Analysis 2: 2. Metrik und Topologie PDF

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Wintersemester, Kapitel 2...

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A Metrische Räume

Definition Metrik

1 Es sei X eine nichtleere Menge. Eine Funktion d: X×X ⟶ [0,∞) heißt eine Metrik auf X, wenn für alle x, y, z ∈ X gelten: (M1) d(x,y) ≥ 0 (Nichtnegativität) (M2) d(x,y) = 0 (M3) d(x,y) = d(y,x) (Symmetrie) (M4) d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (Dreiecksungleichung) 2 Das Paar (X,d) heißt ein metrischer Raum.

A Metrische Räume Definition metrischer Raum A Metrische Räume

3 Das Standardbeispiel eines metrischen Raumes ist der R, ausgestattet mit der Metrik d(x,y) := |x−y|, x, y ∈ R,

Standardbeispiel metrischer Räume

A Metrische Räume Euklidischer Raum

und der gewöhnlichen Betragsfunktion |⋅|: R → [0,∞). Wir schreiben (R,|⋅|). 4 Hierbei handelt es sich um den metrischen Raum (R n,d) mit der Funktion d(x,y) := (∑nk=1 |xk−yk|2)½, worin x = (x1, …, xn) und y = (y1, …, yn) Elemente des Rn := R× … ×R bezeichnen. 5 Weitere Beispiele von Metriken in zwei Dimensionen sind

A Metrische Räume Drei weitere Metriken im R2

B Normierte Räume Definition Norm

B Normierte Räume Definition Normierter

  

d(x,y) := √((x1−y1)2 + (x2−y2)2) ϱ(x,y) := |x1−y1| + |x2−y2| σ(x,y) := max{|x1−y1|,|x2−y2|}

6 Es sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung ∥⋅∥: V ⟶ [0,∞) heißt eine Norm auf V, wenn für alle x, y ∈ V und alle λ ∈ R gelten: (N1) ∥x∥ ≥ 0 (Nichtnegativität) (N2) ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0 (N3) ∥λx∥ = |λ|⋅∥x∥ (Homogenität) (N4) ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥ (Dreiecksungleichung) 7 Das Paar (V,∥⋅∥) heißt ein normierter Raum.

Raum 8 Es sei (V,∥⋅∥) ein normierter Raum. Dann stellt B Normierte Räume d(x,y) := ∥x−y∥, x, y ∈ V, Zusammenhang metrischer und normierter eine Metrik auf V dar. Normierte Räume sind also gleichzeitig Räume metrisch. Die Umkehrung ist jedoch i.A. falsch. 9 Die gewöhnliche Betragsfunktion |⋅|: R→R auf den reellen Zahlen ist das Standardbeispiel einer Norm

B Normierte Räume Betragsfunktion

10 Hierunter verstehen wir die Abbildung B Normierte Räume ∥x∥2 := √(x12+x22+ … +xn2), x = (x1,…,xn) ∈ Rn.

Euklidische Norm im Rn B Normierte Räume

11 Im Fall n = 2 ergibt sich die bekannte Formel für die Länge ∥x∥ der Hypothenuse eines ebenen, rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Katheten x1 und x2.

Euklidische Norm im R2 B Normierte Räume

12 In Verallgemeinerung der Euklidischen Norm setzen wir für p ∈ N ∥x∥p := (∑nk=1|xk|p)1/p, x = (x1,…,xn) ∈ Rn.

n

p-Norm im R

Im Fall p = 1sprechen wir auch von der Betragssummennorm. 13 B Normierte Räume

Einheitskreise verschiedener p-Normen im R2

14 Hierunter verstehen wir die Abbildung B Normierte Räume ∥x∥∞ := max{|x1|,…,|xn|}, x = (x1,…,xn) ∈ Rn.

Supremumsnorm im Rn 15 B Normierte Räume Summennorm, Euklidische Norm und Maximumnorm im R2

Die Einheitskreise der Summennorm, der euklidischen Norm und der Maximumsnorm in zwei Dimensionen B Normierte Räume Wann heißen zwei Normen ∥⋅∥1 und ∥⋅∥2 äquivalent?

16 Im Rn sind alle Normen äquivalent, d.h. zu zwei beliebigen Normen ∥⋅∥1: Rn → [0,∞) und ∥⋅∥2: Rn → R existieren stets Konstanten λ, μ ≥ 0, so dass λ⋅∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ μ⋅∥x∥2 für alle x ∈ Rn richtig ist. 17 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Wir bezeichnen mit

C Offene und abgeschlossene Teilmengen

Br(a) := {x∈X: d(x,a) < r} ⊆ X die offene Kugel vom Radius r > 0 und mit Mittelpunkt a ∈ X.

Definition Offene Kugel C Offene und abgeschlossene Teilmengen

18 Eine Teilmenge U ⊆ X eines metrischen Raumes (X,d) heißt eine Umgebung eines Punktes a ∈ X, falls ein ε > 0 existiert mit Br(a) ⊆ U.

Definition Offene Umgebung C Offene und abgeschlossene Teilmengen

19 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Zu zwei beliebig gewählten, aber voneinander verschiedenen Punkten x, y ∈ X existieren dann zwei zueinander disjunkte Umgebungen U ⊂ X von x und V ⊂ X von y, so dass also U ∩ V = ∅.

Das Hausdorffsche Trennungsaxiom C Offene und abgeschlossene Teilmengen

20 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U ⊆ X heißt offen, wenn sie Umgebung jeder ihrer Punkte ist, d.h. wenn zu jedem a ∈ U ein ε > 0 existiert mit Bε(a) ⊆ U.

Definition Offene Menge 21 Beispiele offener Mengen sind C Offene und i. offene Intervalle (x,y) ⊆ R mit X = R und d(x,y) = |x−y| abgeschlossene Teilmengen ii. offene Kugeln Br(a) ⊆ X in (X,d) iii. die Menge X selbst in (X,d) iv. die leere Menge ∅ in (X,d) Beispiele offener Mengen C Offene und abgeschlossene Teilmengen

22 Es sei (X,d) ein metrischer Raum, und es seien U, V ⊆ X sowie Ui ⊆ X, i ∈ I mit irgendeiner Indexmenge I, Teilmengen. Dann sind richtig: i. ii.

Sind U und V offen in (X,d), so auch U ∩ V. Sind alle Ui, i∈I, offen in (X,d), so auch ⋃i∈I Ui.

Durchschnitt und Vereinigung offener Mengen C Offene und abgeschlossene Teilmengen

23 Es seien (X,d) ein metrischer Raum und U ⊆ X eine Teilmenge. Ein Punkt a ∈ U heißt innerer Punkt von U in (X,d), wenn es ein ε > 0 gibt mit Bε(a) ⊆ U.

Definition Innerer Punkt offener Mengen C Offene und abgeschlossene Teilmengen

24 Die Menge aller inneren Punkte von U heißt deren Inneres, in Zeichen Ů.

Definition Inneres offener Mengen 25 Beachten Sie, dass alle diese Begriffe wesentlich abhängen von C Offene und abgeschlossene Teilmengen

  

Abhängigkeiten der Begriffe

der zu betrachtenden Teilmenge U, der gewählten Metrik d(x,y), und der einbettenden Menge X.

Auch hierzu ein Beispiel: (1) Es ist U = (0,1] in (R,|⋅|) nicht offen. (2) Es ist U = (0,1] in ((−∞,1],|⋅|) offen.

C Offene und abgeschlossene Teilmengen

26 Es seien (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U ⊆ X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement X∖U offen ist.

Definition Abgeschlossene Menge 27 Beispiele abgeschlossener Mengen sind C Offene und abgeschlossene Teilmengen

i. ii.

Beispiele abgeschlossener Mengen

iii. iv.

abgeschlossene Intervalle [x,y] ⊂ R mit X = R und d(x,y) = |x−y| abgeschlossene Einheitskugeln {x ∈ Rn: ∥x∥2 ≤ 1} mit X = Rn und d(x,y) = ∥x−y∥2 die Menge X selbst in (X,d) die leere Menge ∅ in (X,d)

28 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. C Offene und abgeschlossene Teilmengen

a. die leere Menge ∅ ist in (X,d) offen und abgeschlossen b. X selbst ist in (X,d) offen und abgeschlossen.

Abgeschlossene UND offene Mengen (2x) C Offene und abgeschlossene Teilmengen

29 Es sei (X,d) ein metrischer Raum, und es seien U, V ⊆ X sowie Ui ⊆ X, i ∈ I mit einer beliebigen Indexmenge I, Teilmengen. Dann sind richtig: i. ii.

Durchschnitt und

Sind U und V in (X,d) abgeschlossen, so auch U ∪ V. Sind alle Ui, i∈I, abgeschlossen, so auch ⋂i∈I Ui.

Vereinigung abgeschlossener Mengen C Offene und abgeschlossene Teilmengen

30 Es seien (X,d) ein metrischer Raum und U ⊆ X eine Teilmenge. Ein Punkt a ∈ X heißt Randpunkt von U, falls in jeder Umgebung von a ∈ X sowohl ein Punkt von U als auch ein Punkt von X∖U liegt.

Definition Randpunkt 31 Die Menge aller Randpunkte von U heißt ihr Rand ∂U. C Offene und abgeschlossene Teilmengen Definition Rand C Offene und abgeschlossene Teilmengen

32 Es seien (X,d) ein metrischer Raum und U ⊆ X eine Teilmenge. Dann sind richtig:



Eigenschaften des Randes

C Offene und abgeschlossene Teilmengen

 

Es ist U∖∂U offen in (X,d). Es ist U ∪ ∂U abgeschlossen in (X,d) Es ist ∂U abgeschlossen in (X,d).

33 Als den topologischen Abschluss von U bezeichnen wir den Ausdruck Ū := U ∪ ∂U

Topologischer Abschluss 34 Es sei X eine Menge. Ein System T von Teilmengen von X heißt D Topologische Räume eine Topologie auf X, falls gelten: Definition Topologie

(T1) Es sind ∅ ∈ T und X ∈ T. (T2) Sind U, V ∈ T, so ist auch U ∩ V ∈ T. (T3) Sind Ui für alle i∈I mit einer beliebigen Indexmenge I, so ist auch ⋃i∈I Ui ∈ T. 35 Das Paar (X,T) heißt ein topologischer Raum.

D Topologische Räume Definition Topologischer Raum D Topologische Räume

36 Das System der offenen Mengen eines metrischen Raumes bildet eine Topologie. Metrische Räume ordnen sich daher topologischen Räumen unter.

Metrischer Raum ⇒ Topologischer Raum 37 D Topologische Räume

Skalarprodukt, Norm, Metrik, Topologie

38 Eine Teilmenge U ⊆ X eines topologischen Raumes (X,T) heißt D Topologische Räume offen, wenn gilt U ∈ T Wann heißt eine Teilmenge eines topologischen Raumes offen? D Topologische Räume

39 Eine Teilmenge U ⊆ X eines topologischen Raumes (X,T) heißt abgeschlossen, wenn X∖U offen ist.

Wann heißt eine Teilmenge eines topologischen Raumes abgeschlossen? D Topologische Räume

40 Ist a ∈ X ein beliebiger Punkt, so heißt V ⊆ X eine Umgebung von a, falls es eine offene Menge U ⊆ X gibt mit a ∈ U ⊆ V.

Umgebung von a D Topologische Räume

41 Existieren zu beliebigen x, y ∈ X disjunkte Umgebungen U ⊂ X von x und V ⊂ X von y, d.h. lassen sich x und y trennen, so heißt (X,T) ein Hausdorffraum.

Hausdorffraum 42 Im Folgenden bezeichne {x(k)}k=1,2,… eine Zahlen- oder Punktfolge. E Konvergenz in

metrischen Räumen Schreibweise für Zahlenoder Punktfolge 43 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Folge {x(k)}k=1,2,…⊂ X heißt konvergent gegen x ∈ X. falls zu jedem ε > 0 ein N(ε) ∈ N E Konvergenz in existiert mit metrischen Räumen Definition Konvergenz

d(x(k),x) < ε für alle k ≥ N(ε). 44 x := limk→∞ x(k) oder x(k) ⟶ x für k → ∞.

E Konvergenz in metrischen Räumen Schreibweise für Konvergenz E Konvergenz in metrischen Räumen

45 Die Folge {x(k)}k=1,2,…⊂ X konvergiert also gegen ein x ∈ X, falls zu jeder offenen Umgebung U ⊂ X von x ein N ∈ N existiert mit x(k) ∈ U für alle k ≥ N.

Definition Konvergenz über Umgebung U E Konvergenz in metrischen Räumen

46 Der Grenzwert x ∈ X einer konvergenten Folge {x(k)}k=1,2,…⊂ X eines metrischen Raumes (X,d) ist eindeutig.

Grenzwert E Konvergenz in metrischen Räumen

47 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U ⊆ X ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge {x (k)}k=1,2,… ⊂ U mit x(k) ⟶ x ∈ X für k → ∞ gilt limk→∞ x(k) = x ∈ U.

Abgeschlossenheit über Konvergenz E Konvergenz in metrischen Räumen

48 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Folge {x (k)}k=1,2,…⊂ X heißt eine Cauchyfolge, falls zu jedem ε > 0 ein N(ε) ∈ N existiert mit d(x(m),x(n)) < ε für alle m, n ≥ N(ε)

Definition Cauchyfolge E Konvergenz in metrischen Räumen

49 Jede gegen ein x ∈ X konvergente Folge {x (k)}k=1,2,… ⊂ X eines metrischen Raumes (X,d) ist eine Cauchyfolge.

Konvergenz ⇔ Cauchyfolge F Banachräume

50 Ein metrischer Raum (X,d) heißt vollständig oder ein Banachraum, falls jede Cauchyfolge aus X auch in X konvergiert.

Definition Vollständigkeit oder Banachraum F Banachräume

51 Der metrische Raum (Rn,d) mit der von einer beliebigen Norm ∥⋅∥: Rn → [0,∞) auf Rn induzierten Metrik d(x,y) ist vollständig.

Satz über Vollständigkeit F Banachräume Definition Durchmesser oder Diameter von U

52 Sei U ⊆ X eine Teilmenge eines metrischen Raumes (X,d). Dann heißt diam U :=sup{d(x,y): x, y ∈ U}

der Durchmesser oder Diameter von U. 53 Es sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum. Ferner sei F Banachräume U1 ⊇ U2 ⊇ U3 ⊇ U4 ⊃ ... Cantorsche Durchschnittssatz

eine Folge nichtleerer, abgeschlossener geschachtelter Teilmengen mit

und

ineinander

limk→∞ diam Uk = 0. Dann existiert genau ein Punkt x ∈ X mit der Eigenschaft

G Stetigkeit von Abbildungen

x = ⋂∞k=1 Uk. 54 Es seien (X,d) und (Y,ϱ) zwei metrische Räume. Eine Abbildung f: X→Y heißt stetig im Punkt x 0 ∈ X, falls zu jedem ε > 0 ein δ(x 0,ε) > 0 existiert mit

ϱ(f(x),f(x0)) < ε für alle x ∈ X mit d(x,x0) < δ(x0,ε). ε-δ-Kriterium für Stetigkeit im Punkt G Stetigkeit von Abbildungen

Definition Stetigkeit in X

55 Die Abbildung f(x) heißt stetig in X, falls sie in jedem Punkt x ∈ X stetig ist.

56 Es ist f: X→Y stetig in x0 ∈ X genau dann, wenn G Stetigkeit von Abbildungen

limx→x0 f(x) = f(x0), d.h. wenn gilt

Folgenkriterium für Stetigkeit

G Stetigkeit von Abbildungen

limk→∞ f(x(k)) ⟶ f(x0) für jede Folge {x (k)}k=1,2,…⊂ X mit x(k)→x0. 57 Die Abbildung f: X→Y zwischen den metrischen Räumen (X,d) und (Y,ϱ) ist stetig im Punkt x0 ∈ X, falls zu jeder offenen Umgebung V ⊆ Y von f(x 0) ∈ Y eine Umgebung U ⊆ X von x0 ∈ U existiert mit f(U) ⊆ V.

Topologisches Kriterium für Stetigkeit im Punkt x G Stetigkeit von Abbildungen

58 Die Abbildung f: X→Y zwischen den metrischen Räumen (X,d) und (Y,ϱ) ist genau dann stetig in X, falls für jede in (Y, ϱ) offene Menge W ⊆ Y das inverse Bild f−1(W):={x ∈ X: f(x) ∈ W} offen in (X,d) ist.

Topologisches Kriterium für Stetigkeit in X G Stetigkeit von Abbildungen Algebraische Eigenschaften stetiger Funktionen

G Stetigkeit von Abbildungen Komposition stetiger Funktionen

59 Es sei (X,d) ein metrischer Raum, und es seien f, g: X→R stetig in X. Dann sind auch stetig in X (f+g)(x) := f(x)+g(x), (f⋅g)(x) := f(x)⋅g(x), x ∈ X. Gilt zudem g(x) ≠ 0 in X, so ist auch stetig in X (f/g)(x) := f(x)/g(x), x ∈ X. 60 Es seien f: X→Y und g: Y→Z stetige Funktionen zwischen den metrischen Räumen (X,d), (Y,ϱ) und (Z,σ). Dann ist auch die Komposition h: X⟶Z vermöge h(x) := g∘f(x) = g(f(x)), x ∈ X, stetig in X.

H Kompakte Mengen Definition Offene

61 Unter einer offenen Überdeckung einer Teilmenge U⊆X verstehen wir eine Familie {U i}i∈I von offenen Teilmengen U i ⊆ X mit der Eigenschaft U ⊆ ⋃i∈I Ui.

Überdeckung

H Kompakte Mengen Kompakte Menge

Darin ist I eine beliebige Indexmenge 62 Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U ⊆ X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung {U i}i∈I von U eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h. mit endlich vielen Indizes i1,…,ik ∈ I gilt U ⊆ Ui1 ∪ Ui2 ∪ …∪ Uik.

H Kompakte Mengen

63 a) Die Menge [0,1] ⊂ R in (R,|⋅|) ist kompakt b) Der abgeschlossene Quader

W := {x =(x1,…,xn)∈Rn: ak ≤ xk ≤ bk, k = 1,2,…,n} ⊂ Rn Zwei Beispiele kompakter Mengen mit −∞ < ak ≤ bk < ∞ ist kompakt im (Rn,∥⋅∥2). 64 a) Die Menge (0,1) ⊂ R in (R,|⋅|) ist nicht kompakt. b) Die Menge (0,1] ⊂ R in (R,|⋅|) ist nicht kompakt. H Kompakte Mengen Zwei Beispiele nichtkompakter Mengen 65 Es seien (X,d) ein metrischer Raum und U ⊆ X eine kompakte H Kompakte Mengen Teilmenge. Dann ist U abgeschlossen und beschränkt. Der Satz von Heine und Borel H Kompakte Mengen Konvergente Folge und Kompaktheit H Kompakte Mengen

Der Weierstraßsche Häufungsstellensatz

Bemerkung: Im Euklidischen Raum Rn ist Kompaktheit einer Menge gleichbedeutend mit ihrer Beschränktheit und Abgeschlossenheit. 66 Es sei (X,d) ein metrischer Raum, und es sei {x (k)}k=1,2,…⊂ X eine konvergente Folge mit limk→∞ x(k) = x ∈ X. Dann ist die Menge {x (1),x(2),…}∪{x} kompakt in (X,d).

67 Es seien (X,d) ein metrischer Raum und K ⊆ X eine kompakte Teilmenge. Ferner sei {x(k)}k=1,2,…⊂ K eine Punktfolge. Dann existiert eine konvergent Teilfolge {x(kℓ)}ℓ=1,2,… ⊂ {x(k)}k=1,2,… mit der Eigenschaft limℓ→∞ x(kℓ) = x ∈ X.

H Kompakte Mengen Beschränkte Folge ⇔ Konvergente Teilfolge

68 Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge {x(k)}k=1,2,…⊂ Rn eine konvergente Teilfolge.

H Kompakte Mengen

69 Es seien (X,d) und (Y,ϱ) zwei metrische Räume, und es sei f: X →Y eine stetige Abbildung. Ist nun K ⊆ X eine kompakte Teilmenge, so auch ihr Bild

Stetigkeit Abbildung und kompaktheit

f(K) := {f(x) ∈ Y: x ∈ K}.

70 Es seien (X,d) ein kompakter metrischer Raum und f: X→R eine H Kompakte Mengen stetige Funktion. Dann ist die Menge f(X) ⊂ R beschränkt, und f(x) nimmt auf X ihr Minimum und ihr Maximum an, d.h. es existieren xmin ∈ X und xmax ∈ X mit Der Fundamentalsatz von Weierstraß f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xmax) für alle x ∈ X. 71 Eine Abbildung f: X→Y zwischen zwei metrischen Räumen (X,d) H Kompakte Mengen und (Y,ϱ) heißt gleichmäßig stetig auf X, falls zu jedem ε > 0 ein δ(ε) > 0 existiert mit Definition Gleichmäßig stetige Abbildung H Kompakte Mengen Wann ist jede stetige Abbildung f gleichmäßig stetig auf X?

ϱ(f(x),f(y)) < ε für alle x, y ∈ X mit d(x,y) < δ(ε). 72 Es seien (X,d) ein kompakter metrischer Raum und (Y, ϱ) ein metrischer Raum. Dann ist jede stetige Abbildung f: X→Y gleichmäßig stetig auf X....