Formulario de Transformada de Laplace PDF

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Laplace...

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Transformada de Laplace de algunas funciones básicas 1. L[1] =

1

𝑠

2. L[𝑡 𝑛 ] = 3. L 4. L

[𝑒 𝑎𝑡 ]

[𝑡 𝑛 𝑎𝑡 ] 𝑒

𝑛!

1

3. L-1[ 𝑠−𝑎] = 𝑒 𝑎𝑡

1

𝑠−𝑎

=

5. L[𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)] = 6. L[𝑠𝑒𝑛

𝑘

4. L-1[ 𝑠 2 +𝑘2 ] = 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)

𝑛! (𝑠−𝑎)𝑛+1

2 (𝑘𝑡 )]

1

1. L-1[ 𝑠 ] = 1

2. L-1[ 𝑠 𝑛+1 ] = 𝑡 𝑛

𝑛!

𝑠 𝑛+1

=

Algunas Transformadas inversas de Laplace

𝑘

𝑠 2 +𝑘2

2𝑘

=

7. L[𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)] =

𝑠(𝑠 2+4𝑘2 ) 𝑠

𝑠 2+𝑘 2

8. L[𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑡)] = 𝑠 2 + 9. L[𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡)] = 10. L[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡)] =

11. L[𝑢 (𝑡 − 𝑎)] =

𝑘

𝑠 2 +𝑘2

7. L-1[

𝑠 2 −𝑘2

𝑠 2 −𝑘 2 𝑠

𝑠 2−𝑘 2

𝑒 −𝑎𝑠 𝑠

𝑘

] = 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)

6. L-1[ 𝑠 2 −𝑘2 ] = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡)

2𝑘 2

𝑠(𝑠 2+4𝑘 2)

𝑠

5. L-1[

𝑠

] = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡)

Sobre la aplicación de la Transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales  

L[𝑦 ′] = 𝑠 L[𝑦] − 𝑦 (0)

L[𝑦 ′′] = 𝑠2 L[𝑦] − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′(0)

Traslación de algunas Transformadas especiales Propiedades de la Transformada de Laplace Sea L [𝒇(𝒙)] = 𝑭(𝒔),, L[𝒈(𝒙)] = 𝑮(𝒔) y 𝜶, 𝜷

constantes

1. L[𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)] = 𝛼𝐹 (𝑠) + 𝛽𝐺(𝑠) 2. L[𝑒 𝑎𝑥 𝑓(𝑥)] = 𝐹(𝑠 − 𝑎)

3. L[𝑓 ′(𝑥)] = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)

4. L[𝑓 ′′ (𝑥)] = 𝑠2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓 ′(0) 𝑥

5. L[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] = 0

𝐹(𝑠)

6. L[−𝑥𝑓(𝑥)] = 𝐹 𝑠) ′(

𝑠

7. L[(−1)𝑛 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥)] = 𝐹𝑛 (𝑠) 8. L[

𝑓(𝑥) 𝑥

∞

∞

] = ∫0 𝐹(𝑠)𝑑𝑠

9. L[∫0 𝑓(𝑥 − 𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 ] = 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)

1. L[𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)] = 2. L[𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)] =

2𝑘𝑠

(𝑠 2 +𝑘 2)2

𝑠 2 −𝑘2 (𝑠 2 +𝑘 2 )2

2𝑘𝑠 −𝑘 2 )2

3. L[𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡)] = (𝑠 2

4. L[𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡)] = 5. L-1[ (

𝑠

𝑠 2 +𝑘 2 )2

6. L-1[ (

1

𝑠 2 +𝑘 2 )2

]=

]=

𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)]

1

𝑠 2 +𝑘 2 (𝑠 2 −𝑘2 )2

2𝑘

𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)

1 [𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 2𝑘 3

−

Segundo teorema de traslación L[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠)

L[𝑓(𝑡 − 𝑎 )𝑢(𝑡 − 𝑎 )] = 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹(𝑠)

Forma alternativa del segundo teorema de traslación L[𝑔(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎 )] = 𝑒 −𝑎𝑠 L[𝑔(𝑡 − 𝑎)]

Forma inversa del segundo teorema de traslación L-1[𝑒 −𝑎𝑠 𝐹(𝑠)] = 𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑢(𝑡 − 𝑎) Para una función general definida por partes 𝑓(𝑡) = {

𝑔(𝑡) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎 ℎ(𝑡) , 𝑡≥𝑎

Se puede escribir de forma compacta como: 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎 ) + ℎ(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎) De manera similar, una función de tipo 0, 0≤𝑡≤𝑎 𝑓(𝑡) = { 𝑔(𝑡) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 0, 𝑡≥𝑏 También se puede escribir: 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡)[𝑢(𝑡 − 𝑎 ) − 𝑢(𝑡 − 𝑏 )]...