Aplicación de Integrales - Pamela Barroso PDF

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este es una actvidad ejerciciosobligatorios ...

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Aplicación de Integrales

Parte 1 a. A partir de una hoja de maquina tamaño carta A4 cuyas medidas son aproximadamente 21 cm de ancho y 30 cm de largo, se desea construir una caja rectangular sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de “x” cm. Obtener las dimensiones de la caja: ancho largo y alto para que la caja encierre un volumen máximo.

2. Respuestas a. Ancho de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:

21−2 x

b. Largo de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:

30−2 x

c. Volumen de la caja en función de “x”: 2 V ( x ) =x ∙ ( 21−2 x ) ∙ ( 30−2 x ) =x ( 630−42 x−60 x +4 x ) 2 3 2 V ( x ) =x ( 630−102 x + 4 x ) =4 x −102 x +630 x

d. Puntos Críticos: V ' ( x )=12 x 2 −204 x +630=0 12 x 2 204 x 630 =0→ 2 x2−34 x+105 =0 + − 6 6 6 −b ± √b −4 ac −(−34)± √( −34 ) −4 ( 2 )(105) x 1=12.95 = → 2a 2(2) x 2=4.06 2

x=

2

Aplicación de Integrales e. Criterio de la primera derivada V ' ( x )=12 x 2−204 x +630 Con el método de valores de prueba

(−∞ ; 4.06)

x=4.06

(4.06 ; 12.95 )

x=12.95

(12.95 ;+∞ )

V ' ( 0 )=630

' V ( 4.06 ) =0

' V ( 5) =−90

V ' ( 12.95 )=0

V ' ( 13) =6

Creciente↑

Máximo

Decreciente↓

Mínimo

Creciente↑

Con

x=4.06 cm se consigue una caja de volumen máximo

f. Dimensiones de la caja de volumen máximo Ancho : 21 −2 ( 4.06 ) =12.88 cm Largo :30 −2 ( 4.06 )=21.88 cm Alto : 4.06 cm

Parte 2 3. Usando las fórmulas x−1 −1 y7 w2 −2 6 +C 3. x dx = + C= +C 1.∫ wdw= +C 2.∫ y dy= ∫ 7 −1 2 x 4.∫ t dt= −3

6.∫ x

−2 /5

−2

7/ 4 t z 4 −1 3/ 4 + C= z 7 / 4 +C +C= 2 +C 5.∫ z dz= 7/4 −2 7 2t

dx=

3 /5 5 x +C= x 3/ 5+C 3/5 3

4. Transformando y luego integrando 5 5 /7 7.∫ √ y dy=∫ y dy= 7

8.∫

1 x

3/ 2

12 /7

y 7 12 /7 y +C +C= 12 12/7

dx=∫ x −3 /2 dx=

−1/ 2

x −1 −1 /2 x +C +C= 2 −2

Aplicación de Integrales 5. Usando propiedades y formulas básicas a .∫ b .∫

(

−1 3x x 3x 1 1 x −2 − +3 −x dx=ln ( x ) + + +C +C=ln ( x ) + ln 3 −1 x ln 3 x

)

(

2

)

(

)

2 2 3x 1 3 x −1 3x 1 − dx= 3 x− dx =∫ −ln ( x ) +C dx=∫ x x x x 2

2

3

3 2 4x 12 x c .∫ ( 2 x−3 ) dx=∫ ( 4 x 2−12 x + 9 ) dx= 4 x − +9 x+C= −6 x 2 +9 x +C 2 3 3

6. Integrales compuestas a .∫

1 8√ y+5 1 dy dy u= √ y +5 → du= dy → 2 du= 2√y √y √y

2∫ 8u du=2 b .∫

8u 2 √ y+5 +C +C= 8 ln 8 ln 8

3 1 u=ln x −2 → du=3 1 dx dx → du= dx 1 /2 3 x 3 u =3 lnx −2 x ( ln x −2)

1

1/ 2 1 /2 1 1 1 u−1/ 2 du= 1 u +C= 1 ( ln x3 −2) +C ∫ du= 3 ∫ 3 u 1/ 2 3 2 6

c .∫

sen

( 1x ) dx u=1/ x → du=−x1 dx

x

−2

2

u=x −1

−du=

x2

dx

()

−∫ sen ( u ) du=−( −cos ( u )) +C=cos 1 + C x...