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Método de transformada inversa

El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido como método de la inversa de la transformada, es un método para la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución. Este método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad. El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que, aunque menos general, es más eficiente desde el punto de vista computacional. El método se utiliza para simular valores de las distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull. El método consiste en: 

Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.

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Calcular la función acumulada f(x).

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Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x) -1

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Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pseudoaleatorios en la función acumulada inversa.

El problema que resuelve el método de la transformada inversa es el siguiente: 

Sea X una variable aleatoria cuya distribución puede ser descrita por la función de distribucion F.



Se desea generar valores de X que están distribuidos según dicha distribución.

Numerosos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudoaleatorios que se encuentran distribuidos de acuerdo con una distribución uniforme standard. Si una variable aleatoria posee ese tipo de distribución, entonces la probabilidad de que el número caiga dentro de cualquier subintervalo (a, b) del intervalo entre 0 a 1 es la longitud del subintervalo, o sea b − a. El método de la transformada inversa funciona de la siguiente manera: 1. Se genera un número aleatorio a partir de la distribución uniforme standard; se lo llama u. 2. Se calcula el valor x tal que

; y se lo llama xelegido.

3. Se toma xelegido como el número aleatorio extraído de la distribución caracterizada por F. 

Método de transformada convolución

La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales. El método de convolución es entonces la suma de dos o más variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales.

El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de K variables aleatorias: X= b1x1+b2x2+…bkxk En este método se necesita generar k números aleatorios (u1, u2,…, uk) para generar (x1, x2,…xk) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución. Ejemplos de aplicación de esta técnica: 

Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.

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Una variable Binomial de parámetros n y p es la suma de n variable Bernoulli con probabilidad de éxito p.

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La chi-cuadrado con v grados de libertad es la suma de cuadrados de v normales N (0,1).

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La suma de un gran número de variables de determinada distribución tiene una distribución normal. Este hecho es usado para generar variables normales a partir de la suma de números U (0,1) adecuados.

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Una variable Pascal es la suma de m geométricas.

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La suma de dos uniformes tiene una densidad triangular.

Este método permite la interacción de variables aleatorias para realizar un tipo de distribución. En el caso de la distribución uniforme la fórmula a utilizar sería la siguiente: U(a, b) = a + (b-a) Aleatorio ()...