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Robótica “Cinemática Inversa” INGENIERÍA MECATRÓNICA

ALUMNO: ESCAMILLA LOSOYO JOSÉ DE JESÚS Grupo: 12:15 pm – 1:55 pm

PROFESOR: ING. CASILLAS ARAIZA MIGUEL ANGEL

FECHA DE ELABORACIÓN: 25/10/2020 FECHA DE ENTREGA: 26/10/2020 PERIODO:

AGOSTO - DICIEMBRE 2020

CALIFICACIÓN: _____________

8138

Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 2 Cinemática inversa .............................................................................................................................. 3 Cinemática Inversa por Métodos Geométricos .................................................................................. 3 Ejemplo de cinemática Inversa por Métodos Geométricos ............................................................ 4 Cinemática Inversa a partir de la matriz de transformación homogénea .......................................... 6 Ejemplo de cinemática Inversa por matriz de transformación homogénea ................................... 6 Desacoplo cinemático ....................................................................................................................... 12 Conclusiones ..................................................................................................................................... 16 Conclusiones personales ............................................................................................................... 16 Conclusiones técnicas ................................................................................................................... 16 Referencias ........................................................................................................................................ 17

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Introducción Un manipulador mecánico, se puede modelar como una cadena articulada en lazo abierto con unos elementos conectados en serie por una articulación de revolución o prismática movida por actuadores. El movimiento relativo en las articulaciones resulta en el movimiento de los elementos que posicionan la mano en una orientación deseada. En la mayoría de las aplicaciones de robótica, se está interesado en la descripción espacial del efector final del manipulador con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fija, para lo cual necesariamente se debe resolver el problema de la cinemática directa y la cinemática inversa. Para un manipulador determinado, la cinemática directa consiste en hallar la orientación y posición del efecto final a partir del vector de ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos del elemento. En (Denavit & Hartenberg , 1955) “se propone un método matricial para resolver en forma sistemática y generalizada este problema ”. La cinemática inversa consiste en hallar el vector de ángulos de las articulaciones a partir de la orientación y posición del efector final, el cual es un problema de difícil solución debido a que incluye ecuaciones no lineales y múltiples soluciones. Menciona (Giraldo, Delgado, & Castellanos, 2006) “En la literatura este problema ha sido abordado de muchas formas planteándose diversos métodos para resolverlo”. Enfatizan (Ramírez Arias & Rubiano Fonseca, 2013) “Los robots manipuladores se caracterizan por tener limitaciones de diseño relacionado con la estabilidad y la distribución de equilibrio y peso”. Como consecuencia de ello se afecta la precisión en el posicionamiento y seguimiento de las trayectorias del manipulador. Es importante destacar que generalmente el análisis de la cinemática se aborda de forma directa para así calcular la posición del punto final del robot como función de los valores articulares (ángulos) y de forma inversa para calcular el valor de las coordenadas articulares como función de la posición final; este procedimiento es importante, ya que permite posicionar el robot en un punto dentro de su volumen de trabajo.

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Cinemática inversa La cinemática inversa de un manipulador es un término usado para denotar el cálculo de los valores articulares (ángulos de las juntas) del manipulador, necesario para posicionar un punto en el espacio referenciado al sistema de coordenadas global del manipulador. Para este caso, se calcularon los valores de 𝜃1, 𝜃2 y 𝜃3 basado en el punto 𝑃𝑥 , 𝑃𝑦 y 𝑃𝑧 . Existen diferentes formas de abordar el problema de la cinemática inversa, particularmente se propone un conjunto de ecuaciones cerradas que, a través de relaciones matemáticas, determinan los puntos adecuados para hacer que el robot haga el seguimiento de trayectoria, proporcionando así una solución en tiempo real. 𝜃𝑘 = 𝑓𝑘 (𝑃𝑥 , 𝑃𝑦 , 𝑃𝑧 ) 𝑘 = 1. . . 𝑛(𝐷𝑂𝐹)

Este tipo de solución presenta, entre otras, las siguientes ventajas: En muchas aplicaciones, el problema cinemático inverso ha de resolverse en tiempo real (por ejemplo, en el seguimiento de una determinada trayectoria). Una solución de tipo iterativo no garantiza tener la solución en el momento adecuado. Al contrario de lo que ocurría en el problema cinemático directo, con cierta frecuencia la solución del problema cinemático inverso no es única; existiendo diferentes n-uplas [𝑞1 , . . . , 𝑞𝑛 ]𝑇 que posicionan y orientan el extremo del robot del mismo modo. En estos casos una solución cerrada permite incluir determinadas reglas o restricciones que aseguren que la solución obtenida sea la más adecuada de entre las posibles (por ejemplo, límites en los recorridos articulares). Señala (Barrientos Cruz, 2007) “La mayor parte de los robots poseen cinemáticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolución de su problema cinemático inverso ”. Por ejemplo, si se consideran sólo los tres primeros grados de libertad de muchos robots, éstos tienen una estructura planar, esto es, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano. Esta circunstancia facilita la resolución del problema. Asimismo, en muchos robots se da la circunstancia de que los tres grados de libertad últimos, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, corresponden a giros sobre ejes que se cortan en un punto. De nuevo esta situación facilita el cálculo de la n-upla [𝑞1 , . . . , 𝑞𝑛 ]𝑇 correspondiente a la posición y orientación deseadas.

Cinemática Inversa por Métodos Geométricos Como se ha indicado anteriormente, este procedimiento es adecuado para robots con pocos grados de libertad o en caso de que se consideren sólo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el extremo del robot. El procedimiento en si se basa en encontrar un número suficiente de relaciones geométricas, en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares, y las dimensiones físicas de sus elementos. 3

Imagen 1 Robot articular. (Barrientos Cruz, 2007).

Ejemplo de cinemática Inversa por Métodos Geométricos Para mostrar el procedimiento a seguir se va a aplicar el método a la resolución del problema cinemático inverso de un robot con 3 GDL de rotación (estructura típica articular). La (Imagen 1) muestra la configuración del robot. Los datos de partida son las coordenadas (𝑃𝑥 , 𝑃𝑦 y 𝑃𝑧 ) referidas a {𝑆0 } en las que se quiere posicionar su extremo. Como se ve, este robot posee una estructura planar, quedando este plano definido por el ángulo de la primera variable articular 𝑞1 .

El valor de 𝑞1 se obtiene inmediatamente como:

𝑃𝑦 𝑞1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) 𝑃𝑥

Considerando ahora únicamente los elementos 2 y 3 que están situados en un plano (Imagen 2), y utilizando el teorema del coseno, se tendrá: 𝑟 2 = 𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦2 } => 𝑟 2 + 𝑝𝑧2 = 𝑙22 + 𝑙32 + 2𝑙2 𝑙3 cos 𝑞3 cos 𝑞3 =

𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦2 +𝑝𝑧2 − 𝑙22 − 𝑙2→ 2𝑙2 𝑙3

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Esta expresión permite obtener 𝑞3 en función del vector de posición del extremo p. No obstante, y por motivos de ventajas computacionales, es más conveniente utilizar la expresión de la arcotangente en lugar del arcoseno. Puesto que 4

Se tendrá que:

Con

Como se ve, existen 2 posibles soluciones para 𝑞3 según se tome el signo positivo o el signo negativo en la raíz. Éstas corresponden a las configuraciones de codo arriba (Imagen 2a) y codo abajo (Imagen 2b) del robot. El cálculo de 𝑞2 se hace a partir de la diferencia entre 𝛽 y 𝛼:

Imagen 2 Elementos 2 y 3 del robot de la Figura 4.9 contenidos en un plano y en a) configuración codo abajo y b) configuración codo arriba. (Barrientos Cruz, 2007).

Siendo:

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Finalmente:

De nuevo los dos posibles valores según la elección del signo dan lugar a dos valores diferentes de 𝑞2 correspondientes a las configuraciones codo arriba y abajo.

Las Expresiones anteriores resuelven el problema cinemático inverso para el robot de 3 𝐺𝐷𝐿 considerado.

Cinemática Inversa a partir de la matriz de transformación homogénea Destaca (Barrientos Cruz, 2007) “En principio es posible tratar de obtener el modelo cinemático inverso de un robot partir del conocimiento de su modelo directo”. Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, obtener por manipulación de aquéllas las relaciones inversas. Sin embargo, en la práctica esta tarea no es trivial siendo en muchas ocasiones tan compleja que obliga a desecharla. Además, puesto que el problema cinemático directo, resuelto a través de la expresión:

Contiene en el caso de un robot de 6 𝐺𝐷𝐿 12 ecuaciones, y se buscan sólo 6 relaciones (una por cada grado de libertad), existirán necesariamente ciertas dependencias entre las 12 expresiones de partida (resultado de la condición de ortonormalidad de los vectores n, o y a) con lo cual la elección de qué ecuaciones debe hacerse con sumo cuidado.

Ejemplo de cinemática Inversa por matriz de transformación homogénea Se va a aplicar este procedimiento al robot de 3 𝐺𝐷𝐿 de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento) mostrado en la (Imagen 3). El robot queda siempre contenido en un plano determinado por el ángulo 𝑞1 . 6

El primer paso para resolver el problema cinemático inverso es obtener la expresión anterior correspondiente a este robot. Es decir, obtener la matriz T que relaciona el sistema de referencia {𝑆0 } asociado a la base con el sistema de referencia {𝑆3 } asociado a su extremo. La (Imagen 4) representa la asignación de sistemas de referencia según los criterios de Denavit- Hartenberg , con el robot situado en su posición de partida (𝑞1 = 𝑞2 = 0), y la Tabla 4.3 muestra los valores de los parámetros de Denavit-Hartenberg.

Imagen 3 Robot polar de 3 GDL. (Barrientos Cruz, 2007).

A partir de éstos es inmediato obtener las matrices A y la matriz T.

Obtenida la expresión de T en función de las coordenadas articulares (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ), y supuesta una localización de destino para el extremo del robot definida por los vectores n, o, a y p se podría intentar manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T a fin de despejar 𝑞1 , 𝑞2 , y 𝑞3 en función de n, o, a y p.

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Tabla 1Parámetros de D-H del robot de la (Imagen 3). (Barrientos Cruz, 2007).

𝜽 𝑞1 𝑞2 0

Articulación 1 2 3

d 𝑙1 0 𝑞3

a 0 0 0

𝜶 90 -90 0

Sin embargo, este procedimiento directo es complicado, apareciendo ecuaciones trascendentes. En lugar de ello, suele ser más adecuado aplicar el siguiente procedimiento:

Imagen 4 Asignación de sistemas de referencia del robot polar de la (Imagen 3). (Barrientos Cruz, 2007).

Puesto que 𝑻 =

0

1 2 𝑨1 𝑨2 𝑨3 se tendrá que:

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Puesto que es conocida, los miembros a la izquierda en las expresiones anteriores son función de las variables articulares (𝑞1 , . . . , 𝑞𝑘 ) mientras que los miembros de la derecha lo son de las variables articulares (𝑞𝑘+1 , . . . , 𝑞𝑛 ).

De este modo, de la primera de las penúltimas expresiones tendrán 𝑞1 aislado del resto de las variables articulares y tal vez será posible obtener su valor sin la complejidad que se tendría abordando directamente la manipulación de la T. A su vez, una vez obtenida 𝑞1 , la segunda de la penúltima expresión permitirá obtener el valor de 𝑞2 aislado respecto de 𝑞3 . Por último, conocidos 𝑞1 y 𝑞2 se podrá obtener 𝑞3 de la Expresión T sin excesiva dificultad.}

Para poder aplicar este procedimiento, es necesario, en primer lugar, obtener las inversas de las matrices, 𝑖−1𝑨𝑖 . Esto es sencillo si se considera que la inversa de una matriz de transformación homogénea viene dada por:

Luego se tiene que:

Por tanto: 9

De las 12 relaciones establecidas anteriormente interesan aquellas que expresan 𝑞1 en función de constantes ( y no de 𝑞2 y 𝑞3 ). Así, por ejemplo, tomando el elemento (3,4) se tiene:

Utilizando ahora la segunda de las ecuaciones se tendrá:

Tomando el elemento (1,4) se tiene:

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Y considerando que:

Se tiene finalmente:

Por último, tomando el elemento (3,4) se tiene:

Las Expresiones anteriores corresponden a la solución del problema cinemático inverso del robot considerado. A continuación, se reproducen estas expresiones.

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Resalta (Barrientos Cruz, 2007) “A los mismos resultados se podría haber llegado mediante consideraciones geométricas”. Es decir que ambos métodos son satisfactorios y ya dependerá de las condiciones usar uno u otro.

Desacoplo cinemático Los procedimientos vistos en los apartados anteriores permiten obtener los valores de las 3 primeras variables articulares del robot, aquellas que posicionan su extremo en unas coordenadas (𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ) determinadas, aunque pueden ser igualmente utilizadas para la obtención de las 6 a cambio de una mayor complejidad. Menciona (Barrientos Cruz, 2007) “En general no basta con posicionar el extremo del robot en un punto del espacio, sino que casi siempre es preciso también conseguir que la herramienta que aquél porta se oriente de una manera determinada”. Para ello, los robots cuentan con otros tres grados de libertad, situados al final de la cadena cinemática y cuyos ejes, con frecuencia, se cortan en un punto, que informalmente se denominará muñeca del robot. Si bien la variación de estos tres últimos grados de libertad origina un cambio en la posición final del extremo real del robot, su verdadero objetivo es poder orientar la herramienta del robot libremente en el espacio. El método de desacoplo cinemático es aplicable a aquellos robots cuyos tres últimos grados de libertad se cortan en un punto, sacando partido de este hecho, separando los problemas de obtención del modelo cinemático inverso de posición y orientación. Para ello, dada una posición y orientación final deseadas, establece las coordenadas del punto de corte de los 3 últimos ejes (muñeca del robot) calculándose los valores de las tres primeras variables articulares (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ) que consiguen posicionar este punto. A continuación, a partir de los datos d e orientación deseada para el extremo del robot y de los ya calculados (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ) obtiene los valores del resto de las variables articulares. Tabla 2 Parámetros D-H del robot de la (Imagen 5). (Barrientos Cruz, 2007).

Articulación 1 2 3 4 5 6

𝜽 𝜃1 𝜃2 𝜃3 𝜃4 𝜃5 𝜃6

d 𝑙1 0 0 𝑙3 0 𝑙4

a 0 𝑙2 0 0 0 0

𝜶 -90 0 90 -90 90 0

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Imagen 5 Cinemática del robot IRB2400, cuya inversa se puede desacoplar. (Barrientos Cruz, 2007).

En la (Imagen 5) se representa un robot que reúne la citada característica de tener los tres últimos ejes concurrentes en un punto, con indicación de los sistemas de coordenadas asociados según el procedimiento de Denavit-Hartemberg, cuyos parámetros se pueden observar en la (Tabla 2). El punto central de la muñeca del robot corresponde al punto de corte de los ejes 𝒛3 , 𝒛4 y 𝒛5 siendo el origen de los sistemas {𝑆4 } y {𝑆5 }: 𝑂4 y 𝑂5 respectivamente. Como se puede observar, el movimiento de los grados de libertad 4, 5 y 6 no modifica la posición de este punto dependiendo sólo de los 3 primeros, por lo que, fijada su posición se podrán determinar, 𝑞1 , 𝑞2 y 𝑞3 .

Por su parte, el punto final del robot será el origen del sistema {𝑆6 }: 𝑂6 . En lo que sigue se utilizarán los vectores muñeca (𝒑𝑚 ) y extremo del robot (𝒑𝑟 ):

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que van desde el origen del sistema asociado a la base del robot {𝑆0 }: hasta los puntos centro de la muñeca y fin del robot, respectivamente. Puesto que de acuerdo con la regla 𝐷𝐻9, la dirección del eje 𝑧6 debe coincidir con la de 𝑧5 y la distancia entre 𝑂5 y 𝑂6 medida a lo largo de 𝑧5 es precisamente 𝑑4 = 𝑙4 , se tendrá que:

estando todos los vectores referidos a las coordenadas del sistema {S0}. En la expresión anterior 𝒑𝑟 son las coordenadas del punto donde se pretende que se posicione el robot expresadas en {𝑆0 }. Por tanto:

El vector director z6 es el vector a correspondiente a la orientación deseada 𝑧6 = [𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ]𝑇 y 𝑙4 es un parámetro asociado con el robot. Por tanto, las coordenadas del punto central de la muñeca (𝒑𝑚𝑥 , 𝒑𝑚𝑦 , 𝒑𝑚𝑧 ) son fácilmente obtenibles.

Los eslabones 1, 2 𝑦 3, que finalizan en pm contituyen un robot de 3 𝐺𝐷𝐿 equivalente al analizado. Queda ahora obtener los valores de 𝑞4 , 𝑞5 , y 𝑞6 que consiguen la orientación deseada. Para ello, denominando 0 𝑹6a la submatriz de rotación de 0𝑻6 se tendrá:

donde 0 𝑹6 es conocida por ser la orientación deseada del extremo del robot, y 0𝑹3 definida por:

donde 𝑖−1𝑹𝑖 es la submatriz de rotación de la matriz los valores ya obtenidos de 𝑞1 , 𝑞2 y 𝑞3 . Por tanto:

donde son:

𝑖−1

𝑖−1

𝑨𝑖 que también será conocida a partir de

𝑹𝑖 es la submatriz de rotación de la matriz de Denavit-Hartemberg 𝑖−1 𝑨𝑖 , cuyos valores

Luego se tiene que:

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Por tanto, puede escribirse como:

Donde 𝑟𝑖𝑗 serán valores numéricos conocidos.

De las nueve relaciones expresadas se pueden tomar las correspondientes a 𝑟13 , 𝑟23, 𝑟33 , 𝑟31 y 𝑟32 :

De las tres ecuaciones anteriores es inmediato obtener los valores de los parámetros articulares (se recomienda convertir todas las funciones trigonométricas inversas en su arcotangente, por ser ésta computacionalmente más robusta):

Esta expresión, junto con las anteriores y teniendo en cuenta que las posiciones de cero son distintas, constituyen la solución completa del problema cinemático inverso del robot articular de la (Imagen 5).

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Conclusiones Conclusiones personales En general, el modelo matemático propuesto es viable, ya que puede ser programado y, por tanto, puede ser automatizado; aun así, el análisis numérico es una alternativa importante en la solución de los sistemas cuyo modelo matemático parece ser muy complejo.

Conclusiones técnicas El algoritmo es efectivo y eficiente al hallar la cinemática de un brazo robot, a pesar de que el espacio de búsqueda sea bastante amplio. Pueden existir otros algoritmos para problemas de la cinemática inversa de un brazo robot, pero son complejos de desarrollar, y es por esto por lo que, o sólo quedan aplicables a casos específicos, o si encuentran la solución es en un tiempo muy prolongado, es por eso por lo que el algoritmo de Denavit Hartenberg es muy utilizado.

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Referencias Barrientos Cruz, A. (2007). Fundamentos de robtica (Segunda ed.). Madrid: McGrawHill/Interamericana. Obtenido de https://www.academia.edu/10479201/Fundamentos_de_robotica Denavit, J., & Hartenberg , R. (1955). A kinematic notation for lower-pair mechanisms on matrices. ASME Journal of Applied Mechanics., 215–221. Recuperado el 12 de Octubre de 2020, de https://www.redalyc.org/pdf/1331/133114991005.pdf Giraldo, L. F., Delgado, E., & Castellanos, G. (Junio...