ANALISIS NUMERIK LANJUT TEORI APROKSIMASI: METODE LEAST SQUARE DAN INTERPOLASI PDF

Preview

Summary

TUGAS 2: ANALISIS NUMERIK LANJUT TEORI APROKSIMASI: METODE LEAST SQUARE DAN INTERPOLASI Diska Armeina NIM. 20119005 Institut Teknologi Bandung 2020 I. PENDAHULUAN Teori Aproksimasi bertujuan untuk menyelesaikan dua tipe masalah umum. Pertama, apabila diberi sebuah fungsi eksplisit namun ingin memmbu...

Description

Accelerat ing t he world's research.

ANALISIS NUMERIK LANJUT TEORI APROKSIMASI: METODE LEAST SQUARE DAN INTERPOLASI Diska Armeina

Related papers Tugas Besar Met oda Numerik Wahyu JM

MET ODE NUMERIK Surya Adit ama Daft ar Isi KATA PENGANTAR DAFTAR ISI bagus supra

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

TUGAS 2: ANALISIS NUMERIK LANJUT TEORI APROKSIMASI: METODE LEAST SQUARE DAN INTERPOLASI Diska Armeina NIM. 20119005 Institut Teknologi Bandung 2020 I. PENDAHULUAN Teori Aproksimasi bertujuan untuk menyelesaikan dua tipe masalah umum. Pertama, apabila diberi sebuah fungsi eksplisit namun ingin memmbuat fungsi itu menjadi lebih sedeharna misalnya dengan menggunakan fungsi polinom untuk mengaproksimasi nilai yang diberikan oleh fungsi tersebut. Tujuan selanjutya adalah untuk menemukan fungsi dari suatu kelas tertentu yang dapat merepresentasikan data dengan menggunakan fitting function. Aproksimasi Least Square [1] Least square mengaproksimasi masalah dengan dengan menentukan garis aproksimasi linear terbaik dengan meminimalisir error yang didedifiniskan sebagai berikut. 𝑚

dengan,

2

𝐸 = ∑(𝑦(𝑖 ) − 𝑃𝑛 (𝑥𝑖 )) , 𝑖=𝑖

{(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )|𝑖 = 1,2, . . , 𝑚}

(1)

𝑃𝑛 (𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 Koefisien 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0,1, … 𝑛 diperoleh dari menyelesaikan persamaan normal yang didefinisikan sebagai berikut. 𝑛

𝑚

𝑗+𝑘 ∑ 𝑎𝑘 ∑ 𝑥 𝑖 𝑘=0 𝑖=1

𝑚

𝑗

= ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖 , 𝑖=1

𝑗 = 0,1, … , 𝑛

(2)

Polinomial Interpolasi Lagrange [1] Jika 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , dengan 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 dan 𝑓 merupakan fungsi yang terdefini pada titik-titik tersebut maka terdapat polinom tunggal 𝑃(𝑥) derajat sebanyak 𝑛 dengan dengan 𝑓(𝑥𝑘 ) = 𝑃(𝑥𝑘 ) untuk setiap 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 dan 𝑛

𝑃 (𝑥 ) = 𝑓 (𝑥1 )𝐿𝑛,0 (𝑥) + ⋯ + 𝑓 (𝑥𝑛 )𝐿𝑛,𝑛 (𝑥 ) = ∑ 𝑓 (𝑥𝑘 )𝐿𝑛,𝑘 (𝑥 )

dimana untuk setiap 𝑘 = 0,1, … , 𝑛,

𝑛

𝐿𝑛,𝑘 (𝑥 ) = ∏ 𝑖=0 𝑖≠𝑗

𝑘=0

𝑥 − 𝑥𝑖 𝑥𝑘 − 𝑥𝑖

(4)

(5)

Pada tugas ini akan diselesaikan persoalan berdasarkan data yang diberikan sebagai berikut (untuk poin a-e). 𝑥𝑖

𝑦𝑖

a. b. c. d. e. f. g.

4 102.56

4.2 113.18

4.5 130.11

4.7 142.05

5.1 167.53

5.5 195.14

5.9 224.87

6.3 256.73

6.8 299.5

7.1 326.72

Polinom least square derajat 1 dan dihitung errornya Polinom least square derajat 2 dan dihitung errornya Polinom least square derajat 3 dan dihitung errornya Aproksimasi least square dari 𝑏𝑒 𝑎𝑥 dan dihitung errornya. Aroksimasi least square dari 𝑏𝑥 𝑎 dan dihitung errornya. Misalkan 𝑃3 (𝑥) polinom interpolasi dari data (0,0), (0.5, 𝑦), (1,3) dan (2,2) dengan koefisien 𝑥 3 adalah 6. Tentukan 𝑦. Misalka 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 − 𝑥 2 dan 𝑃2 (𝑥) polinom interposasi dari 𝑥0 = 0, 𝑥1 dan 𝑥2 = 1. Tentuka nilai terbesar 𝑥1 pada (0,1) yang memenuhi 𝑓 (0.5) − 𝑃2 (0.5) = −0.25

Secara umum, langkah mencari fungsi polinom untuk mengaproksimasi nilai dari data yang diberikan adalah pertama, tentukan derajat polinom yang akan dibentuk. Selanjutnya bentuk persamaan normal berdasarkan (2). Selesaikan persamaan tersebut untuk menemukan koefisien 𝑎𝑖 . Selanjutnya terbentuklah fungsi aproksimasi polinom. Yang terkahir, hitung error dengan menggunakan persamaan (1). Dalam menyelesaikan masalah pada tugas ini menggunakan Matlab R2017a dengan algoritma sebagai berikut. Algoritma. Langkah 1. Input banyaknya data (N), derajat tertinggi polinom (M) dan pasangan data (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) Langkah 2. Inisiasi vektor koefisien 𝑎, jumlah kuadrat 𝑥𝑖 (𝑋), jumlah pekalian 𝑦(𝑖 )𝑥(𝑖) sebagai 𝑌 dan 𝑃 hasil aproksimasi Langkah 3. Hitung nilai 𝑋 dan 𝑌 for I = 1:N for it =1 : (M+1) for iter = 1 : (M+1) X(it, iter) ← X(it, iter) + + x(i)^(it+iter-2); end Y(it) = Y(it)+y(i)*x(i)*(it-1); end end Langkah 4. Hitung Nilai 𝑎 ← X −1 𝑌 Langkah 5. Hitung Hasil Aproksimasi 𝑃(𝑥𝑖 ) dan error

for j = 1:N P(j)=a(1); for I = 2 : M+1 P(j) ← P(j) + a(i)*x(j)^(i-1); error ← (y(j)-P(j))^2l end end

II. DISKUSI PEMBAHASAN Berdasarak data yang diberikan, akan diselesaikan persoalan bagian (a-e) a. Polinom Least Square derajat 1 Pertama dibentuk persamaan normal sebagai berikut. 10

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖0 𝑖=1 10

10

10

𝑖=1 10

𝑖=𝑖 10

𝑖=1

𝑖=𝑖

+ 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖0

(1)

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖

(2)

𝑖=1

Dengan menggunakan Matlab, diperoleh 𝑎0 = −194.13824 ; 𝑎1 = 72.08452 Dengan demikian fungsi polinom derajat satu yang terbentuk adalah 𝑃1 (𝑥 ) = −194.13824 + 72.08452𝑥 dan hasil aproksimasi ditunjukkan pada Tabel 1. TABEL 1. Hasil Aproksimasi Least Square 𝑃1 (𝑥)

GAMBAR 1. Grafik Aproksimasi Polinom Least Square 𝑃1 (𝑥)

Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan persamaan (1) sebagai berikut 10

2

𝐸 = ∑(𝑦(𝑖 ) − 𝑃𝑛 (𝑥𝑖 )) 𝑖=𝑖

Dan dengan Matlab, diperoleh error sebesar 329.01319.

b. Polinom Least Square derajat 2 Persamaan normal untuk mencari koefisien 𝑎0 , 𝑎1 dan 𝑎2 sebagai berikut. 10

10

10

10

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖0 𝑖=1 10

+ 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑖=1 10

𝑎2 ∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=𝑖 10

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=𝑖

= ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖0

(1)

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖3 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖

(2)

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖4 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖2

(3)

𝑖=𝑖 10

Dengan menggunakan Matlab, diperoleh 𝑎0 = 1.23556 ; 𝑎1 = −1.14352; 𝑎2 = 6.618121. Dengan demikian fungsi polinom derajat satu yang terbentuk adalah 𝑃2 (𝑥 ) = 1.23556 − 1.14352𝑥 + 6.618121𝑥 2 dan hasil aproksimasi ditunjukkan pada Tabel 2. TABEL 2. Hasil Aproksimasi Least Square 𝑃2 (𝑥)

Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan persamaan (1) sebagai berikut 10

2

𝐸 = ∑(𝑦(𝑖 ) − 𝑃𝑛 (𝑥𝑖 )) 𝑖=𝑖

dan dengan Matlab, diperoleh error sebesar 0.001443. Artinya polinom derajat dua ini mengaproksimasi data lebih baik daripada polinom derajat satu.

GAMBAR 2. Grafik Aproksimasi Polinom Least Square 𝑃2 (𝑥)

c.

Polinom Least Square derajat 3 Persamaan normal untuk mencari koefisien 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 dan 𝑎3 sebagai berikut. 10

10

10

10

10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=𝑖 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=𝑖 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=1 10

𝑖=𝑖 10

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=𝑖

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖0 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖3 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖0

(1)

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖4 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖

(2)

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖5 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖2

(3)

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖5 + 𝑎3 ∑ 𝑥𝑖6 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖3

(4)

Dengan menggunakan Matlab, diperoleh 𝑎0 = 3.42909 ; 𝑎1 = −2.37922; 𝑎2 = 6.84557; 𝑎3 = −0.01367. Dengan demikian fungsi polinom derajat satu yang terbentuk adalah 𝑃3 (𝑥) = 3.42909 − 2.37922𝑥 + 6.84557𝑥 2 − 0.01367𝑥 3 . dan hasil aproksimasi ditunjukkan pada Tabel 2. TABEL 3. Hasil Aproksimasi Least Square 𝑃3 (𝑥)

Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan persamaan (1) sebagai berikut 10

2

𝐸 = ∑(𝑦(𝑖 ) − 𝑃𝑛 (𝑥𝑖 )) 𝑖=𝑖

Dan dengan Matlab, diperoleh error sebesar 0.000527. Artinya dibandingkan aproksimasi dengan polinom derajat satu dan dua, polinom derajat tiga ini yang paling baik.

GAMBAR 3. Grafik Aproksimasi Polinom Least Square 𝑃3 (𝑥)

d. Eksponensial 𝒚 = 𝒃𝒆𝒂𝒙 Approksimasi data ini juga dilakukan dengan menggunakan fungsi eksponensial. Persamaan 𝑦 = 𝑏𝑒 𝑎𝑥 dapat diubah menjadi bentuk ln 𝑦 = ln 𝑏 + 𝑎𝑥. Selanjutnya dengan Matlab diperoleh 𝑎 = 0.37238 dan 𝑏 = 24.25876 maka 𝑦 = 24.25876𝑒 0.37238𝑥 dengan hasil aproksimasi ditunjukkan pada Tabel 4 dengan error sebesar 417.690995. Artinya, Aproksimasi dengan fungsi ini tidak cukup baik untuk merepresentasikan data yang diberikan. Grafik aproksimasi fungsi ini diberikan pada Gambar 4. TABEL 4. Hasil Aproksimasi Least Square 𝑦 = 𝑏𝑒 𝑎𝑥

GAMBAR 4. Grafik Aproksimasi Polinom Least Square 𝑦 = 𝑏𝑒 𝑎𝑥

e. Aproksimasi dengan fungsi 𝒚 = 𝒃𝒙𝒂 Persamaan 𝑦 = 𝑏𝑎 𝑥 dapat diubah menjadi ln 𝑦 = ln 𝑏 + 𝑎 ln 𝑥. Selanjutnya dengan menggunakan Matlab diperoleh nilai 𝑎 = 2.01954 dan 𝑏 = 6.23903 maka 𝑦 = 6.23903𝑥 2.01954 dengan hasil aproksimasi ditunjukkan pada Tabel 5. TABEL 5. Hasil Aproksimasi Least Square 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑎

Dari hasil aproksimasi ini diperoleh nilai error 0.007023. Grafik hasil aproksimasi ini ditunjukkan pada Gambar 5.

GAMBAR 5. Grafik Aproksimasi Polinom Least Square 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑎

Hasil dari bagian a – e terangkum dalam Tabel 6. Pada tabel tersebut pula lebih jauh dengan fungsi polinom derajat lebih tinggi. TABEL 6. Tabel Perbandingan Aproksimasi Least Square 𝑃𝑛 (𝑥)

Fungsi Aproksimasi 𝑃1 (𝑥) 𝑃2 (𝑥) 𝑃3 (𝑥) 𝑃4 (𝑥) Polinom 𝑃5 (𝑥) 𝑃6 (𝑥) 𝑃7 (𝑥) 𝑃8 (𝑥) 𝑃9 (𝑥) 𝑦 = 𝑏𝑒 𝑎𝑥 Eksponensial 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑎

Error 329.01319 0.001443 0.000527 0.000042 0.000057 0.288191 46206.737987 7773894.585007 33956166.935149 417.690995 0.007023

Berdasarkan Tabel 6, dapat dilihat bahwa semakin tinggi derajat, fungsi polinom belum tentu dapat merepresentasikan data sebenarnya dengan lebih baik. Pada tabel tersebut untuk polinom derajat satu diberikan nilai error sebesar 329.01319 kemudian untuk derajat selanjutnya menurun dan terus menurun hingga memperoleh minimum error 0.000042 untuk polinom derajat 4. Selanjutnya untuk polinom derajat 5, nilai error naik, dan terus meningkat hingga derajat Sembilan. Perubahan ini dapat dilihat pula pada Gambar 6.

(1)

(2)

(3)

(4) (5)

(7)

(8)

GAMBAR 4. Grafik Aproksimasi Polinom Least Square 𝑃𝑛 (𝑥)

(6)

(9)

Oleh karena itu dari keseluruhan fungsi aproksimasi polinom dan ekponensial, aproksimasi terbaik dari data yang diberikan adalah fungsi Polinom derajat 4 dengan sebesar error 0.000042.

f. Misalkan 𝑃3 (𝑥) polinom interpolasi dari data (0,0), (0.5, 𝑦), (1,3) dan (2,2) dengan koefisien 𝑥 3 adalah 6. Tentukan 𝑦. Penyelesaian: 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘 )

0 0 0

1 0.5 𝑦

2 1 3

3 2 2

Dengan menggaunakan persamaan (3) dan (4) maka, (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) + 𝑓 (𝑥1 ) (𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 ) (𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )(𝑥0 − 𝑥3 ) (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥3 ) +𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) (𝑥3 − 𝑥0 )(𝑥3 − 𝑥1 )(𝑥3 − 𝑥2 ) (𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥3 )

𝑃3 (𝑥 ) = 𝑓 (𝑥0 )

(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) +𝑦 (0 − 0.5)(0 − 1)(0 − 2) (0.5 − 0)(0.5 − 1)(0.5 − 2) (𝑥 − 0)(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 2) (𝑥 − 0)(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 3) +2 +2 (1 − 0)(1 − 0.5)(1 − 2) (2 − 0)(2 − 0.5)(2 − 1) 𝑥(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 2) 𝑥(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 3) 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) +3 +2 =0+𝑦 (1)(0.5)(−1) (2)(1.5)(1) (0.5)(−0.5)(−1.5) 3 2 𝑥 − 3𝑥 + 2𝑥 2 =𝑦 − 6(𝑥 3 − 2.5 𝑥 2 + 𝑥) + (𝑥 3 − 3.5𝑥 2 − 3𝑥) 0.375 3 𝑦 2 3𝑦 2𝑦 1 − 6 + ) + 𝑥 2 (− + 15 − 1) + 𝑥 ( −6+ ) = 𝑥3 ( 0.375 3 0.375 0.375 3 =0

Karena koefisien 𝑥 3 dari 𝑃(𝑥) adalah 6 maka, 𝑦

0.375

2

− 6 + = 6 dan diperoleh 𝑦 = 4.25 3

g.

Misalkan 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 − 𝑥 2 dan 𝑃2 (𝑥) polinom interposasi dari 𝑥0 = 0, 𝑥1 dan 𝑥2 = 1. Tentuka nilai terbesar 𝑥1 pada (0,1) yang memenuhi 𝑓 (0.5) − 𝑃2 (0.5) = −0.25. Penyesaian: Berdasarkan peramaan (3) dan (4), maka 𝑃3 (0.5) = 0.

Maka,

(0.5 − 0)(0.5 − 1) (0.5 − 0)(𝑥 − 𝑥1 ) (0.5 − 𝑥1 )(0.5 − 1) + √𝑥1 − 𝑥12 + 0. (𝑥1 − 0)(𝑥1 − 1) (1 − 0)(1 − 𝑥1 ) (0 − 𝑥1 )(0 − 1)

𝑓 (0.5) − 𝑃3 (0.5) = 0.5 − √𝑥1 − 𝑥12

0.5(−0.5) = −0.25 𝑥1 (𝑥1 − 1)

⇔

⟺

Maka 𝑥1,2 =

4 9

1±√1− 2

1

= ± 2

√5 6

√𝑥1 (1 − 𝑥1 ) =3 𝑥1 (1 − 𝑥1 )

√𝑥1 (1 − 𝑥1 )√𝑥1 (1 − 𝑥1 )

⟺ √𝑥1 (1 − 𝑥1 ) = 3 1 ⟺ 𝑥12 − 𝑥1 + = 3 9

= 0.5 ± 0.372

Maka nilai terbesar 𝑥1 adalah 0.872

√𝑥1 (1 − 𝑥1 )

=3

III.

KESIMPULAN

1. Hasil dari persoalan a-e sebagai berikut. a. Polinom derajat 1 𝑃1 (𝑥 ) = −194.13824 + 72.08452𝑥 dengan error 329.01319 b. Polinom derajat 2 𝑃2 (𝑥 ) = 1.23556 − 1.14352𝑥 + 6.618121𝑥 2 dengan error 0.001443 c. Polinom derajat 3 𝑃3 (𝑥) = 3.42909 − 2.37922𝑥 + 6.84557𝑥 2 − 0.01367𝑥 3 . dengan error 0.000527

d. Fungsi eksponensial 𝒚 = 𝒃𝒆𝒂𝒙 𝑦 = 24.25876𝑒 0.37238𝑥 dengan error 417.690995 e. Fungsi Eksponensial 𝒚 = 𝒃𝒙𝒂 𝑦 = 6.23903𝑥 2.01954 dengan error 0.007023 2. 3.

Dengan memperluas derajat polinom dan membandingkannya dengan aproksimasi fungsi lainnya, diperoleh bahwa polinom derajat 4 paling merepresentasikan data yang diberikan. Hasil penyelesaian soal f diperoleh nilai 𝑦 = 4.25 dan untuk soal g diperole nilai 𝑥1 terbesar adalah 0.872

IV. REFERENSI [1] Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis 9th (2010)

V. LAMPIRAN LEAST SQUARE POLINOM clc clear all disp(' Program Metode Aproksimasi Least Square') Diska Armeina 20119005') disp(' disp('------------------------------------------------') %% Inisiasi :'); N = input ('Banyaknya Data M = input ('Derajat Tertinggi :'); x =[4.0 4.20 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1]; y = [102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 % % % % % % % %

x = zeros(N,1); y = zeros(N,1); disp('Masukkan Data :'); for i=1:N fprintf('Pasangan ke-%3d\n',i); x(i)=input('x : '); y(i)=input('y : '); end

a X Y P

= = = =

zeros(M+1,1); zeros(M+1, M+1); zeros(M+1,1); zeros(N,1);

%% Mencari Koefisien a(n) for i=1:N for it=1:(M+1) for iter=1:(M+1) X(it,iter)=X(it,iter)+x(i)^(it+iter-2); end Y(it)=Y(it)+y(i)*x(i)^(it-1); end end % disp('Matriks X'); % disp(X); % disp('Matriks Y'); % disp(Y); XI = inv(X); a = XI*Y;

299.5 326.72];

disp('Koefisien :'); for i=1:M+1 fprintf('a(%2d) = %8.5f\n',i-1,a(i)); end %% Polinom aproksimasi dan error disp(' Tabel Approksimasi'); disp('------------------------------------------------') xi yi P(xi)'); disp(' i disp('------------------------------------------------') err=[]; for j=1:N P(j)=a(1); for i=2:M+1 P(j) = P(j) + a(i)*x(j)^(i-1); end err=[err ; [(y(j)-P(j))^2]]; %8.5f\t %8.5f\t fprintf('%2d\t ,j,x(j),y(j),P(j));

%8.5f\n'...

end jumlah=0; for k=1:length(err) jumlah=jumlah+err(k); end fprintf('Nilai errornya adalah %8.6f\n',jumlah) %% Plot Grafik xx=min(x):0.05:max(x); for j=1:length(xx) P(j)=a(1); for i=2:M+1 P(j)=P(j)+a(i)*xx(j)^(i-1); end end plot(x,y,'r*',xx,P,'b-'); grid on %plot(x,y,'--r'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('Grafik Aproksimasi Least Square'); legend('Data','Least Square');

LEASTE SQUARE 𝒚 = 𝒃𝒆𝒙𝒂

clc clear all disp(' Program Metode Aproksimasi Least Square be^a') disp(' Diska Armeina 20119005') disp('------------------------------------------------')

%% Inisiasi N = 10; M = 1; % N = input ('Banyaknya Data :'); % M = input ('Derajat Tertinggi :'); x =[4.0 4.20 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1]; y1 = [102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 y = log(y1); % x = zeros(N,1); % y = zeros(N,1); % disp('Masukkan Data :'); % for i=1:N % fprintf('Pasangan ke-%3d\n',i); % x(i)=input('x : '); % y(i)=input('y : '); % end a X Y P

= = = =

zeros(M+1,1); zeros(M+1, M+1); zeros(M+1,1); zeros(N,1);

%% Mencari Koefisien a(n) for i=1:N for it=1:(M+1) for iter=1:(M+1) X(it,iter)=X(it,iter)+x(i)^(it+iter-2); end Y(it)=Y(it)+y(i)*x(i)^(it-1); end end % disp('Matriks X'); % disp(X); % disp('Matriks Y'); % disp(Y); XI = inv(X); a = XI*Y; a1 = [a(2);exp(a(1))]; disp('Koefisien :'); for i=1:M+1 fprintf('a(%2d) = %8.5f\n',i-1,a1(i)); end %% Polinom aproksimasi dan error Tabel Approksimasi'); disp(' disp('------------------------------------------------') xi yi P(xi)'); disp(' i disp('------------------------------------------------') err=[]; for j=1:N P(j)=a(1); %P(j)=0; for i=2:M+1

299.5 326.72];

P(j) = P(j) + a(i)*x(j)^(i-1); P(j) = exp(P(j)); end err=[err ; [(y1(j)-P(j))^2]]; %8.5f\t %8.5f\t fprintf('%2d\t ,j,x(j),y1(j),P(j));

%8.5f\n'...

end

jumlah=0; for k=1:length(err) jumlah=jumlah+err(k); end fprintf('Nilai errornya adalah %8.6f\n',jumlah) %% Plot Grafik xx=min(x):0.05:max(x); for j=1:length(xx) P(j)=a(1); for i=2:M+1 P(j)=P(j)+a(i)*xx(j)^(i-1); P(j) = exp(P(j)); end end plot(x,y1,'r*',xx,P,'b-'); grid on %hold on %plot(x,y,'--r'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('Grafik Aproksimasi Least Square'); legend('Data','Least Square');

LEAST SQUARE 𝒚 = 𝒃𝒙𝒂

clc clear all disp(' Program Metode Aproksimasi Least Square bx^a') Diska Armeina 20119005') disp(' disp('------------------------------------------------') %% Inisiasi % N = input ('Banyaknya Data :'); % M = input ('Derajat Tertinggi :'); N = 10; M = 1; x1 =[4.0 4.20 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1]; y1 = [102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 y = log(y1); x = log(x1); % x = zeros(N,1); % y = zeros(N,1); % disp('Masukkan Data :'); % for i=1:N % fprintf('Pasangan ke-%3d\n',i); % x(i)=input('x : '); % y(i)=input('y : ');

299.5 326.72];

% end a X Y P

= = = =

zeros(M+1,1); zeros(M+1, M+1); zeros(M+1,1); zeros(N,1);

%% Mencari Koefisien a(n) for i=1:N for it=1:(M+1) for iter=1:(M+1) X(it,iter)=X(it,iter)+x(i)^(it+iter-2); end Y(it)=Y(it)+y(i)*x(i)^(it-1); end end % disp('Matriks X'); % disp(X); % disp('Matriks Y'); % disp(Y); XI = inv(X); a = XI*Y; %a1=log(a); a1=[]; a1=[a1 ; [a(2);exp(a(1))]]; disp('Koefisien :'); for i=1:M+1 fprintf('a(%2d) = %8.5f\n',i-1,a1(i)); end %% Polinom aproksimasi dan error disp(' Tabel Approksimasi'); disp('------------------------------------------------') xi yi P(xi)'); disp(' i disp('------------------------------------------------') a2=[]; a2=[a2; [a(2);a1(1)]]; err=[]; for j=1:N %P(j)=a1(2); P(j)=a(1); for i=2:M+1 P(j) = P(j)+a1(i-1).*x(j).^(i-1); P(j) = exp(P(j)); end err=[err ; [(y1(j)-P(j))^2]]; %8.5f\t %8.5f\t %8.5f\n'... fprintf('%2d\t ,j,x1(j),y1(j),P(j)); end

jumlah=0; for k=1:length(err)

jumlah=jumlah+err(k); end fprintf('Nilai errornya adalah %8.6f\n',jumlah) %% Plot Grafik % %xx=min(x):0.05:max(x); % for j=1:length(xx) % P(j)=a(1); % for i=2:M+1 % P(j)=P(j)+a1(i-1)*xx(j)^(i-1); % P(j) = exp(P(j)); % end % end plot(x1,y1,'r*',x1,P,'b-'); grid on %plot(x,y,'--r'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('Grafik Aproksimasi Least Square'); legend('Data','Least Square');...