Aplicación de la carta EWMA con varianza efectiva Z. Badillo-R. Herrera-J. Suarez-RJ. Herrera 0612201 Autorizado PDF

Preview

Summary

Download Aplicación de la carta EWMA con varianza efectiva Z. Badillo-R. Herrera-J. Suarez-RJ. Herrera 0612201 Autorizado PDF

Description

Aplicación de la carta EWMA con varianza efectiva para monitorear variabilidad del proceso de fungicidas Application of the EWMA chart with effective variance to monitor variability in multivariate quality control processes Zadkiel Roberto Badillo Torres Universidad del Atlántico. Barranquilla, Colombia [email protected] Rogelio José Herrera Chamorro Universidad del Atlántico. Barranquilla, Colombia [email protected] Jennifer Suarez Mendoza Universidad del Atlántico. Barranquilla, Colombia [email protected] Roberto José Herrera Acosta Universidad del Atlántico. Barranquilla, Colombia [email protected]

Resumen

Abstract

Este artículo se presenta con el propósito de ilustrar mediante un caso de estudio el monitoreo mediante la carta de control EWMA de la varianza efectiva; el cual se evalúan subgrupos sometidos en línea de un proceso de fabricación de protectores de planta o fungicidas, dados unos parámetros establecidos. En el análisis indica que la carta Ewma de varianza efectiva genera límites muy cerrados; lo que podría ser perjudicial ante muestras con alta variabilidad.

This article is presented with the purpose of illustrate trough a study case the monitoring trough the Ewma control chart with effective variance; in which are evaluated subgroups submitted in line to a manufacturing process of plant protectants or fungicides, given established parameters. In the analysis indicates that the Ewma chart of effective variance generates much-closed limits; which could be detrimental for samples with high variability

Palabras claves: varianza efectiva, cartas EWMA, proceso multivariado

Key words: effective variance, EWMA charts multivariate process.

Introducción Los aspectos que se tienen en cuenta en las cartas de control van cambiando con el paso del tiempo, tanto así que hace mucho tiempo el aspecto principal era la media de los procesos hasta llegar hoy en día que no solo se ve la media sino también la varianza se ha ido identificando como una variable fundamental en las tipos de carta, para ello se han presentado diferentes tipos como shewart, EWMA y CUSUM2-5, cada una con diferentes modelos presentados por múltiples autores a través de los tiempos, uno de los problemas con la varianza ha sido su detección de cambios, en lo cual se enfocara este estudio, siendo postulado en sus inicios por Peña y Rodríguez (2003) 10 que propusieron un modelo que era capaz en presencia de conjuntos de variables medidas en las mismas unidades3, hacer comparaciones de conjuntos de estas, cuando estos conjuntos no tienen igual dimensión al utilizar la varianza efectiva, más adelante Morales y Vargas1 realizaron un análisis detallado de las diferentes cartas para cada tipo de varianza global, a su vez detallando paso a paso como realizar el modelo con carta EWMA para varianza efectiva,6 con base a eso se desarrolló una aplicación de estas cartas en un caso de estudio real que demuestra la funcionalidad de la varianza efectiva.

Se considera que el vector aleatorio X tiene matriz de varianza y covarianza ´S . 1

|S t|p V= t

(2)

1

|S´ |P

De acuerdo a la distribución de V t , la media y la varianza del estadístico EWMA

S v ( t ) = Λ V t +( 1− Λ ) S v ( t−1 )

(3)

Están dadas por:

( n− p )

[ E S v (t )] =( n−1 )

(

2n 2n−( p−1 ) ( p−2 )

)

1 p

(4)

Var [S v ( t ) ]=

(

2 ( n−p ) 2n 2 ( )( p−2 ) 2n− p−1 p ( n−1)

) (2−ΛΛ ( 1−( 1− 2 p

(5) De esta manera los límites de control para la fase II quedan de la siguiente forma 1:

LCS=

LC=

1 (n− p ) 2n p + L √ Var [ S v ( t ) ] 2 ( )( ) ( n−1 ) 2 n− p−1 p−2

(

)

(

( n− p ) 2n 2 ( n−1 ) 2 n− ( p−1) ( p−2 )

)

1 p

Marco teórico La varianza efectiva propuesta por Peña y Rodríguez (2003) se denota con la siguiente formula

VE=|Σ|

1 P

( n− p) 2n LCI= 2 ( (n−1 ) 2 n− p−1)( p−2)

(

) −L√Var [ S ( t) ] 1 p

v

(6)

(1) Donde L es una constante y parámetro de suavización.

Λ

es el

Ahora bien, si hablamos de las variables que vamos a analizar, todas pertenecen a una sustancia conocida como funguicidas las cuales son utilizadas para la protección de cultivos, es un tipo de plaguicida que busca controlar enfermedades de carácter fúngico, ya sea inhibiendo o eliminando el hongo.

cuarenta, luego se halla la matriz de covarianza realizando un producto entre la matriz dos por cuarenta y cuarenta por dos (la cual es la traspuesta de la anterior);una vez obtenida esta matriz se toman subgrupos de cuatro datos de cada variable y se halla la matriz de covarianzas de cada subgrupo.

La mayoría de estos se implementan por medio de fumigación o se espolvorean sobre las semillas con el fin de evitar la propagación de los hongos.

Consecuentemente se calcula el determinante de cada una de las matrices previamente hallada, ya con estos valores se aplica la ecuación (2) obteniendo Vt para cada subgrupo.

El primer fungicida eficaz fue la mixtura de Burdeos, conocida como caldo bordelés en 1882, compuesta de cal muerta y sulfato de cobre. Los fungicidas pueden ser de carácter preventivo o curativo, por el lado de los de prevención, lo que buscan es evitar que las esporas de los hongos germinen, por el lado de los curativos, el objetivo es destruir el micelio ya formado.7 Las incidencias por ataques de hongos son variables con respecto a las condiciones ambientales, dependiendo si estos se encuentran a la intemperie, o si se encuentran protegidos.4

Metodología Para este artículo se escoge como variable la concentración y el pH del proceso de fungicidas, para hacer analizadas y realizarles un control de calidad aplicando la carta previamente mencionada. Para ello se escogen cuarenta muestras de una población y se procederá a utilizar todas las ecuaciones de aplicación de cartas de control EWMA con varianza efectiva. Como primera instancia se procede a centrar los datos restándoles el promedio de la variable menos el promedio de la variable global que fue previamente hallada, obteniendo así una nueva matriz dos por

Una vez calculado el

Sv

se aplicó la

ecuación (3) para hallar el S v (t) de cada subgrupo, donde ʎ es igual a 0,2 y tomando como valor de inicio S v (t −1)=1 . Luego se aplica la ecuación ( 5) para hallar la Var S v (t) para cada subgrupo, donde n es el número total de la muestra y p el número de variables. Ya con los anteriores datos se puede hallar los límites de control para la Fase II utilizando las ecuaciones en ( 6) , respectivamente para cada límite. Una vez encontrados los límites se elabora la carta de control EWMA con los datos de los S v (t) para evaluar el proceso, corroborar si se encuentra en control o fuera de control, y se hace el respectivo análisis. Para evaluar los límites estándar en la Fase II de control, se estiman los parámetros E Sv ( t ) ( 4) con la ecuación y

Var [S v ( t ) ] .

13,5 0,22 5 14,9 -1,57 57,72 3 15,7 -1,73 57,56 4 15,0 0,02 59,31 8 14,8 58,65 -0,64 5 14,7 58,64 -0,65 8 14,5 58,83 -0,46 5 15,1 59,87 0,58 5 15,0 60,05 0,76 9 14,9 60,30 1,01 3 14,1 1,70 60,99 3 13,9 -1,07 58,22 7 14,1 0,43 59,72 0 14,9 1,22 60,51 0 15,4 61,04 1,75 2 14,5 60,12 0,83 7 Tabla 1: muestras y datos centrados Fuente: Autores 59,51

7

8

Concentració n 59,51 58,01 1 59,00 60,17 61,50 61,02 2 59,63 60,24 58,95 57,98 3 60,44 58,91 59,18 59,46 4 59,42 57,75 59,75 58,25 5 59,25 59,54 57,69 57,63 6 57,26 59,94

pH 14,7 9 14,6 4 14,7 3 14,1 6 14,9 7 14,6 3 15,6 6 14,0 3 15,0 3 14,3 4 14,7 0 14,1 9 15,0 3 14,6 4 14,6 4 14,3 3 15,4 4 14,4 8 14,6 4 14,0 0 14,5 2 14,4 0 14,6 4 14,5 7

Datos centrados Concentració n

Datos centrado s

0,22

0,12

-1,28

-0,03

-0,29

0,06

0,88

-0,51

2,21

0,30

1,73

-0,05

0,34

0,99

0,95

-0,65

-0,34

0,36

-1,31

-0,33

1,15

0,03

-0,38

-0,48

-0,11

0,36

0,17

-0,03

0,13

-0,03

-1,54

-0,35

0,46

0,76

-1,04

-0,20

-0,04

-0,03

0,25

-0,68

-1,60

-0,15

2

-1,66

-0,27

3

-2,03

-0,03

4

0,65

-0,11

pH

9

1 0

-1,13 0,25 1,06 0,40 0,18 0,10 -0,12 0,48 0,42 0,25 -0,54 -0,71 -0,57 0,22 0,75 -0,11

Resultados Al utilizar cada una de las formulas con los datos obtenidos en las muestras se obtienen los siguientes parámetros y variables pertinentes para la elaboración de nuestra carta de control. La matriz de varianza covarianza es conocida,

Σ=

0.063 [−0,287

−0287 1.634

Subgrupo 1

] vt

0,396 1,934 0,602 0,325

Sv t 0,87 9 1,09 0 0,99 2 0,85 9

5

0,611

6

0,413

7

1,536

8

0,324

9

1,267

10

1,011

0,80 9 0,73 0 0,89 1 0,77 8 0,87 6 0,90 3

LCS=1,230

1,2

1,0

0,8

0,6 0,4 |S|=0,220

0,2

LCI=0

0,0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Muestra

Grafica 2: Carta de control varianza generalizada con los

Tabla 2: Matriz de datos obtenidos por subgrupo Fuente: Autores

datos de

La esperanza de los datos hallada con (4 ) es 0.75 y la varianza 0.109 para un tamaño de subgrupo de cuatro n=4 y dos variables p=2 ; sus límites superior central e inferiores EN LAS ECUACIONES (6) son de 1.74; 0.75; -0.24 respectivamente. Con todos los valores y parámetros previamente hallados se construye la carta de control EWMA para proceder a analizar el comportamiento de las variables:

2,0 LCS=1,749

pH

y concentración de funguicidas. Fuente: Autores

Análisis de resultados Después de realizar los pasos para obtener los límites de control, se encontró que estos son muy pequeños, sin embargo, los datos se encuentran dentro de los límites, ya que nuestras variables de la T abla 2 son proporcionales en tamaño a estos. Como se puede observar en la Gráfica 2, en la cual se evalúa a partir de los parámetros respectivos a esta carta de control, hay muchos datos los cuales se acercan al límite inferior, por lo cual se recomienda revisar el proceso. Conclusión

1,5

1,0 _ X=0,75 0,5

0,0 LCI=-0,249 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Observación

Grafica 1: Carta de control EWMA con varianza efectiva con los datos de pH y concentración de funguicidas. Fuente: Autores

En la utilización de los fungicidas la calidad del producto empleado es de alta consideración, debido a que el implementar una sustancia que posea niveles de pH o concentración por encima de lo permisible llevaría a afectar el cultivo generando pérdidas a los agricultores y si por lo contrario están por debajo, puede no afectar al hongo que se desea atacar generando las mismas consecuencias.7 En el análisis realizado de la calidad del fungicida se implementó la carta EWMA con varianza efectiva propuesta por Morales y Vargas1, como resultado se obtuvo una carta de control con límites muy cerrados; lo que podría ser perjudicial ante muestras con alta variabilidad, en dicho caso no es recomendable la implementación de dicha

propuesta en procesos con una dispersión considerable. Se recomienda revisar implementación de esta para el análisis de datos. Bibliografía 1. Morales Víctor Hugo y Vargas José Alberto (2008), Carta EWMA con varianza efectiva para monitorear variabilidad en procesos de control de calidad multivariado. Colombia. 2. Herrera R., Mendoza A. Fontalvo T. (2016), Comparación de las Cartas de Control Univariadas con Transformación en la Medida de Variabilidad. Ingeniare, Universidad Libre-Barranquilla, Año 7, No. 13, pag. 51-57 • ISSN: 1909-2458 3. Alt, F.B.& Smith, N.D. (1998), Multivariate Process Control, Handbook of Statistics 7, pag. 333-351. 4. Leiva Pedro Daniel (2016), Calidad del agua para pulveración agrícola. 5. Montgomery, D. C (2001), introduction to statistical Quality Control, Wiley, New York, United States. 6. Garcias, J. C. (2007), the Effective Variance Control Chart for Monitoring the Dispersion process with Missing data, European J. Industrial Engineering 1, pag. 40-55. 7. Lyr, H., Russell, P.E., and Sisler, H.D. (1996), Modern Fungicides and Antifungal Compounds. Intercept Limited. Andover, United Kingdom. 8. McGrath, M.T. (2004), What are Fungicides. The Plant Health Instructor. 9. Wilks, S. S. (1932), Certain Genereralizations in the Analysis of Variance, Biometrika 24, pag. 471-494 10. Peña, D. & Rodriguez J. (2003), Descriptive Measures of Multivariate Scatter and Linear Dependence, Journal of Multivariate Analysis 85, pag.361-374....