Transformada de Laplace en Matlab PDF

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Summary

Con el objetivo de que el alumno ponga en práctica los conocimientos adquiridos en la materia de "Sistemas y Señales", en especial, "La Transformada de Laplace"; se realizaron una serie de ejercicios a través de Matlab (software para cálculo técnico que utilizan los ingenieros que ofrece un entorno ...

Description

DIRECCIÓN DE INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Asignatura: Evidencia Tipo de evaluación: Unidad de aprendizaje:

Grupo:

02B

Instrumentos de evaluación:

Fecha de entrega:

Calificación

última sesión de la semana 4

23/05/2015

Modelado y simulación de sistemas EP3

Sumativa 1

Nivel

Práctica 1. 1. 2.

¿Qué comando se usa en MatLab para calcular la transformada de Laplace de una función expresada en el tiempo? Laplace(función expresada en el tiempo) Calcule las transformadas de Laplace de las siguientes funciones usando MatLab.

NOTA: El tipo de fuente para pegar los códigos debe de ser Courier New de tamaño 8.

Tabla 1. Ejercicios para transformada de Laplace Función

f (t ) = t

3

f (t ) = t 2

f (t ) = t

f (t ) = 1

f (t ) = sen (t )

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Código en MatLab syms t s y=t^3; Y=laplace(y)

Resultado Y= 6/s^4

syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=t^2; %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y)

Y=

syms t s %la notacion en minuscula es en el tiempo y=t; %Y la notación en mayúscila indica una funcion transformada Y=laplace(y)

Y=

syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=t/t; %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y)

Y=

syms t s %la notacion en minúscula es en el tiempo y=sin(t); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y)

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10

2/s^3

1/s^2

1/s

Y= 1/(s^2 + 1)

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f ( t) = e −3t sen( 2t)

syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=exp(-3*t)*sin(2*t); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y) syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=cos(t); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y)

f (t ) = cos(t )

f (t ) = e −3t cos(5t)

syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=exp(-3*t)*cos(5*t); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y)

Y= 2/((s + 3)^2 + 4)

Y= s/(s^2 + 1)

Y= (s + 3)/((s + 3)^2 + 25)

f (t ) = 5t 2 cos(3t + 45 )

syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=5*(t^2)*cos(3*t+pi/4); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y) %simplificación de Y simplify(Y)

Y= -(2^(1/2)*(- 5*s^3 + 45*s^2 + 135*s 135))/(s^2 + 9)^3

f (t ) = 5te −2 t sen( 4 t + 60 )

syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=5*t*exp(-2*t)*sin(4*t+pi/3); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y) %simplificación de Y simplify(Y)

Y= (10*(2*s + 4))/((s + 2)^2 + 16)^2 (5*3^(1/2)*(1/((s + 2)^2 + 16) - ((2*s + 4)*(s + 2))/((s + 2)^2 + 16)^2))/2

Los comandos simplify y pretty se utilizan para obtener expresiones más fáciles de leer. MatLab utiliza una fuente de letra que es proporcional, es decir, cualquier carácter ocupa siempre el mismo espacio predefinido en la pantalla, contrario a las fuentes usadas normalmente en Word. Para poder visualizar una expresión copiada de MatLab, y pegada en Word utilice una letra proporcional como Courier. Otros cambios en la apariencia de los resultados desplegados: • collect(F,s). • expand(F). • factor(F). • simple(F). • vpa(expression,places). 3.

Investigar y escribir con la ayuda de MatLab como se usan las funciones anteriores, colocar sintaxis, descripción (en español), ejemplo y resultado del ejemplo. collect(F,s). Este comando lo que hace es ordenar una expresión algebraica en función al grado del polinomio, es decir, comienza con el término libre, luego con los que tienen exponente menor, luego los que son elevados al cuadrado y así sucesivamente. Sintaxis: Collect(s) Collect(s,v) Código: close all clear all clc

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syms x y a=collect((x+y)*(x^2+6*y),y) Resultado: a = 6*y^2 + (x^2 + 6*x)*y + x^3 expand(F). El comando expand sirve para multiplicar varios polinomios Sintaxis: Expand (f,options) Expand(f,g1,g2,…,options) Código: syms x expand((x+1)^3) Resultado: x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 factor(F). Esta función sirve para separar en factores la variable deseada, además esta función puede sacarle factores apolinomios. Sintaxis: F=Factor(n) Código: close all clear all clc %funcion factor f = factor(200) g = factor(8) Resultado: f= 2 2 2 5 5 g= 2 2 2 simple(F). Aplica diferentes simplificaciones algebraicas y muestra los resultados en forma de ‘s’ Sintaxis: simple(S) Simple(S,Name,Value) R=simple(S) R=simple(S,Name,Value) [r,how]=simple(S) [r,how]=simple(S,Name,Value) Ejemplo: y=8*sin(4*t)-5*cos(4*t); Resultado:-(5*s - 32)/(s^2 + 16) vpa(expression,places). Usa variables de precisión aritmética para digitar de manera precisa los decimales Sintaxis: R=vpa(A) Ejemplo: old=digits(25); q=vpa('1/2') p=vpa(pi) w=vpa('(1+sqrt(5))/2') digits(old) Resultado: q =0.5 p =3.141592653589793238462643 w =1.618033988749894848204587 4.

Calcule la transformada de Laplace de las siguientes expresiones, use además los comandos simplify y pretty para hacer más fácil la lectura del resultado. a.

f (t) = 1.5 − e − t sen(5t) + 5 e −t cos(5 t)

i. Código: syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=1.5*t-exp(-t)*sin(5*t)+5*exp(-t)*cos(5*t); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y) %simplificación de Y simplify(Y) pretty(Y)

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ii.

Resultado:

Y= (5*(s + 1))/((s + 1)^2 + 25) + 3/(2*s^2) - 5/((s + 1)^2 + 25) iii.

simplify:

ans = (5*(s + 1))/((s + 1)^2 + 25) + 3/(2*s^2) - 5/((s + 1)^2 + 25) iv. pretty: 5 (s + 1) 3 5 ------------- + ---- - ------------2 2 2 (s + 1) + 25 2 s (s + 1) + 25 b.

f (t ) = sen (t − 2) + cos(t − 2)

i. Código: syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo y=sin(t-2)+cos(t-2); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada Y=laplace(y) %simplificación de Y simplify(Y) pretty(Y) ii.

Resultado:

Y= (sin(2) + s*cos(2))/(s^2 + 1) + (cos(2) - s*sin(2))/(s^2 + 1) iii. simplify: ans = (cos(2) + sin(2) + s*cos(2) - s*sin(2))/(s^2 + 1) iv. pretty: sin(2) + s cos(2) cos(2) - s sin(2) ----------------- + ----------------2 2 s +1 s +1

5. ¿Cómo se representa un polinomio en MaltLab? Polinomio=[C1 C2 C3…Cn] donde C1 es la constante de la variable de mayor exponente y Cn es el termino constante 6. Calcule las raíces de los siguientes polinomios usando MatLab con el comando roots. Tabla 2. Ejercicios para usar la función roots. Polinomio 2

s + 2s + 1

s2 +2 s +2

2s 2 + 4 s + 2

7.

Código MatLab clc %se declara polinomio en una variable P=[1 2 1]; %%se obtienen las raices roots(P) clc %se declara polinomio en una variable P=[1 2 2]; %%se obtienen las raices roots(P)

clc %se declara polinomio en una variable P=[2 4 2]; %%se obtienen las raices roots(P)

Resultado ans = -1 -1

ans = -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i

ans = -1 -1

¿Qué comando se usa en MatLab para expandir una función en sus fracciones parciales?

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Residue(r,p,k) 8. Descomponga las siguientes funciones en fracciones parciales usando MatLab.

a.

F( s) =

s+5 s( s + 10)

i. Código: num=[1 5]; den=[1 10 0]; [r,p,k]=residue(num,den) % con esta función logras obtener las raíces para %%-- las fracciones parciales ii.

Resultado (MatLab):

iii.

Resultado (escriba las fracciones parciales obtenidas con MatLab de forma manual):

r= 0.5000 0.5000

p= -10 0

𝐹(𝑠) =

b.

F( s) =

.5 .5 + 𝑠 − 10 𝑠

104 (s + 10)(s + 60) s( s + 40)(s + 50)(s 2 + 7s + 100)(s 2 + 6s + 90)

i. Código: close all clear all clc num=[10000 700000 700000]; den=[1 103 3402 98110 538700 3270000 18000000 0]; [r,p,k]= residue(num,den) [a,b]=residue(num,den) [num1,den1]=residue(r,p,k) sys=tf(num1,den1) ii.

Resultado (MatLab): r= 0.0000 + 0.0000i 0.0025 - 0.0038i 0.0025 + 0.0038i -0.0729 - 0.0407i -0.0729 + 0.0407i 0.1018 + 0.0000i 0.0389 + 0.0000i

p= -73.6500 + 0.0000i -12.0182 +30.5811i -12.0182 -30.5811i 0.3663 + 6.1079i 0.3663 - 6.1079i -6.0462 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

k= []

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a= 0.0000 + 0.0000i 0.0025 - 0.0038i 0.0025 + 0.0038i -0.0729 - 0.0407i -0.0729 + 0.0407i 0.1018 + 0.0000i 0.0389 + 0.0000i

b= -73.6500 + 0.0000i -12.0182 +30.5811i -12.0182 -30.5811i 0.3663 + 6.1079i 0.3663 - 6.1079i -6.0462 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i iii. −0.0056−0.0277𝑖 𝑠+3.3039−26.3124𝑖

−0.0056+0.0277𝑖

Resultado (escriba las fracciones parciales obtenidas con MatLab de forma manual): 0.6725+0.0381𝑖

𝑠+3.3039+26.3124𝑖 𝑠+3.1961−9.0160𝑖

0.6725 𝑠+3.1961+9.0160𝑖

9.

¿Qué comando se usa en MatLab para calcular la transformada inversa de Laplace de una función expresada en el domino de la frecuencia? Y=Ilaplace(función) 10. Use MatLab para calcular la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

F( s) =

a.

5(s + 5) s( s + 10)

i. Comando: syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo Y=(5*(s+5))/(s*(s+10)); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada %transformada inversa de laplace y=ilaplace(Y) ii.

Resultado:

iii.

Simplificación y lectura:

y= (5*exp(-10*t))/2 + 5/2 5 exp(-10 t) ------------ + 5/2 2

b.

F( s) =

25 s( s + 6 s + 25) 2

i. Comando: syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo Y=(25)/(s*(s^2+6*s+25)); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada %transformada inversa de laplace y=ilaplace(Y) simplify(y) pretty(y) ii.

Resultado:

y= 1 - exp(-3*t)*(cos(4*t) + (3*sin(4*t))/4) iii. Simplificación y lectura:

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ans = 1 - exp(-3*t)*(cos(4*t) + (3*sin(4*t))/4)

/ 3 sin(4 t) \ 1 - exp(-3 t) | cos(4 t) + | ---------- | \ 4 /

c.

F( s) =

(s 2 + 3s + 7)(s + 2) (s + 3)(s + 4)(s 2 + 2s + 100)

i. Comando: syms t s %la notación en minúscula es en el tiempo Y=(s^2+3*s+7)*(s+2)/((s+3)*(s+4)*(s^2+2*s+100)); %Y la notación en mayúscula indica una función transformada %transformada inversa de laplace y=ilaplace(Y) simplify(y) pretty(y) ii.

Resultado:

y= (11*exp(-4*t))/54 - (7*exp(-3*t))/103 + (4807*exp(-t)*(cos(3*11^(1/2)*t) - (4681*11^(1/2)*sin(3*11^(1/2)*t))/52877))/5562 iii.

Simplificación y lectura:

ans = (11*exp(-4*t))/54 - (7*exp(-3*t))/103 + (4807*exp(-t)*(cos(3*11^(1/2)*t) - (4681*11^(1/2)*sin(3*11^(1/2)*t))/52877))/5562

d.

F( s) = i.

s 3 + 4s 2 + 6s + 5 ( s + 8)( s 2 + 8s + 3)(s 2 + 5s + 7) Comando:

close all clear all clc %generar las variables t y s para pasar del dominio t al dominio s syms t s %la notación minúscula supone una función definida Y=(s^3+4*s^2+6*s+5)/((s+8)*(s^2+8*s+3)*(s^2+5*s+7)); % y la mayúscula indica la función transformada %Y=laplace(y) %transformada inversa y=ilaplace(Y) simplify(y) pretty(y) ii.

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Resultado:

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y= (1367*exp(-4*t)*(cosh(13^(1/2)*t) (4895*13^(1/2)*sinh(13^(1/2)*t))/17771))/417 (29*3^(1/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/102))/4309 - (299*exp(-8*t))/93 iii.

-

(272*exp(-(5*t)/2)*(cos((3^(1/2)*t)/2)

+

-

(272*exp(-(5*t)/2)*(cos((3^(1/2)*t)/2)

+

Simplificación y lectura:

ans = (1367*exp(-4*t)*(cosh(13^(1/2)*t) (4895*13^(1/2)*sinh(13^(1/2)*t))/17771))/417 (29*3^(1/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/102))/4309 - (299*exp(-8*t))/93 / 4895 sqrt(13) sinh(sqrt(13) t) \ exp(-4 t) | cosh(sqrt(13) t) - ------------------------------ | 1367 \ 17771 / -------------------------------------------------------------------417 / / sqrt(3) t \ \ | sqrt(3) sin| --------- | 29 | / 5 t \ | / sqrt(3) t \ \ 2 / | exp| - --- | | cos| --------- | + --------------------------- | 272 \ 2 /\ \ 2 / 102 / exp(-8 t) 299 - ------------------------------------------------------------------- - ------------4309 93

11. ¿Qué comando se usa en MatLab para resolver una ecuación diferencial? R=dsolve (ecuación diferencial, condiciones iniciales) 12. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando MatLab.

a.

3

dy 2 dy + + 6 y = 10U (t ) con condiciones iniciales de y (0) = −3 y y ' (0) = 2 . dt 2 dt

Comando: e=dsolve('3*D2y+Dy+6*y=10','y(0)=-3','Dy(0)=2') i. Resultado: (13*s)/(s^4 + 9*s^3 + 126*s^2 + 724*s + 1200) + 14/(s^4 + 9*s^3 + 126*s^2 + 724*s + 1200) + (5*s^2)/(s^4 + 9*s^3 + 126*s^2 + 724*s + 1200) + s^3/(s^4 + 9*s^3 + 126*s^2 + 724*s + 1200) ii. b.

dy3 dy 2 dy + + 2 + 15 y = 4U (t ) con condiciones iniciales de y (0) = 0 , y ' (0) = 1 y y ' ' (0) = 2 5 3 2 dt dt dt

. Comando: e=dsolve('D3y+5*D2y+2*Dy+15*y=4','y(0)=0','Dy(0)=1', 'D2y=2') i. Resultado: 4/15 - (exp(t*(19/(18*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)) + (565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)/2 5/3))*cos((3^(1/2)*t*(19/(9*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)) - (565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)))/2)*(418130*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3) - 595*108^(1/2)*10807^(1/2) + 122664*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) + 16416*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(4/3) - 4050*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(5/3) - 386*108^(1/2)*10807^(1/2)*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3) + 672350))/(30*(9*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) + 19)*(171*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) + 81*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(4/3) + 361)) - (3^(1/2)*exp(t*(19/(18*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)) + (565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)/2 - 5/3))*sin((3^(1/2)*t*(19/(9*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)) - (565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)))/2)*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)*(44004*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3) - 193*108^(1/2)*10807^(1/2) + 2025*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(4/3) + 227115))/(15*(9*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) - 19)*(171*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) + 81*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(4/3) + 361)) - (exp(-t*(19/(9*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3)) + (565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3) + 5/3))*(8208*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(4/3) - 418130*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3) - 70680*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) - 535*108^(1/2)*10807^(1/2) + 4050*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(5/3) + 386*108^(1/2)*10807^(1/2)*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(1/3) + 604550))/(30*(9*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) + 19)*(171*(565/54 - (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(2/3) + 81*(565/54 (108^(1/2)*10807^(1/2))/108)^(4/3) + 361)) ii. 13. De las siguientes figuras grafique en MatLab y obtenga su transformada de Laplace.

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i. Comando: close all clear all clc syms t s x=0:.001:5; z=x.*(0...