Sumatoria de series de potencias paso a paso resueltos PDF

Preview

Summary

ejercicios resueltos paso a paso facil de entender acerca de sumatoria de series de potencias...

Description

Sumatoria de series

Para poder efectuar la suma de series de potencias y expresarla en una sola, debemos comprobar que los índices de las sumatorias comiencen con el mismo número y que las potencias de la variable x, en cada serie, se encuentren en fase, es decir, que tengan la misma potencia cuando empiece la serie. Ejemplo: Exprese las siguientes sumas de series de potencia en una sola serie cuyo término general implique a

∞

∞

∞

n=2

n=1

n=0

x

k

.

∑ n ( n−1 ) c n x n−2−2 ∑ n cn x n +∑ cn x n Solución: Observando y sustituyendo el valor inicial en cada serie, observamos que el exponente de Primera serie

Exponentede x=0

Segunda serie

Exponentede x=1

Tercera serie

Exponentede x=0

La diferencia entre los valores de

x

x

en cada serie es

es de una unidad, por lo

tanto, desarrollamos las series con el exponente menor, esto es la primera y tercera serie, entonces, Primera serie:

∞

∞

∑ n ( n−1 ) c n x n−2

2 (2−1 ) c 2 x 2−2+ ∑ n (n−1) c n x n−2 n =3

n=2

∞

2 c 2 x 0+ ∑ n ( n−1 ) c n x n−2 n=3

∞

2 c 2+ ∑ n ( n−1 ) c n x n−2 n=3

Tercera serie:

∞

n cn x ∑ n=0 ∞

c 0 x 0 + ∑ cn x n n=1

∞

c0 +∑ cn x

n

n=1

Sustituyendo en la sumatoria:

∞

n cn x + ¿ c 0+ ∑ c n x n

n

n=1

∞

∞

n=3

n=1

2 c 2+ ∑ n ( n−1 ) c n x n−2−2 ∑ ¿

Acomodando términos:

∞

n c n x +¿ ∑ c n x n n

n=1

∞

∞

n =3

n=1

c 0 +2 c 2+ ∑ n( n−1) c n x n−2−2 ∑ ¿

Nuevamente, volvemos a sustituir el valor inicial de la serie y observamos que el exponente de

x

en cada serie es el

mismo. En este momento proponemos un cambio de variable: Primera serie

k =n−2 por lo tanto , n=k + 2

Segunda serie

k =n

Tercera serie

k =n

Aplicamos el cambio de variable.

∞

n c n x +¿ ∑ c n x n

n

n=1

∞

c 0 +2 c 2+ ∑ n( n−1) c n x

∞

n−2

n =3

−2 ∑ ¿ n=1

∞

k c k x k +¿ ∑ c k x k k=1

∞

c 0 +2 c 2+

∑

k +2=3

∞

( k +2 ) ( k +2−1) c k+2 x k +2−2−2 ∑ ¿ k=1

∞

k c k xk +¿ ∑ c k x k k=1

∞

∞

k=1

k=1

c 0 +2 c 2+ ∑ ( k +2) (k +1 ) c k+2 x k −2 ∑ ¿

∞

c 0 +2 c 2+ ∑ [ (k +2 ) ( k +1 ) c k+2−2k c k + c k ] x k k=1

Exprese las siguientes sumas de series de potencia en una sola serie cuyo término general implique a x k . ∞

2 an xn +2+¿ ∑ 3 n2 an x n−1 n=0 ∞

1.

∑¿ n=0

∞

3 a1 +12 a2 x + ∑[ 2a k−2+ 3 ( k +1 ) 2 ak+1 ] x k k=2

∞

3 an x 2.

n−1

+¿ ∑ n an x n n=3 ∞

∑¿ n=1

∞

3 a1 + 3 a2 x+3 a3 x 2 + ∑[ 3 a k+1 +k a k ] x k k=3

∞

an x n+ ¿ ∑ n3 an x n n=2 ∞

3.

¿ ∑ n=0

∞

a0 + a1 x + ∑ [ 1+k 3 ] x k ak k=2

∞

( n+1) an x

n+1

+¿ ∑ 2 n4 a n x n n=2

4.

∞

∑¿ n=1

∞

∑ [ k ak−1 +2 k 4 a k ]x k k=2

∞

2 ncn x n−1+ ¿ ∑ 6 c n x

n+ 1

n=0

5.

∞

∑¿ n =1

∞

2 c1 + ∑ [ 2 (k +1 ) c k +1+6 c k−1 ] x

k

k =1

∞

n (n−1 ) c n x 6.

n−2

+¿ ∑ c n x n+1 n=0

∞

¿ ∑ n=2

∞

2 c 2+ ∑ [ ( k +2) ( k +1 ) c k+2 + c k−1 ] xk k =1

∞

∞

7.

∞

n n−2 n ( n−1 ) c n x +2 ∑ n ( n−1)c n x +3 ∑ n c n x n ∑ n=2 n=1 n=2

∞

3 c 1 x +4 c 2+12 c 3 x + ∑ [ k ( k−1 ) c k +2 ( k +2) ( k +1 ) c k+2 +3 k c k ] x k k=2...