Transformada de Laplace (Recuperado) paso a paso resueltos PDF

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ejercicios resueltos paso a paso facil de entender acerca de la transformada de laplace...

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Transformada de Laplace

En cálculo elemental, la derivada y la integral son transformadas, estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo, la función f ( x ) =x 2 se transforma en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación y de integración: d 2 1 3 x =2 x y ∫ x 2 dx= x +c 3 dx Ahora se analizará un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene otras muchas propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales. Transformada integral. Si f ( x , y ) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f respecto a una de las dos variables conduce a una función de la otra variable. Por ejemplo, si se conserva a y como 2

∫2 x y2 dx=3 y 2 .

constante, entonces

De igual modo, una integral definida

1 b

como

∫ K ( s ,t ) f ( t ) dt

transforma una función f

de la variable t en una

a

función F de la variable s . Se tiene un particular interés en una transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [ 0, ∞] . Si f ( t ) se define para t ≥ 0 , entonces la integral impropia ∞

∫ K ( s ,t ) f ( t ) dt

se define como un límite

0 ∞

b

0

0

∫ K ( s ,t ) f ( t ) dt=lim ∫ K ( s ,t ) f ( t ) dt b→0 Si existe el límite, entonces, se dice que la integral existe o es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite existirá sólo para ciertos valores de la variable s . La función K ( s ,t ) se llama kernel o núcleo de la transformada ( − st ). K ( s ,t )=e

Transformada de Laplace. Sea f Entonces se dice que la integral:

una función definida para t ≥ 0 .

∞

−st L { f ( t ) }=∫e f (t ) dt 0

Es la transformada de Laplace de f , siempre y cuando la integral impropia converja. La transformada de Laplace se llama así en honor del matemático y astrónomo francés Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827). Cuando la integral converge, el resultado es una función de s . En el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y una letra mayúscula correspondiente para denotar la transformada de Laplace, por ejemplo: L { f ( t ) }=F ( s ) , L {g (t ) }=G ( s) , L { y (t ) }=Y ( s )

Linealidad de la transformada de Laplace. Si a entonces

y b

son constantes,

L { af (t ) +bg ( t ) } =a L { f ( t ) }+ b L{g (t )} Para todo s tal que la transformada de Laplace de las funciones f existan a la vez. Dos temas importantes que hay que recordar son:  Resolver una integral con dos variables, por ejemplo, resolver 2

∫ xydx 1

 Resolver una integral impropia, por ejemplo, resolver ∞

∫ dx2 1

x

y

g ,

Teoremas sobre límites Sea n un número positivo, k una constante, f y g funciones que tengan límites en c, entonces:

lim k=k x→ c

lim x=c x→ c

lim k f (x )=k lim f (x ) x→ c

x →c

lim [ f (x)+g (x) ]=lim f (x)+lim g (x) x→ c

x→c

x →c

lim [ f (x)−g(x) ]=lim f (x)−lim g( x) x→ c

x→ c

x→ c

lim [ f (x)∙ g (x) ] =lim f (x)∙ lim g(x ) x→ c

x→c

x→c

lim x→ c

lim f ( x ) f ( x ) x→ c siempre que lim g( x)≠ 0 = x→c g( x ) lim g (x) x →c

[

lim [ f (x) ] = lim f ( x) n

x→ c

x→c

Límites cuando x → ∞

lim x→∞

lim x→∞

1 =0 x

c =0 x

c =0 n x→∞ x lim

{

0 sí k0

kx lim x e =0 x→∞

]

n

Límites de funciones trigonométricas

lim sen (t) =1

t→0

t

lim 1−cos (t) t→0

t

=0

lim cos (t)−1 t→0

t

=0

Ejercicio. Encuentre la transformada de Laplace de

f (t)=1

Solución. Ocupamos la fórmula de transformada de Laplace ∞

−st L { f (t ) }=∫e f (t ) dt 0

∞

−st L {1 }=∫ e (1) dt 0

La variable s

[

L {1 }=

−1 −st e s

[

es una constante

]

∞ 0

−1 −s (0) e s −1 lim ¿ L {1} = s t →∞

−st

e −¿

L {1 }=

]

−1 − st 1 lim e + s s t→∞

Recuerde que

{

0 sí k 0

L {1 }=

1 −1 lim e− st+ s t→∞ s

Siempre y cuando Laplace.

L {1 }=

−s...