Ejercicios de Transformada Inversa de Laplace PDF

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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Variable compleja • Número complejo: – Unidad imaginaria (i,j): número que multiplicado por sí mismo da -1

j = −1

– El plano complejo: • Forma binómica:

σ = Re (s ) s = σ + ωj ⇒  ω = Im(s )

• Forma polar:

s = re jθ

módulo : r = σ 2 + ω 2  ⇒ ω  = θ arg umento : arctan    σ  

Eje imaginario

Plano complejo s = a+b i = r ejφ

i s(a,b) r

b

φ a

r Eje real

• Función compleja:

F ( s ) = Fx + jFy

– Funciones polinómicas racionales de variable compleja

(s − z ) b( s) b0s + b1s +  + b m−1s + bm ∏ i =1 = =K F ( s) = n a (s ) a0 s n + a1s n −1 +  + a n−1s + an ∏ (s − p ) m

m −1

m

i =1

Polos y Ceros

• Polo de una función polinómica racional de variable compleja F(s) es cualquier valor de la variable compleja para el cual la función no está definida (punto singular) porque hace cero al denominador. • Cero de una función polinómica racional de variable compleja F(s) es cualquier valor de la variable compleja para el cual la función vale cero.

• Método gráfico para el cálculo del módulo y el argumento de F(s0) :

• Relaciones de Euler:

e jθ = cosθ + jsenθ e jθ + e − jθ cosθ = 2 e jθ − e − jθ sen θ = 2j

Transformada inversa de Laplace • Permite obtener la función original f(t) en el tiempo a partir de su correspondiente función en el dominio del plano complejo F(s). • Definición:

f (t ) = L

−1

[F (s )] =

1

c + j∞

2π j ∫c − j∞

F (s )e st ds

la constante c es un número real mayor que las partes reales de cualquier punto singular de la función F(s).

• Cálculo – Manipulaciones algebraicas – Tablas de pares de transformadas de Laplace – Método de la descomposición en fracciones parciales

• Dominio del tiempo y dominio complejo

Descomposición en fracciones parciales Separa una función polinómica racional F(s) en factores F1(t), F2(t), ..., Fn(t) para los cuales el cálculo de la transformada inversa de Laplace sea inmediato.

b(s ) = F1 (t ) + F2 (t ) +  + Fn (t ) F (s ) = a (s )

• Método general – Si todos los polos de la función a transformar son distintos entre sí F (s ) =

b (s ) b (s ) b(s ) = n = a (s ) s + a n− 1s n −1 +  + a1 s + a0 ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − p n )

– la descomposición en fracciones parciales se realizará de la siguiente forma: F (s ) =

C1 C2 Cn b(s ) = + ++ (s − p n ) a(s ) (s − p 1 ) (s − p 2 )

– Los residuos C1, C2, ..., Cn se obtienen aplicando la siguiente expresión:

C k = {F (s )(s − p k )}s = pk

Y, por lo tanto, la transformada inversa de Laplace se obtiene de la siguiente manera:

f (t ) = L

−1

n

[F (s )] = ∑ C k e p t = C1e p t + C 2e p t +  + C n e p t k

k =1

1

2

n

Ejercicio • Obtener la transformada inversa de Laplace de la siguiente función compleja: F (s ) =

2 s 2 + 2s

Solución F (s ) =

2 2 C1 C 2 = = + s 2 + 2 s s (s + 2) s s + 2 2  2  C1 = [F (s )s ]s =0 =  = =1  s + 2  s= 0 2 +2 2  C 2 = [F (s )(s + 2 )]s = −2 =   = = −1 − 2 s   s = −2

F (s ) =

2 1 1 = − s (s + 2 ) s s + 2

1  1 −1  1  −1  1  −2 t = − = L L − e 1 f (t ) = L −1 [F (s )] = L −1  −  s   s + 2   s s + 2 

• Polos Múltiples – Si la función a transformar tiene polos múltiples bs bs F (s ) = ( ) = ( s −( p)) r as ( ) fracciones parciales de los – la descomposición en polos múltiples se realizará de la siguiente forma: F (s ) =

C1 C2 Cr b( s ) = + +  + a( s ) (s − p ) (s − p )2 (s − p )r

– Los residuos C1, C2,..., Cr se calculan aplicando la siguiente expresión:

[

 1  d r− k r  r− k F (s )(s − pk ) Cr =   (r − k )!  ds

]

 s = pk

Y, por lo tanto, la transformada inversa de Laplace se obtiene de la siguiente forma:

r

Ck k −1 pt t e = k =1 (k − 1)!

f (t ) = L [F ( s)] = ∑ −1

= C1e pt + C2te pt +

C3 2 pt C r r −1 p nt t e ++ t e 2 (r − 1)!

Ejercicio • Obtener la transformada inversa de Laplace de la siguiente función compleja:

1 F (s ) = 3 s + 4 s 2 + 4s

• Método de igualación – Si la función a transformar posee polos complejos

p = σ ± jω

F (s ) =

b (s ) b(s ) b(s ) b(s ) = 2 = 2 = a (s ) s + bs + c s − 2σ s + σ 2 + ω 2 (s − p ) s − p *

(

)

– la descomposición en fracciones parciales se realizará de la siguiente forma: F (s ) =

b (s ) As + B C1 (s − σ ) C2ω = = + a (s ) (s − p ) s − p * (s − σ ) 2 + ω 2 ( s − σ ) 2 + ω 2

(

)

– Los coeficientes A y B y los residuos C1 y C2 se obtienen por igualación:

b( s) = As + B = C1( s − σ ) + C2ω

Y, por lo tanto, la transformada inversa de Laplace se obtiene de la siguiente forma:  C1 (s − σ ) f (t ) = L−1[F (s )] = L −1  2 s ( ) σ − + ω2 

  C2ω −1  L +  2  2 s ( ) σ ω − +   

f (t ) = eσt C1 cos ωt + eσt C2 sin ωt = eσt (C1 cos ωt + C2 sin ωt )

Ejercicio • Obtener la transformada inversa de Laplace de la siguiente función compleja, utilizando el método de igualación: 1 F (s ) = 3 s + 2s 2 + 2s

Solución Los polos de la función F(s) son: s = {0,−1 + j ,−1 − j } por lo que la descomposición en fracciones parciales de F(s) queda como sigue: F (s ) =

C As + B 1 1 = = + s 3 + 2 s 2 + 2 s s s 2 + 2s + 2 s s 2 + 2s + 2

(

)

Reduciendo la ecuación se obtiene: C (s 2 + 2s + 2 )+ s (As + B ) ( A + C )s 2 + (2C + B )s + 2 C F (s ) = = 2 ( ) s s + 2s + 2 s(s 2 + 2 s + 2)

Los residuos se obtienen igualando los polinomios del numerador en ambos miembros de la igualdad: A+ C = 0

→

2C + B = 0

→

2C = 1

→

1 2 B = −1 1 C= 2 A= −

Luego: s +1 C As + B 1 2 −1 2s −1 1 2 = + 2 = F (s ) = + 2 − = s s + 2s + 2 s s + 2 s + 2 2s (s + 1)2 + 1

s 1 + 1 1 C1 s +σ + C 2ω 2 )2 F ( s) = − = − ( = 2 2 s (s + 1) + 1 2 s + + s ( 1) 1

Haciendo la igualación de los numeradores según el método:

b(s ) = As + B = C1 (s − σ ) + C2ω

para

s = {0, − 1 ± j ⋅1}

s + 1 = C1(s + 1) + C 2 2 s 1 1 1 1 + 1 = (s + 2 ) = (s +1 + 1) = (s + 1) + = C1 (s + 1) + C 2 2 2 2 2 2

 C1 = 1 = C2 = 1

2 1 C1 (s + 1) + C2 1 1 (s + 1) 1 1 − − = − =  2s 2 (s + 1)2 + 1 2 (s + 1)2 + 1 2 2 s ( s +1)2 +1

Por lo tanto, la transformada inversa de la función será:  1 1 (s + 1)  1 1 − f (t ) = L−1 [F (s )] = L −1  −  2 2  2 s 2 ( s + 1) + 1 2 ( s + 1) + 1

=

 1 −1  1  1 −1  s + 1  1 −1  1 L  − L  L −    2  s  2  (s + 1)2 + 1 2  (s + 1)2 + 1

1 1 −t 1 − e cos t − e −t sin t = 2 2 2 1 1 = − e − t (cos t + sin t ) 2 2 =

• Método de la función Gamma: – Se puede utilizar el método de la función Gamma para obtener los coeficientes de las senoidales de la función en el tiempo de forma directa si la función a transformar posee polos complejos p = σ ± jω F (s ) =

b(s ) b(s ) b(s ) b(s ) = 2 = 2 = a (s ) s + bs + c s − 2σs + σ 2 + ω 2 ( s − p) s − p*

(

)

(s − p )(s − p * ) = (s − σ − j ω )(s − σ + j ω ) = (s − σ )2 − ( j ω )2 = s 2 + σ 2 − 2s σ + ω 2

– En este caso la descomposición en fracciones parciales se realizará de la siguiente forma:

F (s ) =

b (s ) Γr (s − σ ) − Γiω = a (s ) (s − p ) s − p*

(

)

• Se define la función Gamma:

s 2 − 2σs + σ 2 + ω 2 s − p )(s − p * ) ( Γ( s ) = F ( s ) = F ( s) jω jω • Y los coeficientes Γ r y Γi se obtienen evaluando la función Gamma en el polo positivo p = σ + jω

Γ (σ + jω ) = Γr + jΓi • La transformada inversa de Laplace se obtiene de la siguiente forma f (t ) = L −1 [F (s )] = e σ t [Γr cos ω t − Γi sen ω t ]

Ejercicio • Obtener la transformada inversa de Laplace de la siguiente función compleja, utilizando el método de la función Gamma: 1 F (s ) = 3 s + 2s 2 + 2s

Solución F (s ) =

1 1 C Γr (s − σ ) − Γjω = = + s3 + 2 s2 + 2 s s s2 + 2 s + 2 s ( s − σ )2 + ω 2

(

Como los polos son:

)

s = {0, − 1 ± j ⋅1} σ

ω

C Γr (s + 1) − Γ j Sustituyendo: F ( s ) = + s (s +1)2 +1

Definimos la función

Γ(s )

( s − p)(s − p * ) Γ( s) = F ( s) = jω

s 2 + 2s + 2 1 1 = 2 j js s (s + 2s + 2)

j +1 1 1 1 1 1 1 1  Γ (− 1 + j ) =   = = = =− − =− + j 2 2j 2 2  js  s = −1+ j j(− 1 + j ) j( j − 1) j ( −1 − 1) Γr Γi

F (s ) =

1 1 s +1 1 1 − − 2s 2 (s + 1)2 + 1 2 (s + 1)2 + 1

1 1  f (t ) = L−1 [F (s )] = L−1   − eσt (Γr cos ωt − Γj sin ωt ) 2 s f (t ) =

1 1 1  1 1 − e −t  cos t − sin t  = − e −t (cos t − sin t ) 2 2 2  2 2...