos 3

=

2

x +2 x = 2 x (x +1)

20

5º] Si es posible, factoreamos el numerador, y simplificamos

=

2 + 2)) x (x+ 2) x(( x+ = 2 2 + 1)) x ( x +1) ( x+

3.b. iii) Multiplicación

La multiplicación es más sencilla: 1º] Se factorean todos los números y todos los denominadores 2º] Se simplifica cualquier numerador con cualquier denominador Ejemplo:

x 2 +4 x +4 14 x −28 x 3 +3 x 2−x−3 = . . 2 x +1 7 x +7 x−14 2 x +6 =

14 (x−2) (x+1)(x−1)( x +3 ) ( x+2)2 . . = x +1 7( x+2)(x−1) 2 (x−3)

=(( x+ + 2)) ( x− − 2)) 3.b.iv) División Recordemos cómo operamos en la división de fracciones:

Una división de fracciones se transforma en una multiplicación, invirtiendo la segunda fracción. Con las EAR operamos del mismo modo

21

4 4 6 x+ 12 x −16 3 x 2−12 x+ 12 x −16 . = : = 2 2 2 6 x+12 x +4 x + 4 3 x −12 x + 12 x + 4 x+4 2

2 2 ( x + 4)(x −4 ) 6(x +2) (x +4)(x +2)( x−2) 6(x +2) = = . . = 2 3(x−2)2 (x +2)2 (x +2)2 3(x−2) 2

=

2(( x + 4)) x− −2

3.b.v) Operaciones combinadas con EAR En las operaciones combinadas con EAR se siguen las mismas reglas que con las operaciones con fracciones. Ejemplo:

(

)

x2 −1 2x 2 + 1 . x2 −x x−1 2x3 +x 2

Resolvemos el paréntesis

(

2 x −1 1 2x . 3 2= + x(x −1) x−1 2 x + x

)

=

2 2 x +x x −1 = . x( x−1) 2 x 3 +x 2

2

2

Ahora nos quedó una multiplicación, entonces factoreamos todo para poder simplificar:

=

x (2 x+1) (x+1)( x−1) = . x (x−1) x 2 (2 x+1)

=

x+ +1 x2 RM9: Operaciones con EAR

22...