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Unidad 2. Transformada z La transformada es una transformacion que asocia a una sucesion de numeros analítica definida por una serie de Laurent ∞

Z [ { x k } ] ( z ) =∑ k=0

Donde

Z [ {x k }] , de la siguiente forma

xk zk

z pertenece a un dominio (anillo).

Ejemplo. La transformada de la sucesión

x k =1, k =0,1, …

{1,1,1,1,1,1,1 , …} Solución ∞

Z [ x k ] ( z )=∑ k=0

∞

||

()

k 1 1 1 1 para 1 z−1 x k =a k , k =0,1,2 , … , entonces z ,|z|>¿ a∨¿ z−a

Ejemplo. Determine la transformada z de

{0,0,0,20 , 21 , 22 ,23 , … } Solcuion. Aplique la definición ∞

Z [ x k ] ( z )= X ( z )=∑

k=0

xk z

= k

0 0 0 2 0 21 + + + + 4 +⋯ z 0 z 1 z2 z3 z

¿

20 21 + 4 +⋯ z3 z

¿

0 1 2 21 22 1 1 z k , |z|>2 + 1 + 2 +⋯ = 3 Z [ 2 ] (z ) = 3 3 0 z z z z z z z−2

Luego

[

]

{ x k }k=0 ∞

una funcion

X ( z) =

1 ,|z|> 2 z (z −2) 2

Ejemplo. Calcular la transformada

z de la sucesión

3 4 5 6 {x k }={ 2 ,2 , 2 , 2 , ⋯}

Solucion Por definición

X ( z) =

[

¿ z3

[

5 4 23 24 25 z 3 23 2 2 + + +⋯= + + +⋯ 1 0 z3 z z z2 z0 z1 z2

20 21 22 23 20 21 22 − − +⋯− + + + 3 z0 z1 z2 z0 z1 z2 z

[

]

]

]

4

2 4 z 3 z 3 2 3 2 ¿ z Z [ 2 k ]( z )−1− − 2 =z3 −z −2 z −4 z= −z −2 z −4 z z z z −2 z−2 Por tanto

X ( z)=

z4 −z 3−2 z2 −4 z ,|z|>2 z−2

Caso general, suponga que usted tiene x k

y que X (z )

es su transformada

Ahí decide construir otra sucesión a parte de x ¿ k

y k =x k +1 Tenemos

Y ( z )=

) [

(

]

x 1 x 2 x3 x0 x 1 x2 x 3 + 1 + 2 +⋯=z + 2 + 3 + ⋯ =z X (z ) − 0 =zX ( z ) −z x 0 0 z z z z z z z

Z [ x k+1 ]=zX ( z )−z x 0 Propiedad de avance En el caso de

y k = x k +2 , su transformada

(

2 Z [ x k+2 ] ( z )=z X ( z )−x 0−

)

x1 =z 2 X (z )− z 2 x 0 − z x 1 z

Es decir 2 2 Z [ x k+2 ] ( z )=z X ( z )− z x 0 − z x1

De forma análoga 3 3 2 Z [ x k+3 ] ( z )=z X ( z )− z x 0− z x 1−z x 2

z

La sucesión escalón se define como

H k ={1,1,1,1, ⋯ } {H k−1 }={0,1,1,1 , … }

{H k−3 }={0,0,0,1,1,1,1 ,⋯ } Usando esta sucesión podemos construir otro tipo sucesiones combinados con una sucesión x ¿ k

y k =x k− j H k− j={0,0,0 ,⋯ , x 0 , x 1 , x 2 , ⋯} Entonces

Z [ x k− j H k− j ]=

1 Z [ x k ] Propiedad de retraso j z

Ejemplo. Se tiene

Z [3

k− 4

H k−4 ] ( z) =

1 1 [ k] 1 z Z 3 (z )= 4 = 3 4 z −3 z z ( z −3) z

2 Z [ 3k +2] ( z )=z Z [3 k ] ( z) −z 2 30−z 31=z 2

z 2 −z −3 z , |z|>3 z−3

Propiedad de la derivada 0 a1 a2 a3 z || , z >¿ a∨¿ Z [ ak ] ( z )= a0 + + 2 + 3 +⋯= z−a z z z z

Derivadando respecto a la variable

a

z 0 1 2a 3 a2 4 a3 ,|z|>¿ a∨¿ + + 2 + 3 + 4 +⋯= 0 z ( z−a )2 z z z z De donde

Z [k a

k−1

]( z)=

z 2 ( z−a)

En particular

Z [ k ]( z ) =

z 2 ( z−1 )

Como puedo hallar

Z [ k 2 ] , podemos multiplicar

Z [ k a ]( z ) = k

az ( z−a )2

Derive nuevamente 2 k−1 Z [ k a ] ( z )=

az d z 2−az +2 az z 2 +az z 2az = = = + 3 3 da ( z−a )2 ( z−a ) 2 ( z−a)3 ( z−a ) ( z−a)

Luego, tomando a ¿ 1

Z [ k 2] ( z )=

2

z +z 3 ( z −1)

Ejercicio. Determine la transformada z de k

2

3

4

y k =2 H k−2={0,0,2 , 2 , 2 } Solución 2 k−2 k−2 Y ( z )=Z [2 2 H k−2 ] ( z ) =4 Z [ 2 H k −2] ( z ) =4

1 4 z k 4 ,|z|>2. Z [ 2 ] ( z) = 2 = 2 z z−2 z (z−2) z

En general Los problemas se pueden resolver utilizando métodos de transformadas Por la transformada de Laplace

y ' + 2 y =e−x , y ( 0 )=1 1 sY −1+2 Y = s +1 Por la transformada z

y k+1 +2 y k = (−1 )k , y 0=1 zY −z +2 Y =

z z +1...