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APLICACIÓN DE MATLAB TEORIA DE MATRICES

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Industrial Proyecto de teoría de matrices Tema: MATLAB Nombre: Bryan Cedeño Vera Facilitador: Ing. Edin A lex Garcés Coka Grupo: 1-1

Periodo Lectivo: 2019-2020

DESCRIPCIÓN DE MATLAB ¿Qué es MATLAB? MATLAB es un programa computacional que ejecuta una gran variedad de operaciones y tareas matemáticas. Es una herramienta poderosa, y puede manejar los cálculos involucrados en problemas de ingeniería y ciencia. Su nombre significa “MATrix LABoratory ” (laboratorio de matrices) y fue diseñado en un principio para trabajar con vectores y matrices. Ya hoy abarca muchísimo más. Como MATLAB es el programa más dominante del mundo técnico , muchos ingenieros y científicos requieren manejarlo para poder desempeñarse bien en sus nuevos puestos de trabajo. MATLAB es un entorno de cálculo técnico de altas prestacionesparaca cálculo numérico y visualización. Integra: 1.Análisis numérico 2.Cálculo matricial 3.Procesamiento de señales 4.Gráficos En un entorno fácil de usar, donde los problemas y las soluciones son expresados como se escriben matemáticamente, sin la programación tradicional. El nombre MATLAB recibió de `` MATrix LABoratory ''(Laboratorio de Matrices). MATLAB fue escrito originalmente para proporcionar un acceso sencillo al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan lo más avanzado en programas de cálculo matricial. MATLAB es un sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es una matriz que no requiere dimensionamiento. Esto permiteresolver muchos problemas numéricos en unafracción del tiempo que llevaría hacerlo en lenguas como C, BÁSICO o FORTRAN. ¿Cuáles son las características más importantesde MATLAB? Características de MATLAB : 

Cálculos intensivos desde un punto de vista numérico.

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Gráficos y visualización avanzada.



Lenguaje de alto nivel basado en vectores, arrays y matrices.



Colección muy útil de funciones de aplicación.

Las poderosas capacidades de cálculo técnico de MATLAB se ponen a la disposición de los estudiantes, aunque limita el tamaño de las matrices a 8192 elementos, la edición de estudiante mantiene toda la potencia de la versión profesional de MATLAB 4.0, en una forma diseñada para que los estudiantes puedan ejecutarlo en sus propios ordenadores personales bajo Windows.

Toolbox especiales: Se incluyen el Toolbox de señales y Sistemas ( un conjunto de herramientas para el procesamiento de señal y para el análisis de sistemas de cuadro ) y el Toolbox Symbolyc Math ( herramienta de cálculo simbólico basada en Maple V ). A continuación presentamos la interfase de usuario de MATLAB 4.0 con el despliegue de una aplicación con grafica en 3D correspondiente al modelo Z=x^y-y^x su tabla de calculo y el análisis de la función. COMANDOS Un comando (del inglés command) es una instrucción u orden que el usuario proporciona un sistema informático, desde la línea de comandos o desde una llamada de programación. Puede ser interno (contenido en el propio intérprete) o externo (contenido en un archivo ejecutable). Lista de comandos más usuales en MATLAB -claro: borra los datos internasen delaware las variables -clc :borra toda la pantalla, pero deja internamente el valor de las variables. -quien: enumera todas las variables usadas hasta el momento. -help: (tema) proporciona ayuda sobre el tema seleccionado. -↑ ↑: con Este Botón se pueden Recuperar Sentencias anteriormente Usadas. -syms: sirve para declarar variables. - Redondo:(operación) redondea al entero más cercano: >> round (9/4) ans =2 sqrt Calcula Raíz cuadrada. -Resolver: resuelve una ecuación o sistema de ecuaciones FUNCIONES Matlab cuenta con tres tipos fundamentales defunciones: 1.Funciones Escalares A un escalar le asignan otro escalar, pero también pueden incluir también sobre matrices componente a componente siendo, entonces, el resultado otra matriz del mismo orden.2 2.Funciones eléctricas Un vector (columna o fila) le asigna un escalar y cuando se asigna sobre una matriz le asigna un vector fila que contiene los resultados de su aplicación sobre cada columna. 3. Funciones Matriciales Las funciones matriciales, están asignadas sobre matrices y su resultado puede ser un escalar, un polinomio o también una matriz. Es importante tener en cuenta que las funciones de Matlab pueden tener dos o más argumentos de salida.

ESCRITORIO

ALGORITMO Un algoritmo es una descripción ordenada de las instrucciones que deben realizarse para resolver un problema en un tiempo finito. Para crear un algoritmo es necesario conocer en forma detallada el problema, las variables, los datos que se necesitan, los procesos involucrados, las restricciones, y los resultados esperados. La descripción del algoritmo debe orientarse a la instrumentación computacional final. Sin embargo, cuando los problemas son simples, puede omitirse la elaboración física del algoritmo e ir directamente a la codificación en el lenguaje computacional. 2.1 Estructura de un algoritmo Un algoritmo es un objeto que debe comunicarse con el entorno. Por lo tanto debe incluir facilidades para el ingreso de datos y la salida de resultados. Descripción de algoritmos Para escribir algoritmos se pueden usar diferentes notaciones: textual, gráfica, o simbólica, pero para que una notación sea útil debe poseer algunas características que permitan obtener algoritmos fáciles de entender y aplicar: 1) Las instrucciones deben ser simples para su utilización. 2) Las instrucciones deben ser claras y precisas . 3) Debe incluir suficientes instrucciones para describir la solución de problemas simples y complejos. 4) Preferentemente, las instrucciones deben tener orientación computacional. Los algoritmos deben ser reproducibles, es decir que al ejecutarse deben entregar los mismos resultados si se utilizan los mismos datos. Definiciones a) Proceso Conjunto de acciones realizadas al ejecutar las instrucciones descritas en un algoritmo. b) Estado Situación de un proceso en cada etapa de su realización, desde su inicio hasta su finalización. En cada etapa, las variables pueden modificarse. c) Variables Símbolos con los que se representan los valores que se producen en el proceso. Componentes de una variable Nombre: Identificación de cada variable

Dominio: Tipo de datos asociado a una variable Contenido: Valor asignado a una variable Celda: Dispositivo para el almacenamiento del valor asignado a una variable

Sintaxis Operaciones básicas I Comentarios: % This is a comment, it starts with a “%” Aritmética simple: y = 5*3 + 2^2; % simple arithmetic Crear vectores: x = [1 2 4 5 6]; % create the vector “x” x = 1:0.5:3; % create a vector from 1 to 3 using 0.5 intervals Multiplicar los elementos de dos vectores 1 a 1: x_mult = [6 5 3 7 1]; % create the vector “x_mult” y_mult = x.*x_mult; % multiply each element one-by-one Potencias y raíces: x1 = x.^2; % square each element in x x2 = sqrt(x); % square root each element in x Crear vectores a partir de otros: x3 = x(1:3); % Select first 3 elements in x Crear números complejos: z = 1+1i; % Create a complex number a = real(z); % Pick off real part b = imag(z); % Pick off imaginary part

Operaciones básicas Generar vectores de tiempo: t = 0:0.01:5; % Generate sampled time Crear modelos de señal: x4=exp(-t).*cos(2*pi*10*t); % Generate a discrete signal Graficar señales: plot(t, x4); % Plot points

Objetivos Objetivo General Utilizar el programa Matlab y aprender a resolver diferentes ejercicios de la materia Teoría de matrices con este programa.

Objetivos Específicos 1.Analizar el programa Matlab 2.Resolver ejercicios vistos en clase o de deberes con Matlab 3.Aprender a utilizar los diferentes comandos para la resolución de ejercicios en Matlab. 4.Aprender a resolver matrices en Matlab. 5.Aprender a resolver números complejos en Matlab. 6.Aprender a resolver Sistemas de ecuaciones en Matlab.

MARCO TEÓRICO Números Complejos Introducción Existen ecuaciones que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Por ejemplo, la ecuación x²+9=0 no tiene solución real ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9. El matemático hindú Bhaskara (1114-1178) ya hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz cuadrada de un número negativo. Gerolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico italiano, fue el primero en escribir las raíces de números negativos solución de una ecuación de segundo grado, aunque especificando que no tenían sentido. Euler (1707-1783) introdujo una nomenclatura específica para resolver raíces de números negativos. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) culminó la construcción de un nuevo conjunto numérico, el de los números complejos. La unidad imaginaria, i, es el número que elevado al cuadrado da -1.

Una expresión de la forma a + b i, en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo. Escribiremos z = a + b i, a es la parte real del número complejo z y b es la parte imaginaria de z. La expresión a + bi recibe el nombre de forma binómica del número complejo z. Si la parte imaginaria es cero, tenemos un número real. Si la parte real es cero, un número imaginario puro. II.- Representación gráfica de los números complejos. Los números complejos se representan en un plano infinito que llamaremos plano complejo, de modo que la parte real se represente en el eje de abscisas, llamado EJE REAL, y la parte imaginaria en el eje de ordenadas, llamado EJE IMAGINARIO. III.- Suma, multiplicación y división de números complejos en forma binómica. Sean los números complejos z = a + bi y w = c + di. Definimos: Suma.- Para sumar dos o más números complejos se suman las partes real e imaginaria de cada uno de ellos. z + w = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Multiplicación.- Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i 2 = -1. z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i División.- Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

Se llama módulo del número complejo z = a + bi, y se representa por m o |z|, a la longitud del vector OP.

Se denomina argumento del número complejo z = a + bi, y se representa por a al ángulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas. Para determinar el valor de a se aplica la fómula:

La determinación del argumento no es única ya que existen infinitos ángulos con la misma tangente. Si se restringe la determinación a ángulos comprendidos entre 0 y 2p (0° y 360°), existen dos ángulos, que difieren en p radianes (180°), con la misma tangente. El argumento V.- Raíces n-ésimas de la unidad. Si calculamos las raíces n-ésimas de 1 y representamos sus correspondientes afijos obtenemos los vértices de un polígono regular con un número de lados igual al índice de la raíz.

Los vértices del polígono estarán sobre la circunferencia de radio 1. VI.- Operaciones con números complejos y transformaciones geométricas. 1.-Si se suma el número complejo a + bi a otro número complejo c + di, se produce una traslación de vector v=(a,b). Vamos a hacer translaciones del triángulo PQR. Obtendremos el triángulo P1Q1R1

FOR MA BIN ÓMICA , T R IGON OMÉ T R IC A Y POL A R D E NÚ ME R OS IMA GIN A R IOS Enl af or mabi nómi ca,unc ompl ej ozs ees cr i bec omol as umadeunnúmer o r ealayunnúmer or eal bmul t i pl i c adoporl auni dadi magi nar i ai :

Elnúmer oaesl apar t er ealdezybesl apar t ei magi nar i adez . Laf or mat r i gonomét r i cadelcompl ej oz =a+bies

Elángul oαquepr opor c i onal af unc i ónar c ot angent eess i empr eent r e45°y 45° .Si el compl ej oper t enec eel pr i merc uadr ant e( a>0,b>0)oalcuart o ( a>0,b...