Transformada z resueltos PDF

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Resueltos sobre transformada Z...

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3) La entrada 𝑥[𝑛] y la salida 𝑦[𝑛] de un sistema LTI causal están relacionadas a través de la representación en diagrama de bloques mostrada en la figura siguiente:

x[n ]

y[n ]

z −1 2 3

−6

z −1 −

1 9

8

a) Determine una ecuación de diferencias que relacione 𝑦[𝑛] con 𝑥[𝑛]. b) ¿El sistema es estable? c) Determine 𝑦[𝑛] para 𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛]. En este caso, al haber más de un sumador tomamos una variable auxiliar 𝑣[𝑛] tal como se muestra en el diagrama:

Adoptada dicha variable, nos ubicamos a la salida del sumador A y obtenemos: 2

1

𝑣[𝑛] = 𝑥[𝑛] + 3 𝑣[𝑛 − 1] − 9 𝑣[𝑛 − 2]

(1)

Ahora analizamos lo que sucede a la salida del sumador B: 𝑦[𝑛] = 𝑣[𝑛] − 6𝑣[𝑛 − 1] + 8𝑣[𝑛 − 2]

(2)

Operando en (1) nos queda: 2

1

𝑥[𝑛] = 𝑣[𝑛] − 3 𝑣[𝑛 − 1] + 𝑣[𝑛 − 2] 9

Hallamos la transformada z de (2) y (3): 𝑌(𝑧) = 𝑉[𝑧] − 6 𝑉 (𝑍)𝑧 −1 + 8 𝑉 (𝑧)𝑧 −2 2

1

𝑋(𝑧) = 𝑉[𝑧] − 3 𝑉(𝑧)𝑧 −1 + 𝑉(𝑧)𝑧 −2 9

(3)

Sacando factor común 𝑉(𝑧) en ambas ecuaciones y haciendo la relación entre 𝑌(𝑧) y 𝑋(𝑧) obtenemos 𝐻(𝑧) 𝐻(𝑧) =

𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)

𝑉(𝑧)(1 − 6𝑧 −1 + 8𝑧 −2 ) (1 −26𝑧 −1 + 1 8𝑧 −2 ) 2 −1 1 −1 = 𝑉(𝑧) (1 − 3 𝑧 + (1 − 3 𝑧 + 𝑧 −2 ) 9 𝑧 −2 ) 9 (1 − 6𝑧 −1 + 8𝑧 −2 ) 𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧) (1 − 2 𝑧 −1 + 1 𝑧 −2 ) 3 9

=

De donde: (1−6𝑧−1 +8𝑧 −2 )

𝑌 (𝑧 ) =

2 3

1

(1− 𝑧 −1 + 9𝑧 −2 )

𝑋(𝑧)

(4)

Para obtener la ecuación que relaciona 𝑦[𝑛] con 𝑥[𝑛] hacemos: 1

2

𝑌(𝑧) (1 −3 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ) = 𝑋(𝑧) (1 − 6𝑧 −1 + 8𝑧 −2 ) 9

Luego por inspección obtenemos 𝑦[𝑛]

1

2

𝑦[𝑛] − 3 𝑦[𝑛 − 1] + 𝑦[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛] − 6𝑥[𝑛 − 1] + 8𝑥[𝑛 − 2] 9

2

1 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] − 6𝑥[𝑛 − 1] + 8𝑥 [𝑛 − 2] + 𝑦[𝑛 − 1] − 𝑦[𝑛 − 2] 3 9

Otra forma de resolver el sistema anterior es transformando la entrada, la salida y la variable auxiliar tal como se muestra en la figura siguiente: 𝑋(𝑧)

A

𝑉(𝑧)

B

𝑌(𝑧)

z −1 2 3

−6

z −1 −

1 9

8

Luego se aplica el mismo método anterior, pero con las transformadas: 1

1

7

1

𝑉(𝑧) = 𝑋[𝑧] −4 𝑉(𝑧)𝑧 −1 + 𝑉(𝑧)𝑧 −2 6

𝑌(𝑧) = 𝑉[𝑧] − 𝑉(𝑍)𝑧 −1 − 𝑉(𝑧)𝑧 −2 2 4

b) Para ver si el sistema es estable hay que verificar que las raíces del denominador (polos) se encuentren dentro del circulo unitario.

𝐻 (𝑧 ) =

(1−6𝑧−1 +8𝑧 −2 )

2 1 (1− 𝑧 −1 + 9𝑧 −2 ) 3

Las raíces del denominador son: 2 2 ± √(2) − 4 3 3 9 1 = = 3 2

𝑝1−2 Tiene un polo doble en

𝑧 = 1/3 Las raíces del numerador son: 𝑐1−2 = Tiene un cero en 𝑧 = 4 y otro en 𝑧 = 2 𝑅𝑂𝐶 >

6 ± √36 − 32 𝑐 =4 ↔{ 1 𝑐2 = 2 2

1

3

2 1.5

Imaginary Part

1 0.5 2

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5 2 Real Part

2.5

3

3.5

4

Dado que los polos están dentro del círculo de radio 1, el sistema es estable. c) Para hallar 𝑦[𝑛] para 𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛].

Para: 𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛], de tablas 𝑋(𝑧) = 1

Reemplazamos el valor de 𝑋(𝑧) en (4).

𝑌(𝑧) = 𝑌 (𝑧 ) =

(1−6𝑧−1 +8𝑧 −2 ) 2 3

1

(1− 𝑧 −1 + 9𝑧 −2 )

=

(1−6𝑧−1 +8𝑧 −2 ) 2 3

1

(1− 𝑧 −1 + 9𝑧 −2 )

(1−6𝑧 −1 +8𝑧 −2 ) 1 3

1

(1− 𝑧 −1 )(1− 3𝑧 −1 )

=

(1−6𝑧 −1 +8𝑧−2 ) 1 (1− 𝑧 −1 ) 3

2

Antes de aplicar fracciones simples debemos hacer una división dado que numerador y denominador tienen el mismo orden. Para facilitar la división multiplicamos y dividimos por 𝑧 2 , con lo cual:

(1−6𝑧 −1 +8𝑧 −2 )

𝑌 (𝑧) =

1

(1−

3

Realizando la división de polinomios nos queda:

𝑌 (𝑧 ) = 1

𝑧 −1 )

16

71

− 𝑧+ + 23 2 91 𝑧 − 𝑧+ 3

=

2

9

2 1 𝑧𝑧22−6𝑧+8 − 𝑧+

9

3

=1+

16

71

− 𝑧+ 9 3 1 3

(1− 𝑧 −1 )

2

Ahora aplicamos el método de fracciones simples para el caso de un polo doble.

𝑌 (𝑧 ) = 1 + Para calcular 𝐵 evaluamos:

−

Con lo cual nos queda: 𝐵 =

55 9

16 3

𝑧+

71 9

71 9 1 2 (𝑧− ) 3 16

−3 𝑧+

en 𝑧 =

=1+

1 (𝑧−3)

+

𝐵

1 2 3

(𝑧− )

1

3

Para calcular 𝐴 evaluamos la derivada con respecto a 𝑧 de: − Con lo cual nos queda: 𝐴 = −

𝐴

16 3

16 𝑧 3

+

71 9

en 𝑧 =

1

3

Reemplazando tenemos: 16 3 1 (𝑧− ) 3

𝑌 (𝑧 ) = 1 +

−

+

55 9 1 2 (𝑧− 3)

=1+

16 3 1 (1− 𝑧 −1 ) 3

− 𝑧 −1

+

55 −2 𝑧 9 2 1 (1− 𝑧 −1 ) 3

Luego de tablas y aplicando la propiedad de desplazamiento obtenemos: 𝑦[𝑛] = 𝛿[𝑛] −

55 16 1 𝑛−1 1 𝑛−2 𝑢[𝑛 − 1] + 𝑢[𝑛 − 2] ( ) (𝑛 − 1) ( ) 3 3 3 9...