Análisis Frecuencial de caudales diapositivas PDF

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CAUDALESANÁLISIS FRECUENCIALCAUDALESPERIODO DE RETORNOANÁLISIS FRECUENCIALCAUDALES PARA OBRAS DE CONTROLEl periodo de retorno o tiempo de retorno es el tiempo promedio en años en que un caudal pico determinado es igualado o excedido al menos una vezTr =1/pp /pp = P(X ≥ xt)Tr: Periodo de retorno p: P...

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CAUDALES CAUD ALES

ANÁLISI SIS FRECUEN ECUENCIAL ANÁLI SI S FR ECUEN CIAL

CAUDA CAUDALES LES

ANÁLISIS FRECUENCI FRECUENCIAL AL Los procesos hidrológicos varían en el espacio y en el tiempo de forma parcialmente aleatoria. Los caudales máximos, son eventos que pueden ser considerados como aleatorios El comportamiento de los caudales máximos se puede describir con una función de distribución de probabilidades. El análisis de frecuencias consiste en estimar la probabilidad de ocurrencia de eventos pasados o futuros. Su confiabilidad depende de los datos históricos y de la incertidumbre de la distribución de probabilidades

CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

PERIODO DE RETORNO El periodo de retorno o tiempo de retorno es el tiempo promedio en años en que un caudal pico determinado es igualado o excedido al menos una vez Ejemplo Una crecida de 30 m3/s con un periodo de 25 años: • Caudal máximo será igual o excederá los 30 m 3/s con un intervalo en promedio de 25 años • Probabilidad de que un caudal exceda los 30 m3/s en un año es de 1/25 Dos casos:

Tr = 1/p p = P (X ≥ xt )

Tr = 1/(1 − 1/p) p = P (X ≤ XT )

Tr : Periodo de retorno p : Probabilidad de excedencia del evento xt Xt : Evento que ocurre para un determinado periodo de retorno Tr : Periodo de retorno 1-p : Probabilidad acumulada del evento xt Xt : Evento que ocurre para un determinado periodo de retorno

ANÁLISIS FRECUENCIAL CAUDALES OBRAS CONTROL CAUDA LES PARA OBR AS DE CONTR OL

SERI SERIES ES DE DATOS Y DI DISTRI STRI STRIBUCI BUCI BUCIÓN ÓN DE VALOR VALORES ES EXTREMOS Es necesario series de variables cuyos datos son extremos Por ejemplo caudales máximos: Q1, Q2, Q3, …., Qi, …., Qn Donde: Qi es el caudal máximo instantáneo registrado en el año i (m3/s) n es el número total de años

CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

ANÁLIS ANÁLISIIS D DE E FR FRECUEN ECUEN ECUENCIA CIA CON EL FAC FACTOR TOR D DE E FRECUENC FRECUENCIA IA Histograma de Q95

0.2

0.4

2 2 1 √ e−(x−µ) /2σ σ 2π

0.0

Densidad

0.6

P (x) =

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

z=

x−µ σ

Q95 [m3/s]

x=x ¯ + z × Sx

xT = x ¯ + KT × Sx

Estimación de x para una muestra de una población con una distribución normal Estimación de x para una muestra con cualquier distribución de probabilidades

Donde: xT es el valor correspondiente para una probabilidad de frecuencia de un tiempo T x ¯ es la media del conjunto de valores de x Sx es la desviaci´on est´andar del conjunto de valores de x KT es el factor de frecuencia para un tiempo T

CAUDALES OBRAS CONTROL CAUDA LES PARA OBR AS DE CONTR OL MÁXIMOS: DE PROBABILIDADES CÁLCULO DE CAUDALES MÁXI MOS: FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN D E PROBABILIDA DES

ANÁLIS ANÁLISIIS D DE E FR FRECUEN ECUEN ECUENCIA CIA CON EL FAC FACTOR TOR D DE E FRECUENC FRECUENCIA IA Funciones de distribución que se utilizan en el ámbito nacional: • • • • • •

Normal LogNormal Gumbel LogGumbel Pearson Tipo 3 o Gamma de 3 parámetros LogPearson 3

CAUDA LES CAUDALES ANÁLISIS FRECUENCIAL

DISTRI DISTRIBUCIÓN BUCIÓN NORMAL

xT = x ¯ + KT × Sx x=x ¯ + z × Sx

Función de densidad

p(x) =

2 2 1 √ e−(x−µ) /2σ σ 2π

Esti Estimaci maci mación ón de pará parámetros metros x ¯=

Pn

i=1

xi

n

Sx =

(

1 × n−1

n X i=1

2

(xi − x ¯)

)1/2

Factor d de e frecuenci frecuencia a KT corresponde al valor z de la distribución normal estandarizada

ZT ⇐⇒ P (1 − 1/Tr ) CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

DISTRI DISTRIBUCIÓN BUCIÓN LOG LOG--NOR NORMAL MAL y = ln(x)

xT = eyT

yT = y¯ + KT × Sy

Función de densidad

p(x) =

2 2 1 √ e−(y−µy ) /2σ y xσy 2π

Esti Estimaci maci mación ón de pará parámetros metros )1/2 ( Pn n X 1 yi 2 × (yi − y¯) Sy = y¯ = i=1 n−1 n i=1 Factor d de e frecuenci frecuencia a KT corresponde al valor z de la distribución normal estandarizada

ZT ⇐⇒ P (1 − 1/Tr ) CAUDA LES CAUDALES ANÁLISIS FRECUENCIAL

GUMBEL

xT = x ¯ + KT × Sx

Función de densidad y dens densidad idad acumulada  ✓ ◆ ◆ ✓  −(x − β) −(x − β) −(x − β) 1 P (x) = exp −exp − exp p(x) = exp α α α α

Esti Estimaci maci mación ón de pará parámetros metros

α = 0.779696Sx

β=x ¯ − 0.5772α

Factor d de e frecuenci frecuencia a

◆ ⇢  ✓ Tr KT = −0.779696 0.5772 + ln ln Tr − 1 CAUDA LES CAUDALES ANÁLISIS FRECUENCIAL

LOG LOG--GUMB GUMBEL EL y = ln(x)

xT = eyT

yT = y¯ + KT × Sy

Función de densidad y dens densidad idad acumulada ✓  ◆ −(y − β) −(y − β) 1 − exp exp p(x) = α α xα

P (y) = exp −exp

−(y − β) α

Esti Estimaci maci mación ón de pará parámetros metros

α = 0.779696Sy

β = y¯ − 0.5772α

Factor d de e frecuenci frecuencia a

◆ ⇢  ✓ Tr KT = −0.779696 0.5772 + ln ln Tr − 1 CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

PEARSON TIPO 3

xT = x ¯ + KT × Sx

Función de densidad

✓ ◆ ✓ ◆ 1 x − x0 x − x0 β−1 p(x) = × exp − × α |α|Γ(β) α 𝑥" ≤ 𝑥 0 ∝%≤ 𝑥 < 𝑥" para ∝< 0

Esti Estimaci maci mación ón de pará parámetros metros

α = Sx Cs/2

β = (2/Cs)2

x0 = x ¯ − αβ

Cs corresponde al coeficiente de asimetría

Factor d de e frecuenci frecuencia a KT ≈ z+(z 2 −1)×(Cs/6)+1/3×(z 3 −6z)×(Cs/6)2 −(z 2 −1)×(Cs/6)3 +z × (Cs/6)4 + 1/3 × (Cs/6)5

z es el valor de la variable de la distribución normal estandarizada CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

LOG PE PEARSON ARSON TIPO 3 yT = y¯ + KT × Sy

y = ln(x)

xT = eyT

Función de densidad

1 × p(x) = x|α|Γ(β)

✓

y − y0 α

◆β−1

✓ ◆ y − y0 × exp − α

Esti Estimaci maci mación ón de pará parámetros metros

α = Sy Csy /2

β = (2/Csy )2

y0 = y¯ − αβ

Csy corresponde al coeficiente de asimetría de los datos transformados

Factor d de e frecuenci frecuencia a KT ≈ z+(z 2 −1)×(Cs/6)+1/3×(z 3 −6z)×(Cs/6)2 −(z 2 −1)×(Cs/6)3 +z × (Cs/6)4 + 1/3 × (Cs/6)5

z es el valor de la variable de la distribución normal estandarizada CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ELECCIÓN POR PRUEBAS DE AJUSTE Y ESTADÍ ESTADÍSTICOS STICOS Méto Métodos dos dos::

• Prueba Kolmogorov-Smirnov • Prueba 𝜒2 • ECMF (Error cuadrático medio de frecuencias) • ECMV (Error cuadrático medio)

CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

GRÁFICAS DE PRO PROBABILIDAD BABILIDAD Const Construcc rucc rucción ión

p = P (X ≤ xm ) =

Procedimiento • Establecer el número de orden de la

variable Ordenar los caudales de menor a mayor Determinar la frecuencia acumulada (3 posibilidades)

• •

p = P (X ≤ xm ) =

Ecuación de Weibull (1)

(2)

(3)

(4)

Número d de e orden (m)

Xi

Xm (X ordenado de menor a mayor)

Frecuen Frecuencia cia acumulada (p )

1 2

X1 X2

Xmin .

3

X3

.

p1 p2 p3

. . . n-1 n

. . Xn-1 Xn

m n

m − 0.5 n

p = P (X ≤ xm ) =

m n+1

Distribucion Normal

CAUDA CAUDALES LES

Xmax

. . . pn-1 pn

80

Probabilidad acumulada [%]

. . . .

100

60

40

20

0 0

50

100

150

Caudal [m3/s]

ANÁLISI ANÁLISIS S FRECUENCIAL

GRÁFICAS DE PRO PROBABILIDAD BABILIDAD Distribucion Normal

Distribucion Pearson Tipo III

Distribucion Gumbel

80

80

80

60

40

20

Probabilidad acumulada [%]

100

Probabilidad acumulada [%]

100

Probabilidad acumulada [%]

100

60

40

20

0 50

100

150

40

20

Observaciones Teorico

0 0

60

0

50

100

0

150

0

50

Caudal [m3/s] Distribucion Log Normal

80

80

60

40

20

Probabilidad acumulada [%]

80

Probabilidad acumulada [%]

100

Probabilidad acumulada [%]

100

60

40

20

0 100

Caudal [m3/s]

150

60

40

20

0 50

150

Distribucion Log Pearson Tipo III

Distribucion Log Gumbel

100

0

100

Caudal [m3/s]

0 0

50

100

Caudal [m3/s]

150

0

50

100

150

Caudal [m3/s]

CAUDALES CAUDA LES ANÁLISIS FRECUENCIAL

GRÁFICAS DE PRO PROBABILIDAD BABILIDAD Papel Probabil Probabilíst íst ístico ico

0.999

0.99

0.95 0.96

0.9

0.8

0.7

0.975 0.98

P(X...