Interpolação Inversa PDF

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Interpolação Inversa...

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1 FP4-Ex 7) Aproxime a raiz da equação      utilizando convenientemente interpolação inversa com os seguintes valores, tabelados aproximadamente. 





0.4 0.670320

0.5 0.606531

0.6 0.548812

Interpolação inversa: Em vez de aproximar  󰇛󰇜, o objectivo da interpolação inversa é aproximar a função inversa     pelo polinómio interpolador  󰇛󰇜. Para resolve-lo é necessário que a função  seja invertível no intervalo a considerar, ou seja que a função  tenha uma única função inversa, se   󰇛󰇜, e  é invertível então ∃    :  󰇛󰇜. Para determinar os coeficientes do polinómio interpolador  󰇛󰇜 , basta apenas trocar as colunas de  e   󰇛󰇜 do suporte de interpolação e construir a tabela das diferenças divididas. Uma vez determinado o polinómio interpolador   󰇛󰇜, este pode ser utilizado para aproximar um valor  tal que    󰇛 󰇜,

    󰇛 󰇜  󰇛 󰇜   󰇛 󰇜

Vamos aproximar a raiz α da equação 󰇛󰇜       no intervalo    󰇟0.4, 0.6󰇠 utilizando interpolação inversa.

Observe pelo gráfico que realmente existe um único zero de f em [0.4, 0.6]

Gladys Castillo Jordán Última actualização: 20-10-2010

2 O valor dado é então,   0, e o problema consiste em aproximar o valor de α - o zero da função  - utilizando o polinómio interpolador  󰇛󰇜 que aproxima a função inversa1 󰇛󰇜   󰇛󰇜

α  󰇛󰇜  󰇛󰇜   󰇛󰇜

Para construir o polinómio interpolador  󰇛󰇜 precisamos de calcular os valores nodais  para 󰇛󰇜     

   

0.4 0.670320

0.5 0.606531

0.6 0.548812

0.27032

0.106531

-0.051188

Com base no suporte de interpolação, podemos agora calcular a tabela das diferenças divididas trocando as colunas de  e   󰇛󰇜. 

  󰇛 󰇜

0.27032

0.4

0.106531

0.5

󰇟 . , . ]

󰇟 . , . , . ]

- 0.610542 0.073085 - 0.634039 -0.051188

0.6

O polinómio interpolador de Newton de grau ≤ 2 que aproxima a função inversa de

, 󰇛󰇜    󰇛󰇜 é  󰇛󰇜  .   . 󰇛  0.27032󰇜   . 󰇛  0.27032󰇜󰇛  0.106531󰇜  Substituindo por y=0, obtém-se o valor aproximado da raiz da equação dada,

α  1 󰇛0󰇜  󰇛0󰇜   󰇛0󰇜  0.56714627033177 Tomando como valor exacto, o valor obtido com a função fzero do MatLab

α=0.567143290409784  󰇛0󰇜=0.56714627033177 com erro absoluto |α -  󰇛0󰇜| ≈ 0.2979922 x 10-5 ≤ 0.5 x 10-5 A aproximação de α encontrada por interpolação inversa tem pelo menos 5 casas decimais correctas .

A função 󰇛󰇜     é estritamente decrescente em I=[0.4, 0.6] pelo que é biunívoca e possui inversa. 1

Gladys Castillo Jordán Última actualização: 20-10-2010...