Propiedades DE LA Transformada DE Laplace PDF

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Resumen de Ecuaciones Diferenciales sobre Transformada de Laplace: propiedades, teoremas y resolución de ecuaciones....

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TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN | Teorema: Si f es una función continua en el intervalo 0,  y f ´ es una función continua por tramos en el intervalo 0,   y ambas de orden exponencial  Entonces L( f ´)( s)  sF( s)  f (0), F ( s)  L( f )( s)

EJEMPLO:  Determinar la transformada de Laplace de la función f (t )  cos(bt )  Determinar la transformada de Laplace de las funciones siguientes: o f (t )  sen2 (2t ) o f ( t)  sen( t)cos(2t) sen(3t ) o

t f (t )  cos2    3

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE UNA FUNCIÓN Teorema: Si f , f ´ , …, f ( n 1) son funciones continuas en el intervalo 0,   y todas son de orden exponencial  y si f ( n ) es una función continua por tramos en 0,   , entonces L  f ( n )  ( s)  s n F ( s)  s n1 f (0)  s n 2 f ´(0)  ...  sf ( n 2) (0)  f ( n 1)(0)

Donde F ( s)  L( f )( s) Ejemplo:  Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial utilizando transformadas de Laplace: dy  3 y  13sen(2t ); y (0)  6 dt

 Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial utilizando transformadas de Laplace:

d 2y dy  4t    3 2 ; y (0)  1  y´(0)  5 y e 2 dt dt

COMPORTAMIENTO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE CUANDO s SE APROXIMA A +INFITO. Teorema: Si f es una función continua por tramos en el intervalo 0,   y de orden exponencial  , entonces: lim F( s)  0 , donde F ( s)  L( f )( s) s

PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN) Teorema: Si f es una función continua por tramos en el intervalo  0,  y de orden exponencial  , tal que F ( s)  L( f )( s), s   entonces: L  eat f ( t )   F ( s  a), s    a

EJEMPLOS: Determinar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:  f ( t)  e 2 t cos(3t)  f ( t)  e t  t  2   f ( t)  e 3t sen(2t) cos( t) Determinar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:



F (s) 

3 2  2 s  2  s  1 2s  3 s2  4 s  13

 Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial F (s) 

y´´( t )  4 y´( t )  6 y (t )  1  e  t ; y (0)  y´(0)  0

TRASLACIÓN EN EL EJE t FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO FUNCIÓN DE HEAVISIDE. Definición: a (t )   (t  a ), a  0 0 , t  a ,a  0  1 , t  a

O

f(x)=1 f(x)=0

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO



L  a ( t )  



e  st  (t  a )dt

0



a

  e  ( t  a )dt   st

0

 a

u

 lim  e st dt u

a u

 e st   lim    u  s a  e su e sa   lim     u s s   e sa  ,s0 s

e st  ( t  a )dt

SEGUNDA PROPIEDAD DE TRASLACIÓN Teorema: Si

F ( s)  L( f )( s)

entonces: L  f (t  a ) a (t )  e  asF ( s) o L  f (t ) a (t )  e as L  f (t  a) y

a 0,

EJEMPLOS: Determinar la transformada de Laplace de las funciones siguientes: 

f (t )  sen(3t )  ( t )

 

f ( t )  t 2 ( t )



2

f (t )  cos(3t )   ( t ) 2

  1 , 0t  2   , 2  t  2 f ( t)    t  t 2 cos   , t  2 2    



 sen(2 t ) , 0  t    f ( t)   0 ,  t5  t t5 , 

Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial: 0 , 0  t    y´´ y  f (t ); y (0)  0  y ´(0)  1 f (t )   1 ,   t  2 0 , t  2 

DERIVADAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema: Si

F ( s)  L( f )( s)

y

n  lN

, entonces:

n d F ( s) L  t n f (t )   (1)n ds n

EJEMPLOS: Determinar la transformada de Laplace de las funciones siguientes:   

f ( t)  t n , n  lN f ( t )  t cos(2t )

f ( t)  te3t sen(2 t)

Determinar la solución de los siguientes problemas de valor inicial:  y´´( t)  2 ty´( t)  4 y( t)  1; y(0)  y´(0)  0  ty´´( t)  ty´( t)  y( t)  2; y(0)  2  y´(0)  0 Determinar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: 

 s 2  4s  13  F ( s )  ln  2   s  2s  2 



F ( s)  arctan  s  1



 s 2  6s  13   2  F ( s )  arctan   3ln    2  s 1  s 1 



1



TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA Teorema: Si

es una función continua por tramos en el intervalo  0,  , de orden exponencial  y tiene periodo T, entonces: f

T

L  f (t ) 

 st e  f (t )dt 0

1  e  sT

EJEMPLOS: Determinar la transformada de Laplace de las funciones siguientes: 





f ( t)  e 2t , t  0,1   T  1 , 0  t 1  t ;T  2 f ( t)      1 , 1 2 t t  e t f ( t)   1

, 0t 1 ;T  2 , 1 t2

CONVOLUCIÓN

Definición: Sean f y g dos funciones continuas por tramos en el intervalo 0,   . La convolución de f y g, denotada por f * g , se define como: t

( f * g )( t )   f ( t  v) g ( v) dv 0

EJEMPLOS: Determinar la convolución entre el par de funciones de funciones dadas: 2  f (t )  t y g (t )  t  f (t )  sent y g( t)  cos t PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN Sean f, g y h funciones continuas por tramos en el intervalo 0,   . Entonces: 1. 2. 3. 4.

f *g  g* f

(Prop. Conmutativa) f *  g  h   f * g  f * h (Prop. Distributiva) f *  g * h   ( f * g ) * h (Prop. Asociativa) f * 0  0 (Prop. De Absorción)

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN: Si f y g son funciones continuas por tramos en el intervalo 0,   y de orden exponencial, entonces: L( f * g )  L( f ) L( g )

EJEMPLOS:  Determinar la transformada inversa de Laplace de la función

F (s ) 

s

 s2  4 

2

 Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial: t

y´( t )  2  et v y (v )dv  t; y (0)  2 0

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA INTEGRAL: Teorema: Si F(s) es la transformada de Laplace de una función f(t) , entonces: t  F ( s) L   f (v )dv   s 0  o t

 F ( s)  L   ( t )   f ( v) dv  s  0 1

EJEMPLOS: Determinar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: 1. 2.

F (s ) 

F (s ) 

2 s s 2  4 

3

s 3  s 2  9

INTEGRAL DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema: Si f es una función continua por tramos en el intervalo 0,   , donde f satisface la condición lim t0

f ( t) t existe y es finito, entonces:   f (t )  L    F ( w)dw; F ( w)  L( f )( w)  t  s

o    f (t )  L ( F ( s))  tL   F ( w) dw  s  1

1

EJEMPLOS: Determinar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: 1. 2.

e 3t  1 f (t)  t 1  cos(2t ) f (t)  t

FUNCION DELTA DE DIRAC: Definición: La función delta de Dirac, denotada por a (t ) está definida por:  , t  a ( )  a t   0 , ta

1.





2.

f (t ) a (t )dt  f (a )



OJO: 

  

a

(t )dt  1, a  0

0



  0

f ( t) a ( t ) dt  f ( a ), a  0

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC Si f es una función continua por tramos en el intervalo 0,   y a  0 , entonces:

L( f (t ) a (t ))  f (a )e as Ejemplos: Determinar la solución de los siguientes problemas de valor inicial: y´´(t )  4 y ´(t )  5y (t )    t     t       t  2 

1.

2. 3. 4. 5.

y (0)  0  y '(0)  2

y´´(t )  6 y´(t )  5y (t )  et   t  1 ; y (0)  0  y '(0)  4 

y´´(t )  y (t )    t  2k ; y (0)  0  y '(0)  0 k 1

y´´(t )  2 y´(t )  5y (t )  8e  t  ; y ( )  2  y '( )  12 y´´( t)  2 y´( t)  y( t)  6t  2; y( 1)  3  y '( 1)  7...