Ángulo entre , Vectores paralelos y perpendiculares, proyección de un vector sobre otro PDF

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Angulo entre vectores, tema de algebra lineal...

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ÁNGULO ENTRE VECTORES Sean 󰇍 y 󰇍 dos vectores no nulos en ; es decir tanto el vector 󰇍 como el vector 󰇍 , son distintos del vector ( ) . El ángulo entre 󰇍 y 󰇍󰇍 es el ángulo más pequeño, no negativo comprendido entre dichos vectores; este ángulo tiene un valor comprendido en el intervalo [ ]. ( ver fig. 1 )

Fig. 1 Teorema 1 Si 󰇍 y 󰇍 son dos vectores no nulos en y es el ángulo más pequeño comprendido entre ellos entonces se cumple que 󰇍 󰇍

‖ 󰇍󰇍 ‖‖󰇍󰇍 ‖

()

Ejemplo 1 Hallar el ángulo entre los vectores 󰇍

( )y

󰇍

Solución: 󰇍

󰇍 ( ) ( ) [

] [

]

‖󰇍 ‖ ‖( )‖ √

‖ 󰇍 ‖ ‖( )‖ √

󰇍 󰇍 ‖󰇍 ‖‖ 󰇍 ‖

( )

√

√ √

( )

Observación: De la expresión ( ) , es posible deducir otra expresión para el cálculo del producto escalar entre dos vectores, esto es: 󰇍 󰇍

‖ 󰇍 ‖‖󰇍 ‖

()

Con lo que, también es posible hallar el producto escalar entre dos vectores si se conocen sus módulos y el ángulo comprendido entre ellos. Ejemplo 2 Hallar el producto escalar entre los vectores 󰇍 y 󰇍 sabiendo que ‖󰇍 ‖ ‖ 󰇍 ‖ y el ángulo entre ellos es de .

,

Solución. 󰇍

󰇍 ‖ 󰇍 ‖‖󰇍 ‖

Vectores paralelos Sean 󰇍 y 󰇍 dos vectores no nulos en , se dice que los vectores 󰇍 y 󰇍 son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o . Si 󰇍 y 󰇍 son dos vectores paralelos escribimos 󰇍 Teorema 2 Sean 󰇍 y 󰇍 dos vectores no nulos en y una constante. 󰇍 󰇍 si y solo si 󰇍 y 󰇍 son paralelos; además si entonces el ángulo entre ellos es 0 y si , el ángulo será de , es decir los vectores son opuestos. Teorema 3 Sean 󰇍

(

)y

󰇍 (

) dos vectores no nulos en y una constante,

se dice que 󰇍 y 󰇍 son paralelos si y solo si

; además

󰇍

󰇍.

Observación: Para probar que dos vectores son paralelos es suficiente con hallar el ángulo comprendido entre ellos, o bien mostrando que uno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Ejemplo 3

(

Muestre de dos formas diferentes que los vectores 󰇍 paralelos:

)y

󰇍

(

) son

Solución: 1. 󰇍

󰇍 (

‖󰇍󰇍 ‖ ‖( ‖󰇍󰇍 ‖ ‖(

) (

) [ ( )] [

)‖ √

( ) √

)‖ √( )

√

󰇍 󰇍

]

√

√

( )

‖ 󰇍󰇍 ‖‖󰇍 ‖

Luego, como el ángulo entre los vectores es los vectores son paralelos. (

Una segunda opción para mostrar que 󰇍 presenta a continuación.

)y

󰇍

(

) son paralelos se

2.

Como

entonces 󰇍

󰇍 , con lo que, los vectores 󰇍 y 󰇍 son los vectores forma un ángulo de ,

paralelos; además como la constante es decir son opuestos. Vectores perpendiculares

Sean 󰇍 y 󰇍 dos vectores no nulos en , se dice que 󰇍 y 󰇍 son perpendiculares si el ángulo comprendido entre ellos es . Si 󰇍 y 󰇍 son vectores perpendiculares escribimos 󰇍

󰇍 .

Teorema 4. (condición de perpendicularidad) Sean 󰇍 ( ) y 󰇍 ( ) dos vectores no nulos en . Se dice que 󰇍 y 󰇍 son perpendiculares si y solo si 󰇍 󰇍 ; es decir dos vectores son perpendiculares si el producto escalar entre ellos es cero. Ejemplo 4 Muestre que los vectores 󰇍

(

)y

󰇍

( ) son perpendiculares.

Solución.

Como 󰇍

󰇍

󰇍 󰇍󰇍 ( , entonces

󰇍

) ( )

󰇍 .

De manera similar, al caso de vectores paralelos, podemos probar que dos vectores son perpendiculares encontrando que el ángulo comprendido entre ellos. Proyección de un vector sobre otro

Fig 2. Sean 󰇍 y 󰇍 dos vectores no nulos en . La proyección de 󰇍󰇍 sobre denota 󰇍 󰇍 , se define como 󰇍 󰇍

󰇍 [

󰇍󰇍

‖󰇍 ‖

]󰇍

()

O bien [

󰇍 󰇍

󰇍󰇍

󰇍

󰇍

󰇍‖ |

]

󰇍󰇍

‖ 󰇍 ‖ ‖󰇍󰇍 ‖

()

Luego, su módulo está dado por ‖

󰇍 󰇍 | ‖ 󰇍󰇍 ‖

()

Con lo que considerando la ecuación ( ) tenemos ‖

󰇍

󰇍‖ ‖ 󰇍‖

()

󰇍 , que se

La proyección de un vector sobre otro se suele usar cuando solo se tiene interés o solo se requiere la componente de dicho vector en la dirección del otro, es decir, la componente en la dirección del vector sobre el cual se proyecta. En física cuando se desea calcular el trabajo realizado por una fuerza 󰇍 sobre un cuerpo, solo interesa la componente de dicha fuerza a lo largo del desplazamiento 󰇍󰇍 , que

sufre el cuerpo, como consecuencia del actuar de la fuerza, es decir solo interesa 󰇍 , en la medida que la componente perpendicular no efectúa trabajo 󰇍 alguno. Luego si consideramos una fuerza 󰇍 , formando una ángulo con el 󰇍 desplazamiento ( ver figura ) tenemos que el trabajo va a estar dado por ‖ Como

󰇍

‖

󰇍󰇍 ‖ ‖󰇍 ‖

󰇍󰇍 ‖ ‖ 󰇍 ‖

󰇍

entonces

‖

󰇍 ‖ ‖󰇍 ‖

Fig 3 Ejemplo 5 Dados los vectores 󰇍 ( 󰇍 sobre el vector 󰇍 .

)y

󰇍 (

) determine la proyección del vector

Solución: 1. 󰇍

󰇍 (

‖󰇍󰇍 ‖ ‖( ‖󰇍󰇍 ‖ ‖(

) (

) [ ( )] [( ) ]

)‖ √

( ) √ )‖ √( ) √

√

√

√

√

󰇍

󰇍

[

󰇍 󰇍

‖󰇍󰇍 ‖

] 󰇍 [

(√)

](

) [

](

Luego, 󰇍

󰇍

(

)

)

(

)...