Analisis Matricial de Estructuras ROBERTO FALCONI PDF

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Presentación La primera edición del libro: “Análisis Matricial de Estructuras” fue publicado en 1982 y sirvió durante varios años como texto de consulta de la materia que se creó con el mismo nombre en 1982 en la Facultad de Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica del Ejército. El Ing. Adrián He...

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Presentación La primera edición del libro: “Análisis Matricial de Estructuras” fue publicado en 1982 y sirvió durante varios años como texto de consulta de la materia que se creó con el mismo nombre en 1982 en la Facultad de Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica del Ejército. El Ing. Adrián Herrera Vela en esa época alumno de VI Nivel tuvo la paciencia de escribir el libro en una máquina portátil en la cual si se equivocaba tenía dos opciones, repetir la página o usar tinta blanca correctora, era muy difícil escribir en esa época. Este texto tuvo 274 páginas. La segunda edición del libro: “Análisis Matricial de Estructuras” se publicó en 1995, fue una edición que tuvo 15 capítulos y 612 páginas. La diferencia de páginas habla por si solo de que prácticamente era un nuevo libro que en ésta ocasión fue escrito por el Ing. Héctor Oña G., que por esos tiempos era estudiante de Ingeniería Civil de la ESPE. La presentación de éste libro fue realizada por el Ing. Ignacio Dávila Rojas y el prólogo fue escrito por el Ing. Alejandro Segovia Gallegos, que ha criterio del autor han sido los principales profesores que ha tenido la ESPE no solo por sus conocimientos y entrega a la cátedra sino por su gran calidad humana. Fue un honor que me hicieron estos dos grandes maestros en escribir la presentación y el prólogo de ese libro con palabras muy bondadosas que han servido de estímulo en mi trayectoria académica y científica. Decidí escribir la tercera edición ante el reiterado pedido de estudiantes de varias universidades del Ecuador que me pedían que les preste la segunda edición del libro para fotocopiarlo y así seguir las clases de sus profesores. El 16 de diciembre de 2003 fui invitado por el Ing. Diego Barahona, profesor de la Universidad Nacional del Chimborazo y ex alumno del autor del libro a que dicte un curso sobre “Análisis Sísmico por Desempeño” en la ciudad de Riobamba y nuevamente se repitió el pedido de que necesitaban el libro de “Análisis Matricial de Estructuras” ahí fue cuando decidí trabajar a tiempo completo en la edición del presente libro. En ésta ocasión personalmente me dedique a escribir el texto teniendo como base el libro de la segunda edición, con las herramientas informáticas que se disponen actualmente es más sencillo escribir los libros en relación a la forma como lo hacíamos por 1980 o 1990. A pesar de que se tiene esta ayuda informática, escribir un libro demanda demasiado tiempo pero únicamente el pensar que va a ser de gran utilidad a tantos estudiantes le da animo a sacrificarse a sabiendas de que escribir un libro técnico en el Ecuador no es rentable desde el punto de vista económico pero si desde el punto de vista espiritual que es más valioso que el primero. La tercera edición del libro tiene 17 capítulos, dos más que el anterior ya que este libro fue escrito para cubrir el programa de estudios de la materia “Análisis Matricial de Estructuras” que se dicta en la ESPE en V Nivel, y el programa termina con el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas de piso orientado al análisis sísmico de edificios considerando piso rígido. De tal manera que la segunda edición estaba incompleta puesto que el programa de estudios no se termina con la programación de una estructura que era el último capítulo de la segunda edición. Debo manifestar que al escribir la tercera edición no me gustó la redacción empleada en la segunda edición, había temas que los consideraba que no estaban lo suficientemente explicados y por eso decidí realizar más ejemplos para que el texto sea más didáctico para los estudiantes. De

ii

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

igual manera había que actualizar ciertos aspectos de acuerdo al conocimiento que se tiene actualmente y a las herramientas informáticas que se disponen. La tercera edición del libro tiene un menor número de páginas en relación a la segunda edición debido a que ahora se escribió con una letra más pequeña pero ésta nueva edición tiene dos capítulos más que la anterior y un mayor número de ejemplos resueltos. En el capítulo 15 del libro de la segunda edición se presentó un programa de computación en Fortran para resolver pórticos planos. Ahora se presenta un programa de computación en MATLAB el mismo que fue desarrollado por la Ing. Ana Gabriela Haro quien es actualmente la profesora de esta materia en la ESPE desde el 2003. El Fortran es un lenguaje de computación muy actual orientado al cálculo científico es así como programas de fama mundial como el SAP2000, Ruaumoko, IDARC, Drain, etc, están escritos en Fortran pero decidí cambiar la programación a MATLAB por que para los estudiantes es mucho más fácil su programación por las librerías que dispone. Agradezco a la Ing. Ana Gabriela Haro por haber redactado el capítulo 15 del libro siguiendo el mismo esquema de la segunda edición. La mejor satisfacción que tiene un profesor es formar a sus estudiantes y cuando uno considera que ya tienen bases sólidas para impartir la materia que mejor que ellos lo hagan, la mencionada profesional que fue la mejor estudiante de su promoción fue mi asistente de cátedra y de trabajo en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, es una persona muy inteligente y me siento complacido que sea ella quien dicté la materia que dicte por espacio de 20 años en la ESPE. De igual manera deseo agradecer al Sr. Wilson Estacio, actualmente alumno del VIII Nivel de Ingeniería de Sistema y que trabaja en el Centro de Investigaciones Científicas quien ha sido el encargado de realizar todos los dibujos del libro he de reconocer que como no es estudiante de Ingeniería Civil tuvo que repetir algunas veces varios dibujos para que las deformadas queden muy bien. El Sr. Wilson Estacio es un hombre muy trabajador y capaz que sabía que su trabajo es muy valioso para el aprendizaje de los lectores del libro y se esmeró al máximo para que los dibujos sean de calidad. Gracias a Dios cuento con el apoyo de los Directivos de la ESPE para dedicarme a enseñar, investigar, escribir y desde el 2003 ha fomentar la Investigación Científica en la ESPE, por éste motivo es de caballeros ser agradecido pero para que no sea tan larga la lista de los Directivos que me han apoyado quiero hacerlo únicamente a los dos últimos Rectores de la Institución que por coincidencia son Ingenieros Civiles y se que van a valorar este libro. Empecé la tercera edición cuando era Rector de la ESPE el Crnl. Ing. Edwin Ortiz y terminé cuando es Rector el Crnl. Ing. Marco Vera, dos hombres muy capaces, honestos, brillantes, a quienes conozco desde hace más de 20 años cuando ellos eran Tenientes y excelentes estudiantes de la ESPE. A ellos y por su intermedio a los Directivos de la ESPE mi profundo agradecimiento por permitirme publicar esta obra que va en beneficio de los estudiantes de la ESPE y de todos los estudiantes en cuyas universidades se sigue éste texto como fuente de consulta. Como en todos mis libros no puedo dejar de agradecer a mi querida esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás, Gabriel y Felipe por la gran felicidad que me dan día a día y finalmente pero en primer lugar a Dios que sin su ayuda nada puedo.

Roberto Aguiar Falconí Director del Centro de Investigaciones Científicas Escuela Politécnica del Ejército. Mayo de 2004

INDICE GENERAL CAPITULO 1 COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD 1.1

1.2

1.3

DEFINICIONES ESTRUCTURALES

1

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

1 3 3 5

DEFINICIONES DE MECANICA

6

1.2.1 1.2.2 1.2.3

6 8 9

Coordenadas generalizadas Números de grados de libertad Sistemas deformables

GRADOS DE LIBERTAD EN UNA ESTRUCTURA 1.3.1. 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5

1.4

Vínculos Elementos Juntas Estructuras

Clases de estructuras Pórticos planos con elementos flexibles Pórtico plano con elementos axialmente rígidos Pórtico plano con elementos transversalmente rígidos Pórtico plano con elementos totalmente rígidos

EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ejemplo 1 Ejemplo 2

1.5

EJERCICIOS PROPUESTOS

9 9 10 11 13 14 15 15 16 18

CAPITULO 2 SISTEMA DE CARGAS Y COORDENADAS GENERALIZADAS 2.1

COORDENADAS GENERALIZADAS DE UNA ESTRUCTURA

21

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

iv

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2

Vector q Coordenadas generalizadas ortogonales Ejemplo 1 Coordenadas generalizadas no ortogonales Ejemplo 2 Diagramas de deformación elementales Ejemplo 3

21 23 23 24 24 25 25

CARGAS GENERALIZADAS DE UNA ESTRUCTURA

27

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

Hipótesis considerada El sistema Q – q Solución general del problema Problema primario El problema complementario

27 29 29 30 30

2.3

DESPLAZAMIENTO DE LOS ELEMENTOS

32

2.4

EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 4 Ejemplo 5

34 34 35

2.5

EJERCICIOS PROPUESTOS

37

CAPITULO 3 FUNCIONES DE FORMA O DE INTERPOLACIÓN 3.1

ORDENADAS DE LA ELASTICA

39

3.2

PRIMERA FORMA DE CALCULO

40

3.2.1

40 42 43 45 47 48

3.2.2 3.2.3

3.3

TERCERA FORMA DE CALCULO

48

3.3.1 3.3.2 3.3.3

48 49 49

Expresiones de la Elástica Desplazamientos como cuerpo rígido Cálculo de φ 4 ( x)

φ5 ( x)

y

φ 6 ( x)

3.3.4

Cálculo de

3.3.5

Resumen de las funciones de forma para miembros lineales totalmente Flexibles de sección constante Funciones de forma para miembros axialmente rígidos Funciones de forma para miembros transversalmente rígidos

3.3.6 3.3.7 3.4

Efecto de u1 en la ordenada de la elástica Ejemplo 1 Efecto de v1 en la ordenada de la elástica Ejemplo 2 Efecto de θ 1 en la ordenada de la elástica Ejemplo 3

50 51 51 52

CUARTA FORMA DE CALCULO

52

3.4.1 3.4.2

52 53

Planteamiento de elementos finitos Cálculo de la matriz de rigidez de miembro

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

3.5

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE FORMA

54

3.5.1 3.5.2 3.5.3

Cálculo de momentos de empotramiento Cálculo de cortantes de empotramiento Cálculo de la fuerza axial de empotramiento Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Cálculo de las deflexiones Ejemplo 9 Ejemplo 10

54 55 56 57 58 59 60 62 63 64 65

APLICACIÓN A LA INGENIERIA SISMORRESISTENTE

67

Ejemplo 11

68

EJERCICIOS RESUELTOS

71

Ejemplo 12 Ejemplo 13 Ejemplo 14

71 73 75

EJERCICIOS PROPUESTOS

77

3.5.4

3.6

3.7

3.8

v

CAPITULO 4 VECTOR DE CARGAS GENERALIZADAS Q 4.1

4.2

4.3

4.4

PROBLEMA PRIMARIO Y COMPLEMENTARIO

81

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

81 82 83 84 84 86 89 91

Introducción Problema primario Problema complementario Problemas numéricos Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4

TRABAJOS VIRTUALES

93

Ejemplo 5

94

EJERCICIOS RESUELTOS

98

Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo 11 Ejemplo 12

98 102 106 108 109 117 121

EJERCICIOS PROPUESTOS

123

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

vi

CAPITULO 5 RELACION ENTRE DOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.1

CAMBIO COORDENADAS

125

5.2

PUNTO DE VISTA GEOMÉTRICO

126

5.2.1

126 127 129

5.2.2 5.3

PUNTO DE VISTA ESTATICO

131

5.3.1

131 132 136 137

5.3.2 5.3.3 5.4

5.5

Relación entre dos sistemas de coordenadas generalizadas Ejemplo 1 Relación entre dos sistemas de cargas

Relación entre dos sistemas de cargas Ejemplo 2 Relación entre dos sistemas de desplazamiento Relación entre T y T1

RELACION ENTRE SISTEMAS DE COORDENADAS NO GENERALIZADAS

138

5.4.1

Relación

138

5.4.2

Relación Q = T Q ng

q ng = T q t

CALCULO DEL VECTOR Q POR MEDIO DE LA MATRIZ T

139

5.5.1

Matriz T2−3

139

5.5.2

Cálculo de

141

Q orientado al ordenador

5.5.2.1 Caso de cargas en las juntas Ejemplo 3 5.5.2.2 Caso de cargas en los elementos Ejemplo 4 5.6

5.7

138

141 141 143 144

EJERCICIOS RESUELTOS

147

Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10

147 150 152 154 165 173

EJERCICIOS PROPUESTO

174

CAPITULO 6 RELACION ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS. ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES 6.1

MATRIZ DE RIGIDEZ

179

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

6.1.1 6.1.2 6.2

6.3

6.5

179 182

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

183

6.2.1

Relación entre q − Q

183

6.2.2

Relación entre F y K Ejemplo 1

184 185

DEFORMACIONES DE LOS ELEMENTOS

187

6.3.1

189 191 192 193 196 198 199 199

6.3.2 6.3.3

6.4

Relación entre Q − q Características de la matriz de rigidez

vii

Deformaciones de un elemento Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Cálculo mediante trabajos virtuales Otro sistema de coordenadas del elemento Ejemplo 5 Ejemplo 6

EJERCICIOS RESUELTOS

200

Ejemplo 7 Ejemplo 8

200 202

EJERCICIOS PROPUESTOS

204

CAPITULO 7 MATRIZ DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD DE UN ELEMENTO LINEAL 7.1

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD DE UN ELEMENTO f

207

7.1.1 7.1.2

207 210 210 212 213 214 214 215

7.1.3 7.1.4 7.1.5 7.1.6 7.1.7 7.2.

7.3

Forma general Coeficiente de forma Ejemplo 1 Elementos de sección constante considerando el efecto de corte Elementos de sección constante sin considerar el efecto de corte Elementos axialmente rígidos Elementos transversalmente rígidos Relación fuerza deformación

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO k

215

7.2.1 7.2.2 7.2.4 7.2.5 7.2.6

215 216 216 217 217

Forma general Elementos de sección constante sin considerar el efecto de corte Elementos axialmente rígidos Elementos transversalmente rígidos Relación deformación fuerza

OBTENCION DE f y k UTILIZANDO LA MATRIZ 7.3.1

Planteamiento del problema

T

218 218

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

viii 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5

7.4

7.5

Solución del problema Cálculo de la matriz de rigidez usando la geometría Cálculo de la matriz de flexibilidad usando la estática Obtención de k y f cuando se cambia la numeración del sistema de coordenadas

219 221 223 225

EJERCICIOS RESUELTOS

227

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5

227 228 228 229 230

EJERCICIOS PROPUESTOS

231

CAPITULO 8 MATRIZ DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD DE UNA ESTRUCTURA A PATRIR DEL CONCEPTO 8.1

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4

8.2

8.5

233 233 234 234 239 239 242

8.2.1 8.2.2

242 242 242 249 249

Definición Procedimiento de cálculo Ejemplo 3 Principio de superposición Ejemplo 4

TRANSFORMACION DE COORDENADAS DE UNA ESTRUCTURA

253

8.3.1

253 253 255

8.3.2 8.4

Definición Procedimiento de cálculo Primera forma de cálculo numérico Ejemplo 1 Segunda forma de cálculo numérico Ejemplo 2

233

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD DE UNA ESTRUCTURA F

8.2.3 8.3

K

Cálculo de la matriz de rigidez y de flexibilidad Ejemplo 5 Regla práctica

EJERCICIOS RESUELTOS

256

Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9

256 260 262 263

EJERCICIOS PROPUESTOS

264

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ix

CAPITULO 9 MATRICES A Y B 9.1

9.2

RELACION ENTRE DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES

267

9.1.1 9.1.2

Introducción Definición

267 268

9.1.3

Matriz fuerza carga A

269

9.2.1

269 269 275 279 284 285 287 289 292 293

9.2.3

9.4

Pórticos planos Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Armadura plana Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Coordenadas P − p arbitrarias Ejemplo 7

RELACION ENTRE CARGAS GENERALIZADAS Y FUERZAS INTERNAS

295

9.3.1 9.3.2 9.3.3

295 296 296

Introducción Definición Relación entre B y A

CALCULO DE LA MATRIZ 9.4.1

9.4.2

9.5

268

CALCULO DE LA MATRIZ A

9.2.2

9.3

t

B

Coordenadas P − p usuales Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Coordenadas P − p arbitrarias Ejemplo 11

EJERCICIOS PROPUESTOS

296 296 296 301 303 304 304 309

CAPITULO 10 CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA POR MEDIO DE LA MATRIZ A 10.1

FORMULACION MATRICIAL Ejemplo 1

313 313

10.2

CALCULO DE K TRABAJANDO CON SUBMATRICES Ejemplo 2

316 318

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

x 10.3

CALCULO DE Ejemplo 3 Ejemplo 4

K CON CUALQUIER SISTEMA P − p

319 320 322

10.4

EDIFICIO DE CORTE Ejemplo 5

324 324

10.5

DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL TRIPLE PRODUCTO MATRICIAL

326

10.6

USO DE CAL Ejemplo 6

329 331

10.7

EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo 11 Ejemplo 12 Ejemplo 13 Ejemplo 14 Ejemplo 15 Ejemplo 16

331 331 334 336 338 339 341 342 343 344 344

10.8

EJERCICIOS PROPUESTOS

345

CAPITULO 11 EL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS 11.1

11.2

11.3

CONSIDERACIONES GENERALES

349

11.1.1 Reseña Histórica 11.1.2 Ideas generales del método 11.1.3| Comentarios del método

349 350 351

SISTEMAS CINEMATICAMENTE DETERMINADOS

352

11.2.1 11.2.2 11.2.3

352 352 353

SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES

354

11.3.1

354 354 359 363 365 367 367 368 368

11.3.2 11.3.3 11.3.4 11.3.5 11.3.6 11.4

Indeterminación estática y cinemática Definición de la matriz A Procedimiento de solución

Método de Gauss Ejemplo 1 Matriz Simétrica Sistema de ecuaciones simétricas bandeadas Otros métodos Solución de ecuaciones con CAL Ejemplo 2 Ejemplo 3 Otros comandos de CAL

PORTICOS PLANOS

369

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRU...